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创新方案2017届高考数学一轮复习第十节热点专题

时间:2017-01-14


第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第十节 热点专题— —概率与统计中的热点问题课后作业 理
1.为了防止塑化剂超标的产品影响我国民众的身体健康,要求产品在进入市场前必须 进行两轮塑化剂含量检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一 1 1 轮检测不合格的概率为 , 第二轮检测不合格的概率为 , 两轮检测是否合格相互没有影响. 6 10 (1)求该产品不能销售的概率; (2)如果产品可以销售,则每件产品可获利 40 元;如果产品不能销售,则每件产品亏损 80 元(即获利-80 元).已知一箱中有产品 4 件,记一箱产品获利 X 元,求 X 的分布列及均 值 E(X). 2.(2016·山东师大附中模拟)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣 传志愿者. 从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者, 其年龄频率分布直方图 如图所示,其中年龄分组区间是[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45].

(1)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[35,40)岁的人 数; (2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的 宣传活动, 再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人. 记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 X,求 X 的分布列及均值. 3.(2016·日照模拟)某娱乐节目将 4 名队员平均分成甲、乙两个组,进行一对一的独 1 2 立闯关比赛,已知甲组中 2 名队员 A,B 过关的概率分别为 , ,乙组中 2 名队员 C,D 过关 3 3 1 的概率都为 ,最后根据两组过关人数的多少来决定胜负,若过关人数相同,则认为两组平 2 局. (1)求 A,B,C,D 4 名队员至多 1 人过关的概率; (2)将甲组过关的人数记作 x,乙组过关的人数记作 y,设 X=|x-y|,求 X 的分布列和 均值. 4. 将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为 1,2,3,4 的四个盒子中(每个盒子足够 大).
1

(1)求编号为 1 的盒子为空盒的概率; (2)求空盒的个数 ξ 的分布列和均值 E(ξ ). 5.(2016·九江模拟)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组 为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20),给所有 同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:(单 位:人) 几何题 男同学 女同学 总计 22 8 30 代数题 8 12 20 总计 30 20 50

(1)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (2)经过多次测试后, 甲每次解答一道几何题所用的时间在 5~7 分钟, 乙每次解答一道 几何题所用的时间在 6~8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率; (3)现从选择做几何题的 8 名女同学中任意抽取 2 人对她们的答题情况进行全程研究, 记丙、丁 2 名女同学被抽到的人数为 X,求 X 的分布列及均值 E(X). 下面临界值表仅供参考:

P(K2≥k0) k0

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

6.某高中为了推进新课程改革,以满足不同层次的学生的需求,决定从高一年级开始, 在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、语文、物理、化学、生物这 5 个学科的辅导讲座, 每位有兴趣的学生可以在期间的任何一天参加任何学科的辅导讲座, 也 可以放弃任何一个学科的辅导讲座.规定:各学科达到预先设定的人数时称为满座,否则称 为不满座.统计数据表明,各学科辅导讲座满座的概率如下表(每天各个学科的辅导讲座是 否满座互不影响): 数学 周一 周三 周五 1 2 2 3 2 3 语文 1 4 1 2 1 3 物理 1 4 1 2 1 3 化学 1 4 1 2 1 3 生物 1 4 1 2 1 3

(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率;

2

(2)设周三各学科辅导讲座满座的科目数为 ξ ,求随机变量 ξ 的分布列和均值.

答 案 1. 解:(1)记“该产品不能销售”为事件 A, 1? 1 ? 1? ? 则 P(A)=1-?1- ?×?1- ?= , ? 6? ? 10? 4 1 故该产品不能销售的概率为 . 4 (2)由已知,可知 X 的所有可能取值为-320,-200,-80,40,160.

?1?4 1 P(X=-320)=? ? = , ?4? 256 ?1?3 3 3 1 P(X=-200)=C4×? ? × = , ?4? 4 64 ?1?2 ?3?2 27 2 P(X=-80)=C4×? ? ×? ? = , ?4? ?4? 128
1 ?3?3 27 3 P(X=40)=C4× ×? ? = , 4 ?4? 64

?3?4 81 P(X=160)=? ? = . ?4? 256
所以 X 的分布列为 X P -320 1 256 -200 3 64 -80 27 128 40 27 64 160 81 256

1 3 27 27 81 E(X)=-320× -200× -80× +40× +160× =40. 256 64 128 64 256 1-0.70 2. 解:(1)∵小矩形的面积等于频率,∴除[35,40)外的频率和为 0.70,∴x= 5 =0.06. 故 500 名志愿者中,年龄在[35,40)岁的人数为 0.06×5×500=150(人). (2)用分层抽样的方法,从中选取 20 名,则其中年龄“低于 35 岁”的人有 12 名, “年龄不低于 35 岁”的人有 8 名. 故 X 的可能取值为 0,1,2,3, C8 14 C12C8 28 P (X=0)= 3 = ,P (X=1)= 3 = , C20 285 C20 95 C12C8 44 C12 11 P (X=2)= 3 = ,P (X=3)= 3 = , C20 95 C20 57 故 X 的分布列为
3
2 1 3 3 1 2

X P

0 14 285

1 28 95

2 44 95

3 11 57

14 28 44 11 171 ∴E(X)=0× +1× +2× +3× = . 285 95 95 57 95 3. 解:(1)设“A,B,C,D 4 名队员至多 1 人过关”为事件 A,“4 名队员都不过关” 为事件 A0,“4 名队员恰有 1 人过关”为事件 A1,则 A=A0∪A1. 2 1 1 1 1 又 P (A0)= × × × = , 3 3 2 2 18

P(A1)= × × × + × × × + × × × ×2= ,
1 1 11 故 P (A)= + = . 18 4 36 (2) X 的所有可能取值为 0,1,2. 2 1 1 1 ?1 1 2 2? 1 1 1 2 1 1 7 P (X=0)= × × × +? × + × ?× × ×2+ × × × = , 3 3 2 2 ?3 3 3 3? 2 1 1 2 1 1 2 2 3 3 2 1 1 2 9 2 3 3 2 2 18

1 3

1 1 3 2

1 2 2 1 1 2 2 3 3 2 2 3

1 1 3 2

1 2

1 4

P (X=2)= × × × + × × × = ,
7 1 1 故 P (X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1- - = . 18 9 2 故 X 的分布列为

1 2 3 3

X P E(X)=0× +1× +2× = .
7 18 1 2 1 13 9 18

0 7 18

1 1 2

2 1 9

4. 解: (1)将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为 1,2,3,4 的四个盒子中, 由分 步乘法计数原理知共有 4 =256 种放法,设事件 A 表示“编号为 1 的盒子为空盒”,则四个 乒乓球可以随机放入编号为 2,3,4 的三个盒子中,共有 3 =81 种放法,故所求概率为 P(A) 81 = . 256 (2)空盒的个数 ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3, 则 P (ξ =0)= A4 24 3 = = , 256 256 32
4 4 4

P (ξ =1)= P (ξ =3)=

C4C4A3 144 9 = = , 256 256 16 C4 4 1 = = , 256 256 64
4
1

2 3 3

C4C2 2 2 1 2 2 C4C4A2+ 2 C4A2 A2 84 21 P (ξ =2)= = = 或 P (ξ =2)=1-P (ξ =0)-P (ξ =1)-P(ξ 256 256 64 21 =3)= , 64 所以 ξ 的分布列为 ξ 0 3 32 1 9 16 2 21 64 3 1 64

2 2

P

3 9 21 1 81 ξ 的均值为 E(ξ ξ )=0× +1× +2× +3× = . 32 16 64 64 64 50×?22×12-8×8? 50 2 5. 解:(1)由表中数据得 K = = ≈5.556>5.024, 30×20×30×20 9 根据统计有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关. (2) 设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x , y 分钟,则基本事件满足的区域为
2

(如图所示),

设事件 A 为“乙比甲先解答完此道题”则满足的区域为 x>y, 1 ×1×1 2 1 1 ∴由几何概型的概率计算公式得 P(A)= = ,即乙比甲先解答完的概率为 . 2×2 8 8 (3)X 的可能取值为 0,1,2, 由题可知在选择做几何题的 8 名女同学中任意抽取 2 人, 抽 取方法有 C8=28 种, 其中丙、 丁 2 人没有一个人被抽到有 C6=15 种; 恰有一人被抽到有 C2·C6 =12 种;2 人都被抽到有 C2=1 种, 15 12 3 1 ∴P(X=0)= ,P(X=1)= = ,P(X=2)= , 28 28 7 28
2 2 2 1 1

X 的分布列为 X P
15 3 1 1 ∴E(X)=0× +1× +2× = . 28 7 28 2 6. 解:(1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件 A,
5

0 15 28

1 3 7

2 1 28

? 1? ? 2? ? 2? 1 则 P(A)=?1- ?×?1- ?×?1- ?= . ? 2? ? 3? ? 3? 18
(2) ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,5,

P (ξ =0)=?1- ?4×?1- ?= , 2 3

? ?

1?

?

? ?

2?

?

1 48

3 4 P (ξ =1)=C1 4× ×?1- ? ×?1- ?+?1- ? × = , 2 3 2

1 ? 2 ?

1?

?

? ?

2?

? ? ?
2?

1?

?

2 3

1 8

2 2 1 3 P (ξ =2)=C2 , 4×? ? ×?1- ? ×?1- ?+C4× ×?1- ? × = 2 2 3 2

?1? ? ? ?1? ? ? ? ?

? ? ? ?

1?

?

? ?

?

1 ? 2 ?

1?

?

2 3

7 24

3 2 2 2 P (ξ =3)=C3 4×? ? ×?1- ?×?1- ?+C4×? ? ×?1- ? × = , 2 2 3 2 2

1? ?

? ?

2?

?

?1? ? ?
2

? ?

1?

?

2 3

1 3

3 P(ξ =4)=? ?4×?1- ?+C3 , 4×? ? ×?1- ?× = 2 3 2 2

?1? ? ?

2?

?

?1? ? ?

? ?

1?

3

? 3 16

P (ξ =5)=? ?4× = , 2
所以随机变量 ξ 的分布列为 ξ 0 1 48 1 1 8 2 7 24 3 1 3 4 3 16 5 1 24

?1? ? ?

2 1 3 24

P

1 1 7 1 3 1 8 故 E(ξ )=0× +1× +2× +3× +4× +5× = . 48 8 24 3 16 24 3

6


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