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2015-2016学年高中数学 2.3.2平面向量的正交分解、坐标表示及坐标运算学案 新人教A版必修4


第二章 2 .3 2.3.2

平面向量

平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量的正交分解、坐标表示及坐标运算

1.理解向量的坐标表示. 2.掌握向量的有关坐标运算:两坐标的和、两坐标的差、数乘向量坐标和向量的坐标 运算.

基 础 梳 理 一、平面向量的坐标表示 1. 平面

向量的正交分解: 把一个向量分解为两个互相垂直的向量叫做向量的正交分解. 2. 在平面直角坐标系中, 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底. 对 于平面内的一个向量 a,由平面向量的基本定理可知,有且只有一对实数 x、y 使得 a=xi +yj.这样平面内的任一向量 a 都可由 x、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a=(x,y), 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,a=(x,

y)叫做向量的坐标表示.
3.几个特殊向量的坐标表示.

i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
→ → → 4.以原点 O 为起点作向量OA,设OA=xi+yj,则向量OA的坐标(x,y),就是终点 A 的 → 坐标;反过来,终点 A 的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标. 思考应用 1.点的坐标和向量的坐标有什么区别和联系? 解析:(1)点的坐标是反映点的位置,它由点的位置决定,向量的坐标反映的是向量的
1

大小和方向 ,其仅仅由大小和方向决定,与位置无关;(2)向量的坐标等于其终点坐标减去 其起点坐标,当向量起点在原点时,向量的终点坐标就等于向量的坐标. 二、向量的坐标运算 1.两个向量和差的坐标运算. 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2);a-b=(x1-x2,y1-y2). 2.数乘向量的坐标运算. 若 a =(x,y),则 λ a=(λ x,λ y). → 3.向量AB的坐标 表示. → 若已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1).即一个向量的坐标等于表示此 向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 思考应用 2.向量平移前后始点、终点的坐 标发生了变化,而向量本身的 坐标却不变,这怎么解 释呢? 解析:解决这个问题的关键是探讨始点、终点坐标的变化是否会引起向量坐标的变化, → → 向量AB经过平移以后得到向量CD, 这两个向量的坐标分别等于其相应的终点的坐标减去始点 坐标,尽管对应的始点、终点坐标不同,但由坐标表示过程中构造的平行四边形全等可知, 其差值是不变的, 所以一个向量的坐标只和表示它的有向线段的始点、 终点的相对位置有关, 而与具体位置无关. 自 测 自 评 → → 1.若 O(0,0),A(-1,3)且OB=3 OA,则点 B 的坐标为(B) A.(3,9) C.(-3,3) D.(3,-3) B.(-3,9)

→ → 解析:OB=3 OA=3(-1,3)=(-3,9),所以点 B 的坐标为(-3,9).故选 B. 1→ → → 2.已知MA=(-2,4),MB=(2,6),则 AB=(D) 2 A.(0,5) B.(0,1) C.(2,5) D.(2,1) 1? ? 1 2? ?1 3.已知 A(0,0),B? ,- ?,C?- , ?,则(D) 3? ? 2 3? ?2 → ? 1 1? A.AB=?- , ? ? 2 3? → ? 1? B.BC=?0, ? ? 3?

2

→ ? 1 2? C.CA=?- , ? ? 2 3? → → ? 1? D.AC+AB=?0, ? ? 3? 1? → 2? → → ? 1? → ?1 → ?1 解析:AB=? ,- ?,BC=(-1,1) ,CA=? ,- ?,AC+AB=?0, ?.故选 D 3? 3? ?2 ?2 ? 3? → 4.若点 A(-2,1),B(1,3),则BA=(-3,-2).

基 础 提 升 → 1.若AB=(2,3),且点 A 的坐标为(1,2),则点 B 的坐标为(C) A.(1,1) C.(3,5) D.(4,4) B.(-1,1)

→ → 2.已知平行四边形 OABC(O 为原点),OA=(2,0),OB=(3,1),则 OC 等于(A) A.(1,1) B.(1,-1) C.(-1,-1) D.(-1,1) → → → → 解析:OC=AB=OB-OA=(3,1)-(2,0)=(1,1),故选 A. 3.若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于(B) 1 3 A.- a+ b 2 2 3 1 C. a- b 2 2 1 3 B. a- b 2 2 3 1 D.- a+ b 2 2

4.设 a=(4,-3),b=(x,5),c=(-1,y),若 a+b=c,则(x,y)=________. 解析:∵a+b=c,∴(4+x,2)=(-1,y),
? ?4+x=-1, ? ?x=-5, ∴? 即? ∴(x,y)= (-5,2). ?2=y, ?y=2, ? ?

答案:(-5,2) π 5.若将向量 a=( 3,1)按逆时针方向旋转 得到向量 b,则 b 的坐标为________. 2 答案:(-1, 3)

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→ → → 6.已知平行四边形 OABC(O 为原点),OA=(2,0),OB=(3,1),则OC等于(A) A.(1,1) B.(1,-1) C.(-1,-1) D.(-1,1) → → → → 解析:OC=AB=OB-OA=(3,1)-(2,0)=(1,1),故选 A. 巩 固 提 高 7. 作用于原点的两个力 F1=(2,2), F2=(1,3), 为使它们平衡, 需加力 F3=________. 答案:(-3,-5) 3 → 8.已知 A(2,3),B(4,-3),点 P 在线段 AB 的延长线上,且 → AP =2 PB ,求点

| | | |

P 的坐标.
3 → 解析:设 P(x,y),由点 P 在线段 AB 的延长线上,且 → AP =2 PB ,得

| | | |

(x-2,y-3)= (x-4,y+3),
? ? ?2x-4=3x-12, ?x=8, 即? 解得? ?2y-6=3y+9, ?y=-15. ? ?

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∴P 点的坐标为(8,-15). 9.已知 A(-2,1),B(1,7),求线段 AB 的三等分点 P,Q 的坐标(其中 P 距点 A 近). 解析:设 P (x,y),∵P 为 AB 的三等分点, 1 → 1→ ∴AP= AB,即(x+2,y-1)= (3,6). 3 3 ∴?
? ?x+2=1, ? ?x=-1, ?? ?y-1=2, ? ?y=3. ?

∴P(-1,3)同理可求 Q(0,5). 10.在正方形 ABCD 中,P 为对角线 BD 上的一点,PECF 是矩形,用向量方法证明 PA=

EF[已知若 a=(x,y),则|a|2=x2+y2)].
→ 证明:建立如下图所示 的平面直角坐标系,设正方形的边长为 a,则 A(0, a).设|DP| =λ (0<λ < 2a),则 F?

? 2 ? λ ,0?, ?2 ?

4

P?

2 ? ? 2 ? ? 2 λ , λ ?,E?a, λ ?, 2 ? ? 2 ? ?2

2 ? → ? 2 所以EF=? λ -a,- λ ?, 2 ? ?2 →

PA=?-

? ?

2 2 ? λ ,a- λ ?, 2 2 ?

→ 2 2 2 因为|EF| =λ - 2aλ +a , → 2 2 2 |PA| =λ - 2aλ +a , → → 所以|EF|=|PA|,即 EF=PA. → → → 11.已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP=OA+tAB,试求 t 为何值时: (1)点 P 在 x 轴? (2)点 P 在 y 轴? (3)点 P 在第一象限? → 解析:∵OP=(1+3t,3t+2),∴P(1+3t,3t+2). 2 (1)若点 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,∴t=- ; 3 1 (2)若点 P 在 y 轴上,则 1+3t=0,∴t=- ; 3
? ?1+3t>0, 1 (3)若点 P 在第一象限上,则? t>- . 3 ?2+3t>0, ?

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1.要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其 相对位置有关. 2.向量的加法、减法及实数与向量的积都可以用坐标来进行运算,使得向量运算完全 代数化 ,将数和形紧密结合起来,这样 许多几何问题的解决就可以转化为我们熟悉的数量 运算. 3.求一个向量时,首先求一个向量的始点和终点坐标. 4.求一个点的坐标,可以转化为求一个始点在原点,终点在该点的向量坐标.

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