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“二元一次不等式(组)与平面区域”经典课例


“二元一次不等式(组)与平面区域”课例
一、本教学片段的设计意图
通过贴近学生生活实践的势力,激发法学探究新知的欲望。,引导学会在回忆初中学习的一元一次不 等式的解集的几何意义的基础上,再通过一系列“问题序列”引导学生通过类比的方式探究二元一次不等 式的几何意义。这样的设计即关注概念产生的必要性,更关注概念形成的过程性合可行性,其着眼点在于 把课堂学习的主动权

归还给学生,同时也发挥了教师的引导、启发和调控课堂的作用。 这样的设计

二、课例描述
教学过程:

一、实例引入
从现实生活中常常会遇到的对有限的资源合理分配利用的问题入手,通过问题的分析引入线性规划模 型. 引例:一家银行的信贷部计划年初投入 2500 万元用于企业和个人贷款,预计这笔资金至少可带来 3 万元的收益,其中从企业贷款中获益 12%,从个人贷款中获益 10%.那么,信贷部应该如何分配资金呢? 问题 1:我们需要回答什么,从哪里入手?(设立决策变量) 问题 2:应满足哪些条件,如何刻划这些条件?(建立约束条件) 指导学生得出约束条件

二、提出概念
1.二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式称,称为二元一次不等式; 2.二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组,称为二元一次不等式组; 3.二元一次不等式(组)的解集:由所有满足二元一次不等式(组)的有序数对构成的集合. 二元一次不等式(组)的解集可以看成是直角坐标系内的点集.

三、类比与思考
一元一次不等式(组)的解集表示数轴上的区间, 那么, 二元一次不等式(组)的解集在直角坐标系内表示 什么图形呢?

四、探究 1:
用几何画板软件做演示实验:探究不等式 x ? y ? 6 的解集所表示的图形. 在平面上任取点 P ? x, y ? ,度量 x, y 的值,计算 x ? y ? m 的值,在直线 x ? y ? 6 一侧任意移动点 P, 观察计算值 m 与 6 的大小,猜测在直线的这一侧的点 P ? x, y ? 满足的不等式;

把点移到直线 x ? y ? 6 的另一侧,再观察和猜测在直线的这一侧的点 P ? x, y ? 满足的不等式; 通过直观演示实验,学生得到一个感性的结论: 实验结论:当点直线的左上方时, x ? y ? 6 ;当点直线的右下方时, x ? y ? 6 . 引导学生进一步作出大胆猜测: 猜想 1:不等式 x ? y ? 6 的解为坐标的点都在直线 L 的左上方;直线 L 左上方的点的坐标都满足不等 式 x ? y ? 6 .不等式 x ? y ? 6 表示直线 x ? y ? 6 左上方的平面区域; 猜想 2:不等式 x ? y ? 6 的解为坐标的点都在直线 L 的右下方;直线 L 右下方的点的坐标都满足不等 式 x ? y ? 6 .不等式 x ? y ? 6 表示直线 x ? y ? 6 右下方的平面区域. 把直线 x ? y ? 6 叫做这两个区域的边界. 再推广到一般情况: 推广:二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 某一侧所有点组成的平面区域,不 包括边界,把直线画成虚线. 不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示的区域包括边界,把边界画成实线. 五、探究 2: 如何确定不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示的区域位于直线的哪一侧呢? 从实验可知,直线 Ax ? By ? C ? 0 同一侧的所有点的坐标 ? x, y ? ,代入 Ax ? By ? C ,所得的符号都 是相同的.因此,只要选一个特殊点的坐标代入测试,即可判断不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示的是直线

Ax ? By ? C ? 0 哪一侧的区域.

六、例题
例 1 画出不等式 x ? 4 y ? 4 表示的平面区域. 说明:当 C ? 0 时,取原点 ? 0, 0 ? 测试最简便. 例 2 用平面区域表示不等式组 y ? ?3x ? 12 且 x ? 2 y 的解集. 小结: 1、二元一次不等式组所表示的平面区域是各个区域的交集; 2、当 C ? 0 时,可取点 ? 0,1? 或 ?1,0 ? 进行测试;

3、不等式 y ? ?3x ? 12 表示直线下方区域,不等式 y ?

1 x 表示直线上方区域。 2

七、课堂练习
1、作出不等式组 y ? x 且 x ? y ? 1 且 y ? ?1 所表示的平面区域。 2、画出 ? x ? 2 y ?1?? x ? y ? 3? ? 0 所表示的平面区域。

八、课堂小结
1、二元一次不等式表示直线一侧的区域,可用特殊点或、进行测试和判断; 2、表示直线上方区域,表示直线下方区域;

九、课后作业:

A 组 1、2

B组1

十、板书设计:(略)

三、反思
1、预期目标的达成情况
预设的知识与技能目标基本到预期的效果,但是教学的过程性目标的达成不够理想,学生才操作探究 的过程中不够顺畅。

2、此片段的优点和不足
1、课题的引入举例学生的生活实际较远,不利于新知的生成;导入新课的过程中提过的两个问题: 问题 1:我们需要回答什么,从哪里入手?(设立决策变量) 问题 2:应满足哪些条件,如何刻划这些条件?(建立约束条件) 提得不够明确、清晰。 2、探究二元一次不等式几何意义时问题的坡度太大,给学生的思考探究带来了一定的困难。 3、概念的产生的必要性和发展的可行性的过程性设置得不够流畅自然。 为了更加有效得进行教学,我对本课的教学作如下二次设计:

四、教学重构
一、设计理念
通过本节课教学,学生体验数学概念产生的必要性和可行性及其在解决实际问题中的作 用、数学与日常生活及其他学科的联系,促进学生逐步形成和发展数学应用意识。线性规划问题是数学在 日常生活中常见的一种优化问题,在设计的过程中,提出实际生活问题,让学生经历建立线性规划模型的 过程,培养学生观察发现、归纳类比、符号表示、抽象概括等数学思维能力。在学生理解线性规划问题的 过程中,在教师利用多媒体进行动态的、直观的展示过程中,引导学生进行探索、思考和发现。

二、教材分析
㈠ 教材的地位和作用 本节课是新教材必修 5 第三章 3.3.1 节的内容,教学大纲对这部分内容的要求是了解二元一次不等式 表示平面区域, 并会进行简单的应用。 在此之前, 学生已经学习了一次函数, 已掌握二元一次方程 y ? kx ? b

与平面直线的对应关系,同时也学习了数形结合的思想方法,为研究二元一次不等式与平面区域的对应关 系做了准备。本节内容介绍直线方程的简单应用(即简单的线性规划)的基础,起到承前启后的作用。 ㈡ 学情分析 学生在初中学习过一元一次方程、一元一次不等式及其几何意义,相关的知识和方法可以迁移到本节 课的教学当中来。 ㈢ 教学目标 1.知识与技能 理解二元一次不等式(组)的概念,能准确画出二元一次不等式(组)所表示平面区域。 2.过程与方法 在探索二元一次不等式的概念和几何意义的过程中,培养类比、迁移的能力,进一步培养数学结合思 想方法。 3.情感、态度与价值观 通过对新知识的建构,优化思维品质,通过自主探索、合作交流,培养学生的探索方法与精神增,提 高创新能力,学会用普遍联系的观点分析和解决问题。 ㈣ 重难点分析 重点:二元一次不等式(组)表示平面区域。 难点:准确画出二元一次不等式(组)表示平面区域。

三、突破重难点的方法与手段
通过情景问题的设置,引导学生回顾初中学习的一元一次不等式方程、一元一次不等式的几何意义, 再启发学生将这一块的内容的知识、思想和方法迁移到二元一次不等式。

四、教法与学法
教法:本节课的概念作图课,对于学生来说很抽象,教师通过创设认知情境引导学生 去发现。 学法:尝试、猜想、证明、归纳,在交流合作中进行概念的主动建构。

五、教学手段与媒体
采用坐标纸让学生动手操作,利用多媒体技术优化课堂教学

六、教学准备
教师:多媒体课件 学生:坐标纸

七、教学过程设计 教学 教学 双边 设计 环节 内容 活动 意图 某公司需要招聘技工与辅助工共 20 到 50 人,其中技工人数 学生尝 激发学生 设 不小于辅助工的一半, 且技工人数至少 12 个, 技工的月工资 4000 试求解, 教师 的学习热情, 疑 元,辅助工的月工资 1800 元,如果你是公司老板,你打算怎样招 再 引 导 学 生 培养学生的数 激 聘才能使公司支付的月工资最少? 识 别 不 等 式 学建模能力, 趣
你能给二元一次不等式(组)下个定义吗? 类型, 并引入 提出二元一次 二 元 一 次 不 不等式引入的 等式(组)定义 必要性 学生回忆初 培养知识迁移

体 1、温故:一元一次不等式 x ? 4 ? 0 和 x ? 4 ? 0 的解集在直角坐

验 标系中如何表示? 它们与一元一次方程 x ? 4 ? 0 解集在直角坐标 与 系中的表示结果有什么关系? 猜 2、类比迁移:在直角坐标系内,二元一次不等式 x ? y ? 6 ? 0 、 想

x? y ?6 ? 0 的解集又如何表示呢? 它们与二元一次方程 x ? y ? 6 ? 0 解集在直角坐标系中的表示结果有什么关系?
探 1、请在平面(学生在坐标纸上作图)内画出二元一次方程 究 x ? y ? 6 ? 0 所表示的直线,并指出这条直线将平面分为几个部 与 新 验 分? 知 证 2 思考:这几个部分分别与 x ? y ?6 ? 0 、 x ? y ?6 ? 0 、 生 成 x ? y ? 6 ? 0 存在怎样的关系呢? 3、探索:(特例引路,从特殊到一般) 请 在 直 角 坐 标 系 中 画 出 直 线 x? y?6 ? 0 并 分 别 标 出 点

中旧知, 教师 和 猜 想 的 能 提 出 二 元 背 力, 景下的问题, 引导学生尝 试探究

教 师 通 过 培养作图、运 PPT 出 示 问 算、归纳猜想 题, 学生尝试 的能力 作答

A ? 3, ?3? 、 B ? 0,0? 、 C ? 2,3? 、 D ? 7,0? 、 E ?1, ?6? ,将以上个
点的坐标代入代数式 x ? y ? 6 , 观察所得结果, 并尝试提出猜想。 展 示 与 交 流 ⑴ 你 是 如 何 找 到 A, B, C , D, E 点 的 位 置 的 ? ⑵如 果 点 教 师 先 通 过 培养语言表达 PPT 提 出 交 能力和相互协 流、 展示的思 作的团队精神 路框架

P ? x1 , y1 ? 与 点 Q ? x2 , y2 ? 在 直 线 x ? y ? 6 ? 0 的 同 侧 , 式 子
x1 ? y1 ? 6 和 x2 ? y2 ? 6 的正负性有何关系?⑶如果点 P ? x1 , y1 ?
与点 Q ? x2 , y2 ? 在直线 x ? y ? 6 ? 0 的异侧,式子 x1 ? y1 ? 6 和

x2 ? y2 ? 6 的正负性有何关系?
修 结论概括:同侧同号、异侧异号 正 完 善 例 内 题 化 研 新 讨 知 例题:画出不等式 2x+y-6<0 所表示的平面区域。 变式:画出不等式 2x+y<0 所表示的平面区域。 理性归纳:二元一次不等式 Ax+By+C>0 和 Ax+By+C<0 所表示 的屏幕区域的一般作法:直线定界,特殊点定域(特殊点的选取标 准:直线外、坐标轴上) 教 师 引 导 学 培养归纳总结 生 整 理 展 示 的能力 交流的结果, 形成理性的 共识 教师引导, 学 结合具体实 生自主探究 例,由特殊到 一般,研究二 元一次不等式 的几何意义

练 ?x ? y ? 5 ? 0 所表示的平面区域。 习 1、画出不等式组 ? x? y ?0 ? 反 馈 变式:在以上不等式组中再添加一个不等式 x ? 3 ,则再作它 们所表示的平面区域。 2、根据所给图形,把图中的平面区域用不等式表示出来:

学生练习, 教 巩固新知,从 师 巡 视 并 指 逆向巩固二元 导 一次不等式组 的几何意义

⑴ 收获 与 感悟 拓展 延伸 知识收获: 数学问题探究的一般方法方面的收获: 情感态度方面收获: 请学生课后思考探究情景问题的解决方案

⑵ 教师引导启 发学生总结 并请学生组 织表达 教师布置左 栏思考题 培养反思意 识、归纳总结 的能力 培养探究能 力,为下一节 课“简单的线 性规划”做好 准备

八、板书设计
§ 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 1﹑二元一次不等式(组)定义 例 1 变式 2、用二元一次不等式(组)表示平面区域 3、判断方法 练习 1 练习 2 例 1…

九、二次教学反思
§ 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 1﹑二元一次不等式(组)定义 例 1 变式 2、用二元一次不等式(组)表示平面区域 3、判断方法 练习 1 练习 2 例 1… 教学设计要基于学生的最近发展区,问题的设置要有梯度并且要留有探究的空间,教师的引导要适可 而止,尽可能地把有限的教学时间还给学生、把课堂的话语权还给学生,让学生经历思考、探究、总结、

叙述、完善的过程,不惜让学生多“摔几个跟头”,经历思维成长的烦恼,感悟研究的乐趣,让学生思维在 跌跌撞撞的摸爬滚打中逐渐“健壮”起来。 只有通过有效的过程性教学, 才能将新课标的理念贯彻到行动中, 才能切实保障过程性目标的有效达成,藉此,学生不仅掌握了数学知识,更懂得了生活的道理,实现了综 合素养的一次跨越式的提升,为学生的终身可持续发展打下坚实的基础。


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