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2012年高考试题圆锥曲线

时间:2013-03-18


2012 圆锥曲线
一、选择题 1 . 等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y ? 16 x 的准线交于 A, B 两
2

点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为 A. 2 B. 2 2 C. ? D. ?





x2 y 2 3a 2

. F1 F2 是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 设 右焦点, P 为直线 x ? 上一点, ? F2 PF1 a b 2
是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为 ( A. ) D.

1 2

B.

2 3

C.

? ?

? ?

3 . 如图,F1,F2 分别是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)的左右焦点,B 是虚轴的 a 2 b2

端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平 分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是 A.
2 3 3





B.

6 2

C. 2 D. 3 4 .已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点

M ( 2,y0 ).若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |?
A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5





x2 y2 x2 y2 ? ? 1, C 2 : ? ? 1, 则 5 .已知椭圆 C1 : 12 4 16 8
A. C1 与 C 2 顶点相同. C. C1 与 C 2 短轴长相同.





B. C1 与 C 2 长轴长相同. D. C1 与 C 2 焦距相等.

6 .已知椭圆 C :

3 x2 y 2 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心学率为 .双曲线 x ? y ? 1 的渐近线与椭 2 2 a b

圆 C 有 四 个 交 点 , 以 这 四 个 焦 点 为 顶 点 的 四 边 形 的 面 积 为 16, 则 椭 圆 C 的 方 程 为 ( )

x2 y2 ? ?1 A. 8 2
7 .已知双曲线 C :

x2 y2 ? ?1 B. 12 6

x2 y2 ? ?1 C. 16 4

x2 y 2 ? ?1 D. 20 5

x2 y2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 a 2 b2

( A.



x2 y2 =1 20 5

B.

x2 y2 =1 5 20

C.

x2 y2 =1 80 20

D.

x2 y2 =1 20 80

8 .已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其 4 b2
( B. 4 2 C.3
2 2

渐近线的距离等于 A. 5 D.5



9 . 2012 年 高 考 ( 大 纲 ) 已 知 F1 , F2 为 双 曲 线 C : x ? y ? 2 的 左 右 焦 点 , 点 (

P 在C


上, | PF1 |? 2 | PF2 | ,则 cos ?F1 PF2 ?

( C.

3 4 D. 4 5 10.椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方程为
A. B. A.

1 4

3 5





x2 y2 ? ?1 16 12
2

B.

x2 y2 ? ?1 16 8

C.

x2 y2 ? ?1 8 4

D.

x2 y2 ? ?1 12 4

11.过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,点 O 是原点,若 AF ? 3 ;

则 ?AOB 的面积为 A.

( B. 2 C.



2 2

3 2 2

D. 2 2

二、填空题 12.己知抛物线的参数方程为 ?

? x =2 pt 2 , ? y =2 pt ,

( t 为参数),其中 p >0 ,焦点为 F ,准线为 l ,过抛物线

上一点 M 作的垂线,垂足为 E ,若 |EF|=|MF | ,点 M 的横坐标是 3,则 p= _______.
13. 过抛物线 y ? 2 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A, B 两点,若
2

AB ?

25 , AF ? BF , 则 12

AF =_____________________.
14. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、B ,当 ?FAB 的周长最大 4 3

时, ?FAB 的面积是____________.
15.抛物线 y ? 8 x 的焦点坐标为_______.
2

16. 右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面

宽____米.

y x

17.已知 P,Q 为抛物线 x ? 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,过 P、 分别作抛物线的 Q
2

切线,两切线交于 A,则点 A 的纵坐标为__________.
18 . 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0) 的 左 、 右 顶 点 分 别 是 A,B, 左 、 右 焦 点 分 别 是 F1,F2. 若 a 2 b2
x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 , m m ?4

|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.
19.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线

y

则 m 的值为____. x2 y 2 20. 如图,双曲线 2 ? 2 ? 1 (a, b ? 0) 的两顶点为 A1 , A2 ,虚轴两端点为 a b B1 , B2 ,两焦点为 F1 , F2 . 若以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1 B1 F2 B2 , 切点分别为 A, B, C , D . 则 (Ⅰ)双曲线的离心率 e ? ________; (Ⅱ) 菱 形 F1 B1 F2 B的 面 积 S1 与 矩 形 A B C D 面 积 S 2 的 比 值 的 2
S1 ? ________. S2
21.在直角坐标系 xoy 中,直线 l 过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F,且与该抛物
2

B2 B A1 F1 C B1 O D A A2 F2

x

线相较于 A、B 两点,其中点 A 在 x 轴上方,若直线 l 的倾斜角为 60°,则△OAF 的面积为 ________.
三、解答题 22. 设椭圆

x2 y2 右顶点分别为 A, B ,点 P 在椭圆上且异于 A, B 两点, O + =1 (a>b>0) 的左、 a2 b2

为坐标原点. (Ⅰ)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ?

1 ,求椭圆的离心率; 2

(Ⅱ)若 |AP|=|OA| ,证明直线 OP 的斜率 k 满足 |k|> 3 .
23.设抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,已知以 F 为圆心,
2

FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点;
(1)若 ?BFD ? 90 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程;
0

(2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m, n 距离的比值.

24. 如图,椭圆 C:

1 x2 y 2 + ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10 .不过 a 2 b2 2

原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程.

25. (本小题满分 12 分(Ⅰ)小问 5 分(Ⅱ)小问 7 分)

如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左右焦点分别为 F1 , F2 ,线段 OF1 , OF2 的中点分别为

B1 , B2 ,且△ AB1B2 是面积为 4 的直角三角形.
(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ)过 B1 做直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2 ? QB2 , 求直线 l 的方程

26.如图,动点 M 到两定点 A(?1, 0) 、 B(2,0) 构成 ?MAB ,且 ?MBA ? 2?MAB ,设动点 M

的轨迹为 C . (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? ?2 x ? m 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交于点 Q、R ,且 | PQ |?| PR | ,求

| PR | 的取值范围. | PQ |

y

M

27.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 : 2 x ? y ? 1 .
2 2

A

O

B x

(1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线 与另一条渐近线及 x 轴围成 的三角形的面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x ? y ? 1相切,求证:
2 2

OP⊥OQ;
(3)设椭圆 C2 : 4 x ? y ? 1 . 若 M、N 分别是 C1 、 C2 上的动点,且 OM⊥ON,
2 2

求证:O 到直线 MN 的距离是定值.

28.本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

已知双曲线 C1 : x ?
2

y2 ? 1. 4
??? ??? ? ?

(1)求与双曲线 C1 有相同的焦点,且过点 P (4, 3) 的双曲线 C 2 的标准方程; (2)直线 l : y ? x ? m 分别交双曲线 C1 的两条渐近线于 A、B 两点.当 OA? OB ? 3 时, 求实数 m 的值.
29.已知椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4

(1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程.
30.在平面直角坐标系 xOy 中, F 是抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点, M 是抛物线 C 上位
2

??? ?

??? ?

于第一象限内的任意一点,过 M , F , O 三点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准线的距 离为

3 . 4

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在点 M ,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ?若存在,求出点 M 的坐标; 若不存在,说明理由; (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 l : y ? kx ? 圆 Q 有两个不同的交点 D, E ,求当

1 与抛物线 C 有两个不同的交点 A, B , l 与 4

1 2 2 ? k ? 2 时, AB ? DE 的最小值. 2

31.如图,椭圆 C0 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0 ,a,b 为常数),动圆 C1 : x 2 ? y 2 ? t12 , b ? t1 ? a .点 a 2 b2

A1 , A2 分别为 C0 的左,右顶点, C1 与 C0 相交于 A,B,C,D 四点.
(Ⅰ)求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程;
/ / / / (Ⅱ)设动圆 C2 : x ? y ? t2 与 C0 相交于 A , B , C , D 四点,其中 b ? t2 ? a ,
2 2 2

/ t1 ? t2 . 若 矩 形 A B C D 矩 形 A/ B / C / D的 面 积 相 等 , 证 与

明: t1 ? t2 为定值.
2 2

32 . 已 知 三 点

O(0,0),A(-2,1),B(2,1), 曲 线

C

上 任 意 一 点

M(x,y) 满 足

? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? M A M? ? B O ? M O A .2 B ( ? ) ? O

? ? ??

(1) 求曲线 C 的方程; (2)动点 Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l 向:是否存在定点 P(0,t)(t<0),使得 l 与 PA,PB 都不相交,交点分别为 D,E,且△QAB 与△PDE 的面积之比是 常数?若存在,求 t 的值.若不存在,说明理由.

33.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 a 2 b2

? 3? 0) e F1 (?c , , F2 (c , .已知 (1, ) 和 ? e , ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. 0) ? 2 ? ? ?
(1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 y P. A P B

6 (i)若 AF1 ? BF2 ? ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.

F1

O

F2

x

(第 19 题)

34.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2:(x-5) +y =9 外,且对 C1 上任意一点 M,M 到直线

2

2

x=﹣2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值.

35.设 A 是单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的任意一点, l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线, D 是直线 l 与 x 轴

的交点,点 M 在直线 l 上,且满足 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且 m ? 1) . 当点 A 在圆上运动时, 记点 M 的轨迹为曲线 C .

(Ⅰ)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; (Ⅱ)过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P , Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 y 轴上的 射影为点 N ,直线 QN 交曲线 C 于另一点 H . 是否存在 m ,使得对任意的 k ? 0 ,都有
PQ ? PH ?若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由。
36. (解析几何)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 a 2 b2

e?

2 且椭圆 C 上的点到点 Q ? 0,2 ? 的距离的最大值为 3. 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)在椭圆 C 上,是否存在点 M ? m, n ? ,使得直线 l : mx ? ny ? 1 与圆 O : x2 ? y 2 ? 1 相交 于不同的两点 A 、 B ,且 ?OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的 ?OAB 的 面积;若不存在,请说明理由.
37. 如图,椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 a 2 b2

F2 ,离心率 e ?
周长为 8.

1 .过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点,且 ?ABF2 的 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程. (Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相较于点

Q .试探究:在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ?若存在,
求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.
38. (注意:在试卷上作答无效) ........

已知抛物线 C : y ? ( x ? 1) 与圆 M : ( x ? 1) ? ( y ? ) ? r (r ? 0) 有一个公共点 A ,且
2

2

1 2

2

2

在 A 处两曲线的切线为同一直线 l . (1)求 r ; (2)设 m 、 n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线, m 、 n 的交点为 D ,求 D 到 l 的距 离.
39.已知曲线 C: (5 ? m) x ? (m ? 2) y ? 8(m ? R)
2 2

(1)若曲线 C 是焦点在 x 轴的椭圆,求 m 的范围; (2)设 m ? 4 ,曲线 C 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方),直线 y ? kx ? 4 与曲线 C

交于不同的两点 M,N,直线 y ? 1与直线 BM 交于点 G 求证:A,G,N 三点共线.
40.如图, F1 (?c, 0), F2 (c, 0) 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的左,右焦点,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点 P , 过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x ?

a2 于点 Q ; c

(I)若点 Q 的坐标为 (4, 4) ;求椭圆 C 的方程; (II)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.


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