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2015年全国高考新课标1卷文科数学试题(word文档完整版小题也有详解)


2015 年全国高考新课标 1 卷文科数学试题
一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x=3n+2, n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合 A∩B 中的元素 个数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 ??? ? ??? ? 2.已知点 A(0,1)

,B(3,2),向量 AC ? (?4, ?3) ,则向量 BC ? ( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) 3.已知复数 z 满足(z-1)i=1+i,则 z=( ) A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i 4.如果 3 个正数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾 股数,从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率 为( ) 3 1 1 1 A. B. C. D. 10 5 10 20 1 5.已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C: y2=8x, 2 的焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则|AB|=( ) A.3 B.6 C.9 D.12 6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书 中有如下问题: “今有委米依垣内角, 下周八尺, 高五尺, 问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米 (如图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆底部的弧 长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,米堆的体积和堆放的米各 位多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率 约为 3,估算出堆放的米有( ) A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 7.已知{an}是公差为 1 的等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和,若 S8=4S4, 则 a10=( ) 17 19 A. B. C.10 D.12 2 2 8.函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为( ) 1 3 1 3 A. (k? ? , k? ? ), k ? Z B. (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 4 4 1 3 1 3 C. (k ? , k ? ), k ? Z D. (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4 4 4

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9.执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01, 则输出的 n=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 x ?1 ?2 ? 2, x ? 1 10.已知函数 f ( x) ? ? ,且 f(a)=-3, ?? log 2 ( x ? 1), x ? 1 则 f(6-a)=( ) 7 5 3 1 A. ? B. ? C. ? D. ? 4 4 4 4 11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一 个几何体, 该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所 示,若该几何体的表面积为 16+20π,则 r=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 x+a 12.设函数 y=f(x)的图像与 y=2 的图像关于直线 y=-x 对称,且 f(-2)+f(-4)=1,则 a=( ) A.-1 B.1 C.2 D.4 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在横线上. 13.数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn 为{an}的前 n 项和,若 Sn=126,则 n= . 14.已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点(1, f(1))的处的切线过点(2,7),则 a= . ? x? y?2?0 ? 15.若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z=3x+y 的最大值为 . ?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 16.已知 F 是双曲线 C: x 2 ?
y2 ? 1的右焦点,P 是 C 左支上一点, A(0,6 6) , 8 当 ΔAPF 周长最小时,该三角形的面积为 .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。只做 6 题,共 70 分。 17. (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别是 ΔABC 内角 A,B,C 的对边,sin2B=2sinAsinC. (Ⅰ)若 a=b,求 cosB; (Ⅱ)若 B=90° ,且 a= 2 , 求 ΔABC 的面积.

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18. (本小题满分 12 分) 如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点,BE⊥平面 ABCD, (Ⅰ)证明:平面 AEC⊥平面 BED; (Ⅱ)若∠ABC=120° ,AE⊥EC, 三棱锥 E- ACD 6 的体积为 ,求该三棱锥的侧面积. 3

19. (本小题满分 12 分) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位: 千元)对年销售量(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的宣 传费 xi,和年销售量 yi(i=1,2,3,…,8)的数据作了初步处理,得到下面的散点图及一 些统计量的值. n n n n ? ? ? ?? y ? ( xi ? x)2 ? (?i ? ? )2 ? ( xi ? x)( yi ? y) ? (?i ? ?)( yi ? y) x ?
i ?1
i ?1

i ?1

i ?1

46.6

563

6.8
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289.8

1.6

1469

108.8

1 ? ?i 8 i ?1 (Ⅰ)根据散点图判断, y=a+bx 与 哪一个宜作为年销售量 y ?c?d x , y 关于年宣传费 x 的回归方程类型 (给 出判断即可,不必说明理由); (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中 数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)已知这种产品的年利润 z 与 x, y 的关系为 z=0.2y-x, 根据(Ⅱ)的结果回答 下列问题: (1)当年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值时多少? (2)当年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大?

表中 ?i ? xi , ? ?

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20. (本小题满分 12 分) 已知过点 A(0, 1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. ???? ? ???? (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ) OM ? ON ? 12 ,其中 O 为坐标原点,求|MN|.

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=e2x-alnx.
2 (Ⅰ)讨论 f(x)的导函数 f '(x)的零点的个数;(Ⅱ)证明: 当 a>0 时 f(x)≥ 2a ? a ln . a

22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1: x=-2,圆 C2: (x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为 极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. π (Ⅰ)求 C1, C2 的极坐标方程. (Ⅱ)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? ( ? ? R) , 4 设 C2,C3 的交点为 M,N,求 ΔC2MN 的面积.

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2015 年全国高考新课标 1 卷文科数学试题参考答案 一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. DAC C B BBDCA BC 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.6 14.1 15.4 16. 12 6 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。只做 6 题,共 70 分。 17.解:(Ⅰ) 因为 sin2B=2sinAsinC. 由正弦定理可得 b2=2ac. a 2 + c 2 - b2 1 = . 又 a=b,可得 a=2c, b=2c,由余弦定理可得 cos B = 2ac 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 b2=2ac. 因为 B=90° ,所以 a2+c2=b2=2ac. 解得 a=c= 2 . 所以 ΔABC 的面积为 1. 考点:正弦定理 ;余弦定理;运算求解能力 18.解:(Ⅰ) ∵BE⊥平面 ABCD,∴BE⊥AC. ∵ABCD 为菱形,∴ BD⊥AC, ∴AC⊥平面 BED,又 AC?平面 AEC, ∴平面 AEC⊥平面 BED. …6 分 (Ⅱ)设 AB=x,在菱形 ABCD 中,由∠ABC=120° 可得, x 3 3 AG=GC= x ,GB=GD= . 在 RtΔAEC 中,可得 EG= x. 2 2 2 2 ∴在 RtΔEBG 为直角三角形,可得 BE= …9 分 x. 2 1 1 6 3 6 ∴ VE ? ACD ? ? AC ? GD ? BE ? , 解得 x =2. x ? 3 2 24 3 由 BA=BD=BC 可得 AE= ED=EC= 6 . ∴ΔAEC 的面积为 3,ΔEAD 的面积与 ΔECD 的面积均为 5 . 所以三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 5 . …12 分 19.解:(Ⅰ) 由散点图可知 y ? c ? d x 适合作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回 归方程类型. …2 分 (Ⅱ)设 ? ? x ,则线性回归方程为 y=c+dω,由公式得 108.8 ?= =68,α=563-68× 6.8=100.6,所以 y=100.6+68ω, 1.6 所以 y 关于 x 的回归方程为 y ? 100.6+68 x 。 …6 分 (Ⅲ) (1)当 x=49 时,年销售量的预报值 y=100.6+68× 7=576.6, 年利润的预报值 z=0.2× 576.6y-49=66.32, …9 分 2 (2)因为 z ? 0.2(100.6+68 x ) ? x ? ?( x ) ? 13.6 x ? 20.12 所以当 x =6.8,即宣传费 x=46.24 千元时,年利润的预报值最大.
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…12 分

20.解:(Ⅰ)依题可设直线 l 的方程为 y=kx+1,则圆心 C(2,3)到的 l 距离
d? | 2k ? 3 ? 1| 1? k 2 ? 1.

解得

4- 7 4+ 7 . <k < 3 3

4? 7 4? 7 , ). 3 3 (Ⅱ)将 y=kx+1 代入圆 C 的方程整理得 (k2+1)x2-4(k+1)x+7=0. 4(k ? 1) 7 , x1 x2 ? 2 . 设 M(x1, y1),N(x2, y2),则 x1 ? x2 ? 2 k ?1 k ?1 ???? ? ???? 所以 OM ? ON =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+k (x1+x2)+1 4k ( k +1) ? ? 8 =12,解得 k=1 k =1,所以 l 的方程为 y=x+1. k 2 +1 故圆心在直线 l 上,所以|MN|=2. a 21.解:(Ⅰ) f '(x)=2e2x ? , x>0 …2 分 x (1)若 a≤0 时,f '(x)>0 在(0,+∞)恒成立,所以 f '(x)没有零点; …3 分 (2)若 a>0 时,f '(x)单调递增。当 x ?0, f '(x) ?-∞;当 x ?+ ∞,f '(x) ?+∞, 所以 f '(x) 存在一个零点. …6 分 (Ⅱ) 设 f '(x)的唯一零点为 k,由(Ⅰ)知(0, k)上,f '(x)<0,f(x)单调递减; 在(k,+∞)上,f '(x)>0,f(x)单调递增。所以 f(x)取最小值 f(k). …8 分 2 a a 所以 f(x)≥f(k)= e2k-alnk,又 f '(k)= 2e2k ? =0,所以 e2k= , 2k ? ln ? ln k , a k 2k a 2 a a a ? 2ka ? a ln ? 2a ? a ln , 所以 f(k)= ? a(ln ? 2k ) ? 2k a 2k 2 2 2 所以 f(x)≥ 2a ? a ln . …12 分 a
所以 k 的取值范围是 ( 22.解:(Ⅰ)将 x=?cos?,y=?sin?代入可得 C1 的极坐标方程为?cos?=-2, C2 的极坐标方程为?2-2? cos?-4? sin?+4 =0. …5 分 2 π (Ⅱ)将 ? ? 代入 C2 极坐标方程可得 ? ? 3 2? ? 4 ? 0 4 解得?= 2 2 或 ?= 2 ,|MN|= 2 ,因为圆 C2 的半径为 1, 1 1 所以 ΔC2MN 的面积 ? 2 ?1? sin 45? ? . …10 分 2 2

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2015 年全国高考新课标 1 卷文科数学试题参考答案 一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x=3n+2, n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合 A∩B 中的元素 个数为( )D A.5 B.4 C.3 D.2 ??? ? ??? ? 2.已知点 A(0,1),B(3,2),向量 AC ? (?4, ?3) ,则向量 BC ? ( )A A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) 3.已知复数 z 满足(z-1)i=1+i,则 z=( )C A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i 4.如果 3 个正数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾 股数,从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率 为( )C 3 1 1 1 A. B. C. D. 10 5 10 20 1 5.已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C: y2=8x, 2 的焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则|AB|=( )B A.3 B.6 C.9 D.12 6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书 中有如下问题: “今有委米依垣内角, 下周八尺, 高五尺, 问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米 (如图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆底部的弧 长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,米堆的体积和堆放的米各 位多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率 约为 3,估算出堆放的米有( )B A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 7.已知{an}是公差为 1 的等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和,若 S8=4S4, 则 a10=( )B 17 19 A. B. C.10 D.12 2 2 8.函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为( )D 1 3 1 3 A. (k? ? , k? ? ), k ? Z B. (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 4 4 1 3 1 3 C. (k ? , k ? ), k ? Z D. (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4 4 4

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9.执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01, 则输出的 n=( )C A.5 B.6 C.7 D.8 x ?1 ?2 ? 2, x ? 1 10.已知函数 f ( x) ? ? ,且 f(a)=-3, ?? log 2 ( x ? 1), x ? 1 则 f(6-a)=( )A 7 5 3 1 A. ? B. ? C. ? D. ? 4 4 4 4 11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一 个几何体, 该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所 示,若该几何体的表面积为 16+20π,则 r=( )B A.1 B.2 C.4 D.8 x+a 12.设函数 y=f(x)的图像与 y=2 的图像关于直线 y=-x 对称,且 f(-2)+f(-4)=1,则 a=( )C A.-1 B.1 C.2 D.4 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在横线上. 13.数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn 为{an}的前 n 项和,若 Sn=126,则 n= .6 3 14.已知函数 f(x)=ax +x+1 的图像在点(1, f(1))的处的切线过点(2,7),则 a= .1 ? x? y?2?0 ? 15.若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z=3x+y 的最大值为 .4 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 16.已知 F 是双曲线 C: x 2 ?
y2 ? 1的右焦点,P 是 C 左支上一点, A(0,6 6) , 8 当 ΔAPF 周长最小时,该三角形的面积为 . 12 6

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。只做 6 题,共 70 分。 17. (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别是 ΔABC 内角 A,B,C 的对边,sin2B=2sinAsinC. (Ⅰ)若 a=b,求 cosB; (Ⅱ)若 B=90° ,且 a= 2 , 求 ΔABC 的面积. 2 解:(Ⅰ) 因为 sin B=2sinAsinC. 由正弦定理可得 b2=2ac. a 2 + c 2 - b2 1 = . 又 a=b,可得 a=2c, b=2c,由余弦定理可得 cos B = 2ac 4 2 2 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 b =2ac. 因为 B=90° ,所以 a +c =b =2ac. 解得 a=c= 2 . 所以 ΔABC 的面积为 1. 考点:正弦定理 ;余弦定理;运算求解能力

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18. (本小题满分 12 分) 如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点,BE⊥平面 ABCD, (Ⅰ)证明:平面 AEC⊥平面 BED; (Ⅱ)若∠ABC=120° ,AE⊥EC, 三棱锥 E- ACD 6 的体积为 ,求该三棱锥的侧面积. 3 解:(Ⅰ) ∵BE⊥平面 ABCD,∴BE⊥AC. ∵ABCD 为菱形,∴ BD⊥AC, ∴AC⊥平面 BED,又 AC?平面 AEC,∴平面 AEC⊥平面 BED. …6 分 (Ⅱ)设 AB=x,在菱形 ABCD 中,由∠ABC=120° 可得, x 3 3 AG=GC= x ,GB=GD= . 在 RtΔAEC 中,可得 EG= x. 2 2 2 2 ∴在 RtΔEBG 为直角三角形,可得 BE= …9 分 x. 2 1 1 6 3 6 ∴ VE ? ACD ? ? AC ? GD ? BE ? , 解得 x =2. x ? 3 2 24 3 由 BA=BD=BC 可得 AE= ED=EC= 6 . ∴ΔAEC 的面积为 3,ΔEAD 的面积与 ΔECD 的面积均为 5 . 所以三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 5 . …12 分 考点:线面垂直的判定与性质;面面垂直的判定;三棱锥的体积与表面积的计算; 逻辑推理能力;运算求解能力 19. (本小题满分 12 分) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位: 千元)对年销售量(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的宣 传费 xi,和年销售量 yi(i=1,2,3,…,8)的数据作了初步处理,得到下面的散点图及一 些统计量的值. n n n n ? ? ? ?? 2 2 (?i ? ? )( yi ? y) ( ? ? ? ) ( x ? x )( y ? y ) ( x ? x ) ? ? ? y i i i ? i ? x i ?1 i ?1 i ?1
i ?1

46.6

563

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

1 8 ? ?i 8 i ?1 (Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx 与 y ? c ? d x ,哪一个宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型 (给 出判断即可,不必说明理由); (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中 数据,建立 y 关于 x 的回归方程;

表中 ?i ? xi , ? ?

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(Ⅲ)已知这种产品的年利润 z 与 x, y 的关系为 z=0.2y-x, 根据(Ⅱ)的结果回答 下列问题: (1)当年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值时多少? (2)当年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 解: (Ⅰ) 由散点图可知 y ? c ? d x 适合作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回 归方程类型. …2 分 (Ⅱ)设 ? ? x ,则线性回归方程为 y=c+dω,由公式得 108.8 ?= =68,α=563-68× 6.8=100.6,所以 y=100.6+68ω, 1.6 所以 y 关于 x 的回归方程为 y ? 100.6+68 x 。 …6 分 (Ⅲ) (1)当 x=49 时,年销售量的预报值 y=100.6+68× 7=576.6, 年利润的预报值 z=0.2× 576.6y-49=66.32, …9 分 2 (2)因为 z ? 0.2(100.6+68 x ) ? x ? ?( x ) ? 13.6 x ? 20.12 所以当 x =6.8,即宣传费 x=46.24 千元时,年利润的预报值最大. …12 分 考点:非线性拟合;线性回归方程求法;利用回归方程进行预报预测;应用意识 20. (本小题满分 12 分) 已知过点 A(0, 1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. ???? ? ???? (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ) OM ? ON =12,其中 O 为坐标原点,求|MN|. 解:(Ⅰ)依题可设直线 l 的方程为 y=kx+1,则圆心 C(2,3)到的 l 距离

d?

| 2k ? 3 ? 1| 1? k
2

? 1 . 解得

4- 7 4+ 7 . <k < 3 3

4? 7 4? 7 , ). 3 3 (Ⅱ)将 y=kx+1 代入圆 C 的方程整理得 (k2+1)x2-4(k+1)x+7=0. 4(k ? 1) 7 , x1 x2 ? 2 . 设 M(x1, y1),N(x2, y2),则 x1 ? x2 ? 2 k ?1 k ?1 ???? ? ???? 所以 OM ? ON =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+k (x1+x2)+1 4k ( k +1) ? ? 8 =12,解得 k=1 k =1,所以 l 的方程为 y=x+1. k 2 +1 故圆心在直线 l 上,所以|MN|=2. 考点:直线与圆的位置关系;设而不求思想;运算求解能力

所以 k 的取值范围是 (

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=e2x-alnx.
2 (Ⅰ)讨论 f(x)的导函数 f '(x)的零点的个数;(Ⅱ)证明: 当 a>0 时 f(x)≥ 2a ? a ln . a

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a 解:(Ⅰ) f '(x)=2e2x ? , x>0 …2 分 x (1)若 a≤0 时,f '(x)>0 在(0,+∞)恒成立,所以 f '(x)没有零点; …3 分 (2)若 a>0 时,f '(x)单调递增。当 x ?0, f '(x) ?-∞;当 x ?+ ∞,f '(x) ?+∞, 所以 f '(x) 存在一个零点. …6 分 (Ⅱ) 设 f '(x)的唯一零点为 k,由(Ⅰ)知(0, k)上,f '(x)<0,f(x)单调递减; 在(k,+∞)上,f '(x)>0,f(x)单调递增。所以 f(x)取最小值 f(k). …8 分 2 a a 所以 f(x)≥f(k)= e2k-alnk,又 f '(k)= 2e2k ? =0,所以 e2k= , 2k ? ln ? ln k , a k 2k a 2 a a a ? 2ka ? a ln ? 2a ? a ln , 所以 f(k)= ? a(ln ? 2k ) ? 2k a 2k 2 2 2 所以 f(x)≥ 2a ? a ln . …12 分 a 考点:常见函数导数及导数运算法则;函数的零点;利用导数研究函数图像 与性质;利用导数证明不等式;运算求解能力.

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分, 作答时请写清题号 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 AB 是圆 O 直径,AC 是圆 O 切线,BC 交圆 O 与点 E. (Ⅰ)若 D 为 AC 中点,求证:DE 是圆 O 切线; (Ⅱ)若 OA= 3 CE,求∠ACB 的大小. 解: (Ⅰ)连结 AE, ∵AB 是圆 O 直径, ∴AE⊥BC, 又 AC⊥AB, 在 RtΔAEC 中,由已知得 DE=DC,∴∠DEC=∠DCE, 连结 OE,∠OBE=∠OEB,∵∠ACB+∠ABC=90° , ∴∠DEC+∠OEB=90° ,∴∠OED=90° , ∴DE 是圆 O 的切线. …5 分 (Ⅱ)设 CE=1 ,AE=x,由已知得 AB= 2 3 , BE ? 12 ? x2 , 由射影定理可得, AE 2 ? CE ?BE ,∴ x2 ? 12 ? x2 , 解得 x = 3 ,∴∠ACB=60°. …10 分 考点:圆的切线判定与性质;圆周角定理;直角三角形射影定理 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1: x=-2,圆 C2: (x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为 极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. π (Ⅰ)求 C1,C2 的极坐标方程. (Ⅱ)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? ? ? ? R ? , 4 设 C2,C3 的交点为 M,N,求 ΔC2MN 的面积. 解:(Ⅰ)将 x=?cos?,y=?sin?代入可得 C1 的极坐标方程为?cos?=-2,
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C2 的极坐标方程为?2-2? cos?-4? sin?+4 =0. …5 分 2 π (Ⅱ)将 ? ? 代入 C2 极坐标方程可得 ? ? 3 2? ? 4 ? 0 4 解得?= 2 2 或 ?= 2 ,|MN|= 2 ,因为圆 C2 的半径为 1, 1 1 所以 ΔC2MN 的面积 ? 2 ?1? sin 45? ? . …10 分 2 2 考点:直角坐标方程与极坐标互化;直线与圆的位置关系 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式证明选讲 已知函数 f(x)=| x+1| -2|x-a|. a>0. (Ⅰ)当 a=1 时求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围. 解:(Ⅰ) 当 a=1 时不等式 f(x)>1 可化为| x+1| -2|x-1|>1 ? x ? ?1 ? ?1 ? x ? 1 ? x?1 即? 或? 或? ? ? x ? 1 ? 2x ? 2 ? 1 ? x ? 1 ? 2x ? 2 ? 1 ? x ? 1 ? 2x ? 2 ? 1 2 2 解得 Φ 或 ? x ? 1或1 ? x ? 2 ,即 ? x ? 2 。 3 3 2 2) 所以所求不等式的解集为 [ , …5 分 3 ? x ? 1 ? 2 a , x ? ?1 ? (Ⅱ)依题 f(x)= ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a , 所以函数 f(x)的图像与 x 轴围成的三角 ? ? x ? 1 ? 2a , x ? a ?
2a ? 1 , 0) , B(2a ? 1,0) , C (a, a+1) , 3 2 2 所以 ΔABC 的面积为 ( a ? 1) 2 . 由题设得 ( a ? 1) 2 >6, 3 3 解得 a>2. 所以 a 的取值范围为(2,+∞). …10 分 考点:含绝对值不等式解法;分段函数;一元二次不等式解法

形的三个顶点分别为 A(

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小题详解 一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x=3n+2, n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合 A∩B 中的元素 个数为( )D A.5 B.4 C.3 D.2 解: A∩B={8,14},故选 D. ??? ? ??? ? 2.已知点 A(0,1),B(3,2),向量 AC ? (?4, ?3) ,则向量 BC ? ( )A A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 解:? AB ? (3,1), ? BC ? AC ? AB =(-7,-4),故选 A 3.已知复数 z 满足(z-1)i=1+i,则 z=( )C A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i 1? i ? 1 ? 1 ? i ? 1 ? 2 ? i ,故选 C 解: z= z ? i 4.如果 3 个正数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾 股数,从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率 为( )C 3 1 1 1 A. B. C. D. 10 5 10 20 解:从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数共有 10 种不同的取法,其中的勾股数 1 只有 3,4,5,1 种,故所求概率为 ,故选 C 10 1 5.已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C: y2=8x, 2 的焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则|AB|=( )B A.3 B.6 C.9 D.12 解:抛物线的焦点为(2,0),准线为 x=-2,所以 c=2,从而 a=4,所以 b2=12, x2 y 2 ? 1 ,将 x=-2 代入解得 y=± 所以椭圆方程为 ? 3,所以|AB|=6,故选 B 16 12 6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书 中有如下问题: “今有委米依垣内角, 下周八尺, 高五尺, 问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米 (如图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆底部的弧 长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,米堆的体积和堆放的米各 位多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率 约为 3,估算出堆放的米有( )B A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 1 16 解:设圆锥底面半径为 r,依题 ? 2 ? 3r ? 8 ? r ? ,所以米堆的体积为 4 3
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320 1 1 16 320 ? ? 3 ? ( )2 ? 5 ? ,故堆放的米约为 ÷1.62≈22,故选 B. 9 4 3 3 9 7.已知{an}是公差为 1 的等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和,若 S8=4S4, 则 a10=( )B 17 19 A. B. C.10 D.12 2 2 1 1 1 解:依题 8a1 ? ? 8 ? 7 ? 4(4a1 ? ? 4 ? 3) ,解得 a1 = , 2 2 2 1 19 ∴ a10 ? a1 ? 9d ? ? 9 ? ,故选 B. 2 2 8.函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为( )D 1 3 1 3 A. (k? ? , k? ? ), k ? Z B. (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 4 4 1 3 1 3 C. (k ? , k ? ), k ? Z D. (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4 4 4 ? ? 1 ? 5 3? ? = , ? f ( x) ? cos(? x ? ) , 解: 依图, ? +? ? 且 ? +? ? , 解得 ω=π, 4 4 4 2 4 2 ? 1 3 由2k? ? ? x ? ? 2k? ? ?, ,解得 2k ? ? x ? 2k ? ,故选 D. 4 4 4 9.执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01, 则输出的 n=( )C A.5 B.6 C.7 D.8 1 1 1 1 1 1 解: 运行程序, S,m,n 依次是( , ,1 ), ( , , 2 ),( , ,3 ), 2 4 4 8 8 16 1 1 1 1 1 1 1 1 , 6 ),( , ,7 ),故选 C ( , , 4 ),( , ,5 ), ( , 16 32 32 64 64 128 128 256 ?2 x ?1 ? 2, x ? 1 10.已知函数 f ( x) ? ? ,且 f(a)=-3, ?? log 2 ( x ? 1), x ? 1 则 f(6-a)=( )A 7 5 3 1 A. ? B. ? C. ? D. ? 4 4 4 4 a-1 a-1 解:∵f(a)=-3,∴当 a≤1 时,f(a)=2 -2=-3,则 2 =-1,无解。当 a>1 时, f(a)=-log2(a+1) =-3, 则 a+1=8, 解得 a=7, ∴f(6-a)=f(-1)= 7 2-2-2= ? ,故选 A. 4 11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r) 组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和 俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 16+20π, 则 r=( )B
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A.1 B.2 C.4 D.8 解:该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为 r, 圆柱的高为 2r,其表面积为 2πr2+πr×2r+πr2+2r×2r =5πr2+4r2=16+20π, 解得 r=2,故选 B. 12.设函数 y=f(x)的图像与 y=2x+a 的图像关于直线 y=-x 对称,且 f(-2)+f(-4)=1,则 a=( )C A.-1 B.1 C.2 D.4 解:设 f(-2)=m,f(-4)=n,则 m+n=1,依题点(-2,m)与点(-4,n)关于直线 y=-x 对称点为(-m, 2)与点(-n, 4)在函数 y=2x+a 的图像上, ∴2=2-m+a, 4=2-n+a, ∴-m+a=1, -n+a=2,∴2a=3+m+n=4,∴a=2,故选 C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在横线上. 13.数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn 为{an}的前 n 项和,若 Sn=126,则 n= . 6 2(1 ? 2n ) ? 126 , 解:数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列,∴ Sn ? 1? 2 ∴ 2n=64,∴n=6. 14.已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点(1, f(1))的处的切线过点(2,7),则 a= .1 2 解:∵f '(x)=3ax +1,∴切线斜率为 f '(1)=3a+1,又切点为(1, a+2), 且切线过点(2,7),∴7-(a+2)=3a+1,解得 a=1. ? x? y?2?0 ? 15.若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z=3x+y 的最大值为 .4 ?2 x ? y ? 2 ? 0 y ③ ? 解:作出可行域四边形 ABC,如图. 2 B ② 画出直线 l0:3x+y =0,平移 l0 到 l, A 当 l 经过点 A 时 z 最大,联立 x+y-2=0 与 x-2y+2=0 -1 2 x 解得交点 A(1,1),所以 zmax=4. CO l0 ① 2 y ? 1的右焦点,P 是 C 左支上一点, A(0,6 6) , 16.已知 F 是双曲线 C: x 2 ? 8 当 ΔAPF 周长最小时,该三角形的面积为 . 12 6 2 解:a=1,b =8,? c=3,∴F(3,0).设双曲线的的左焦点为 F1,由双曲线定 义知|PF|=2+|PF1|,∴ΔAPF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|AF|+|PF1|+2,由于|AF| 是定值,只要|PA|+|PF1|最小,即 A,P,F1 共线,∵ A(0,6 6) ,F1 (-3,0),∴直线 AF1 x y 的方程为 联立 8x2-y2=8 消去 x 整理得 y2+ 6 6 y-96=0, 解得 y= 2 6 ? ? 1, ?3 6 6 或 y= ?8 6 (舍去),此时 SΔAPF=SΔAFF1-SΔPFF1 ? 3? (6 6 ? 2 6) ? 12 6 .

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