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浙江省杭州二中2013-2014学年高一上学期期中数学试题


杭州二中 2013 学年第一学期高一年级期中考试数学试卷
时间 100 分钟 注意:本试卷不得使用计算器. 命题 李鸽 校对 陈永毅 审核 徐存旭

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.

3? ,则 CU ( A ? B) 1. 已知全集 U ?

{1,2,3,4} ,集合 A ? {1} , B = ?2,
A. {1} B. {1,2,3} C. {1,2} D. {4}

2.如图所示,集合 M,P,S 是全集 V 的三个子集,则图中阴影部分所表示的集合是 A. ( M ? P ) ? S C. ( M ? S ) ? (CV P ) B. ( M ? P ) ? S D. ( M ? P ) ? (CV S )

3. 已知 a ? log 2 0.3, b ? 2 0.1, c ? 0.2 1.3 ,则 a, b, c 的大小关系是 A. a ? b ? c 4. 函数 y ? B. c ? a ? b C. a ? c ? b D. b ? c ? a

x ?1 ? log 2 (? x 2 ? 2 x ? 3) 的定义域为 x?2
B. {x | 1 ? x ? 2} C. {x | 1 ? x ? 2或2 ? x ? 3} D. {x | 1 ? x ? 2}

A. {x | 1 ? x ? 3} 5.函数 y ? e
?| x|

( e 是自然底数)的大致图象是

6.若函数 f ( x) ? ?

?(a ? 2) x ? 3a ? 2, 0 ? x ? 2,
x ?a ,

x ? 2,
B. (1,2]

是一个单调递增函数,则实数 a 的取值范围 C. (0,2] ? [3,??) D. [3,??)

A. (1,2] ? [3,??)

?1? 7. 函数 f ( x ) ? ? ? ?2?
A. ( ??, )

x 2 ? x ?1

的单调递增区间为 D. [

1? 5 1 1 ] B. ( ,?? ) C. (??, 2 2 2 x 8.函数 y ? 2 | log 0.5 x | ?1 的图象与 x 轴的交点个数为
A. 1 B. 2 C. 3

1? 5 ,??) 2

D. 4

9. 函数 f ( x) ? x(| x | ?1) 在 [m, n] 上的最小值为 ?

1 ,最大值为 2,则 n ? m 的最大值为 4
D. 2

A.

5 2

B.

5 2 ? 2 2

C.

3 2

10.设函数 f ( x) ? A. ( ??, ]

x ? a ( a ? R ).若方程 f ( f ( x)) ? x 有解,则 a 的取值范围为
B. (0, ]

1 4

1 8

C. ( ??, ]

1 8

D. [1,??)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11.已知集合 A ? {x | 1 ? 2 ? 16} , B ? {x | 0 ? x ? 3, x ? N} ,则 A ? B ?
x

.

12.计算 0.064

?

1 3

2 ? 1? ? ? ? ? ? 2 log2 5.5 ? , 结果是 2 ?1 ? 8?
.

0

.

3 13.用“二分法”求方程 x ? x ? 1 ? 0 在区间 [1,2] 内有实根,取区间中点为 x 0 ? 1.5 ,那么下一个有根的闭

区间是

14.在同一坐标系中,y=2x 与 y ? log 2 x 的图象与一次函数 y ? ? x ? b 的图象的两个交点的横坐标之和为 6,则 b = .

15.已知函数 f ( x) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f ( x) 在 [1,??) 是增函数,如果不等式 f (1 ? m) ? f (m) 成立,则实数 m 的取值范围是 . .

?? x 2 ? x, x ? 0 16. 已知函数 f ( x ) ? ? ,若 | f ( x) |? ax 恒成立,则 a 的取值范围是 ?ln( x ? 1), x ? 0
三、解答题:本大题共 4 小题.共 46 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 8 分)设集合 A ? { y | y ? 2 ,1 ? x ? 2} , B ? {x | 0 ? ln x ? 1} ,
x

C ? {x | t ? 1 ? x ? 2t , t ? R} .
(1)求 A ? B ; (2)若 A ? C ? C ,求 t 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? (1)求 a 的值;

2x ?1 是奇函数. 2 x ?1 ? a

(2)判断并证明 f ( x) 在 (0,??) 上的单调性; (3)若关于 x 的方程 k ? f ( x) ? 2 在 (0,1] 上有解,求 k 的取值范围.
x

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 2a ? 1 ( a 为实常数).
2

(1)若 a ? 0 ,求函数 y ?| f ( x) | 的单调递增区间; (2)设 f ( x) 在区间 [1, 2] 的最小值为 g (a ) ,求 g (a ) 的表达式; (3)设 h( x) ?

f ( x) ,若函数 h( x ) 在区间 [1, 2] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x

20.(本小题满足 14 分)设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? lg( x ? ax ? 10) , a ? R .
2

(1)若 f (1) ? lg 5 ,求 f ( x) 的解析式; (2)若 a ? 0 ,不等式 f (k ? 2 ) ? f (4 ? k ? 1) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围;
x x

(3)若 f ( x) 的值域为 R ,求 a 的取值范围.

杭州二中 2013 学年第一学期高一年级期中考试数学答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 答案 D C C C C D C B B A

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中的横线上. 11.

{0,1,2}
[1,1.5]

12.

2 2
6

13.

14.

15.

m?

1 2

16.

?1 ? a ? 0

三、解答题:本大题共 4 小题.共 46 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解: (1) A ? { y | 2 ? y ? 4} , B ? {x | 1 ? y ? e} ……………………………..2 分

所以 A ? B ? {t | 2 ? t ? e} ……………………………………………………………….2 分 (2)因为 A ? C ? C ,所以 C ? A , 若 C 是空集,则 2t ? t ? 1 ,得到 t ? 1 ;…………………………………………………2 分

?t ? 1 ? 2 ? 若 C 非空,则 ?2t ? 4 ,得 1 ? t ? 2 ;综上所述, t ? 2 .…………………………2 分 ?t ? 1 ? 2t ?
18.解: (1)因为 f ( x) ? 即 f ( x) ? f ( ? x ) ? 0 ,

2x ?1 是奇函数,故对定义域内的 x,都有 f ( x) ? ? f (? x) 2 x ?1 ? a



2x ?1 2?x ? 1 (2 ? a)( 2 x ?1 ? 2 2 x ? 1) ? ? ? 0 ,于是 a ? 2 .…………………3 分 2 x ?1 ? a 2 ? x ?1 ? a (2 x ?1 ? a)( 2 ? a ? 2 x )

(2) f ( x) 在 (0,??) 上的单调递减. .……………………………………………………2 分 对任意的 0 ? x1 ? x 2

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?
故 f ( x1 ) ? f ( x2 )

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2 x1 ? 2 x2 ? ? ?0 2 x1 ?1 ? 2 2 x2 ?1 ? 2 (2 x1 ?1 ? 2)( 2 x2 ?1 ? 2)

即 f ( x) 在 (0,??) 上的单调递减. . .……………………………………………………3 分

(3)解法一:方程 k ? f ( x) ? 2 可化为:
x

2(2 x ) 2 ? (k ? 2) ? 2 x ? k ? 0 ,令 2 x ? t ? (1,2]
于是 2t ? (k ? 2)t ? k ? 0 在 (1,2] 上有解………………………………………..2 分
2

设 g (t ) ? 2t ? (k ? 2)t ? k
2

? k?2 ?1 ? 4 ? 2 ? ? (1) g (t ) 在 (1,2] 上有两个零点(可重合) ,令 ?? ? 0 无解. ? g (1) ? 0 ? ? ? g ( 2) ? 0
(2) g (t ) 在 (1,2] 上有 1 个零点,令 ? 综上得 0 ? k ?

? g (1) g (2) ? 0 4 ,得 0 ? k ? 3 ? g (1) ? 0

4 ……………………………………………………………………2 分 3
x

解法二:方程 k ? f ( x) ? 2 可化为:

2(2 x ) 2 ? (k ? 2) ? 2 x ? k ? 0 ,令 2 x ? t ? (1,2]
于是 2t ? (k ? 2)t ? k ? 0 ,………………………………………..2 分
2

2t 2 ? 2t 4 ? 2(t ? 1) ? ?6 则k ? t ?1 t ?1

2(t ? 1) ?

4 4 4 ? 6 的值域为 (0, ] ,故 0 ? k ? .…………………………2 分 t ?1 3 3
2

19. 解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x ? 1 , 则 y ?| f ( x) | 在 (?1,0), (1,??) 上单调递增;……………………………………….3 分 (2)当

a ? 1 时,即 a ? 2 , g (a) ? f (1) ? a ; 2

a a2 a ? 2a ? 1 ; 当 1 ? ? 2 时,即 2 ? a ? 4 , g (a) ? f ( ) ? ? 2 4 2


a ? 2 时,即 a ? 4 , g (a) ? f (2) ? 3 ; 2

?a, a ? 2, ? 2 ? a 综上: g (a) ? ?? ? 2a ? 1,2 ? a ? 4, ……………………………………….4 分 ? 4 ? ?3, a ? 2.

f ( x) 2a ? 1 ? x? ?a x x 1 当 2a ? 1 ? 0 ,即 a ? , h( x ) 是单调递增的,符合题意;………………………..2 分 2 1 当 2a ? 1 ? 0 , 即 a ? 时,h( x ) 在 (0, 2a ? 1] 单调递减, 在 ( 2a ? 1,??) 单调递增, 令 2a ? 1 ? 1 , 2 1 得 ? a ? 1. 2 综上所述: a ? 1 ..………………………………………………………………….3 分
(3) h( x) ? 20.解: (1)因为 f (1) ? lg 5 ,则 f ( x) ? lg(11 ? a) ? lg 5 ,所以 a ? 6 ,此时 当 x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ? lg( x ? 6 x ? 10) ,又 f (0) ? 0 ,故
2

?lg( x 2 ? 6 x ? 10), x ? 0, ? ………………………………………….4 分 f ( x) ? ?0, x ? 0, ? 2 ?? lg( x ? 6 x ? 10), x ? 0.
(2)解法一:若 a ? 0 ,则 f ( x) 在 R 上单调递增,故 f (k ? 2 ) ? f (4 ? k ? 1) ? 0 等价于
x x

k ? 2 x ? 4 x ? k ? 1 ? 0 ,令 t ? 2 x (t ? 0) ,
于是 t ? kt ? k ? 1 ? 0 在 (0,??) 恒成立,…………………2 分
2

即k ? ?

t 2 ?1 (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? 2 2 ?? ? ?[(t ? 1) ? ]?2 t ?1 t ?1 t ?1

因为 ? [(t ? 1) ?

2 ] ? 2 的最大值为 ? 2 2 ? 2 ,所以 k ? ?2 2 ? 2 .…………………3 分 t ?1
x x

解法二:若 a ? 0 ,则 f ( x) 在 R 上单调递增,故 f (k ? 2 ) ? f (4 ? k ? 1) ? 0 等价于

k ? 2 x ? 4 x ? k ? 1 ? 0 ,令 t ? 2 x (t ? 0) ,
于是 t ? kt ? k ? 1 ? 0 在 (0,??) 恒成立,…………………2 分
2

设 g (t ) ? t ? kt ? k ? 1
2

(1) ? ? 0 ,解得: ? 2 2 ? 2 ? k ? 2 2 ? 2 ;

?? k ?0 ? (2) ? 2 ,解的 k ? 0 . ? ? g ( 0) ? 0
综上, k ? ?2 2 ? 2 .…………………3 分 (3)首先需满足 x ? ax ? 10 ? 0 在 (0,??) 上恒成立,
2

于是 a ? x ?
2

10 ,即 a ? 2 10 ;…………………2 分 x
2

其次需要 x ? ax ? 10 在 (0,??) 上的值域为 (1,??) ,即 x ? ax ? 10 ? 1 在 (0,??) 上有解 于是 a ? x ?

9 ? 6; x

综上 6 ? a ? 2 10 .…………………3 分


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