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高中数学北师大版必修5同步练习:1.1 第1课时《正弦定理与余弦定理》


1.1 第 1 课时《正弦定理与余弦定理》

一、选择题 1.在△ABC 中,下列关系中一定成立的是( A.a>bsinA C.a<bsinA [答案] D a b bsinA 1 [解析] 由正弦定理,得 = ,∴a= ,在△ABC 中,0<sinB≤1,故 ≥1,∴a≥bsinA. sinA sinB sinB sinB 2.在△ABC

中,已知(b+c)?(c+a)?(a+b)=4?5?6,则 sinA?sinB?sinC 等于( A.6?5?4 C.3?5?7 [答案] B [解析] 解法一:∵(b+c)?(c+a)?(a+b)=4?5?6, ∴ ∴ ∴ b+c a+c a+b = = . 4 5 6 ?b+c?+?a+c?+?a+b? b+c a+c a+b = = = 4 5 6 4+5+6 a+b+c b+c a+c a+b = = = 15 4 5 6 2 B.7?5?3 D.4?5?6 ) )

B.a=bsinA D.a≥bsinA

a b c ∴ = = , 7 5 3 2 2 2 ∴a?b?c=7?5?3, a b c 又由正弦定理 = = sinA sinB sinC 得 sinA?sinB?sinC=7?5?3,故选 B. 解法二:(b+c)?(c+a)?(a+b) =(sinB+sinC)?(sinC+sinA)?(sinA+sinB)=4?5?6, 令 sinB+sinC=4x, sinC+sinA=5x, sinA+sinB=6x, 7 5 3 解得,sinA= x.sinB= x,sinC= x, 2 2 2 ∴sinA?sinB?sinC=7?5?3.故选 B.

3.已知锐角△ABC 的面积为 3 3,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为( A.75° C.45° [答案] B 1 [解析] 由题意,得 ×4×3sinC=3 3, 2 ∴sinC= 3 ,又 0° <C<90° ,∴C=60° . 2 ) B.60° D.30°

)

4.不解三角形,下列判断中不正确的是( A.a=7,b=14,A=30° ,有两解 B.a=30,b=25,A=150° ,有一解 C.a=6,b=9,A=45° ,无解 D.b=9,c=10,B=60° ,有两解 [答案] A

[解析] 对于 A,由于 a=bsinA,故应有一解;对于 B,a>b,A=150° ,故应有一解;对于 C,a<bsinA, 故无解;对于 D,csinB<b<c,故有两解. π 5.△ABC 中,a=2,b= 2,B= ,则 A 等于( 6 π A. 3 π 3π C. 或 4 4 [答案] C a b 2 [解析] ∵ = ,∴sinA= , sinA sinB 2 π 3π ∴A= 或 A= , 4 4 π 3π 又∵a>b,∴A>B,∴A= 或 ,∴选 C. 4 4 6.在 ΔABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cosB=( 2 2 A.- 3 C.- 6 3 2 2 B. 3 D. 6 3 ) π B. 4 π 2π D. 或 3 3 )

[答案] D 15 10 [解析] 由正弦定理,得 = , sin60° sinB

3 10× 2 10· sin60° 3 ∴sinB= = = . 15 15 3 ∵a>b,A=60° ,∴B 为锐角. ∴cosB= 1-sin2B= 二、填空题 π 7.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 A= ,a= 3,b=1,则 c=________. 3 [答案] 2 b [解析] 由正弦定理得 sinB= · sinA a = 1 3 1 × = , 2 2 3 1-? 6 3?2 = . ?3? 3

又∵b=1<a= 3, π π π ∴B<A= ,而 0<B<π,∴B= ,C= , 3 6 2 由勾股定理得 c= a2+b2= 1+3=2. 8.在△ABC 中,A=60° ,C=45° ,b=2.则此三角形的最小边长为__________. [答案] 2 3-2 [解析] ∵A=60° ,C=45° ,∴B=75° , b c ∴最小边为 c,由正弦定理,得 = , sinB sinC ∴ 2 c = , sin75° sin45°

又∵sin75° =sin(45° +30° ) =sin45° cos30° +cos45° sin30° = 6+ 2 2 3 2 1 × + × = , 2 2 2 2 4

2 2× 2 2×sin45° ∴c= = =2 3-2. sin75° 6+ 2 4 三、解答题 π B 2 5 9.在△ABC 中,a、b、c 分别是三个内角 A、B、C 的对边,若 a=2,C= ,cos = ,求△ABC 4 2 5 的面积. B 2 5 [解析] 由题意知 cos = , 2 5

B 3 则 cosB=2cos2 -1= , 2 5 4 ∴B 为锐角,∴sinB= , 5 3 7 2 sinA=sin(π-B-C)=sin( π-B)= 4 10 2 2× 2 10 asinC 由正弦定理,得 c= = = . sinA 7 7 2 10 1 1 10 4 8 ∴S△ABC= acsinB= ×2× × = . 2 2 7 5 7 10.在△ABC 中,若 sinA=2sinBcosC,sin2A=sin2B+sin2C,试判定△ABC 的形状. [解析] 解法一:由 sin2A=sin2B+sin2C,利用正弦定理得 a2=b2+c2,故△ABC 是直角三角形且 A= 90° , ∴B+C=90° ,B=90° -C.∴sinB=cosC. 由 sinA=2sinBcosC,可得 1=2sin2B, 1 2 ∴sin2B= ,sinB= . 2 2 ∴B=45° ,∴C=45° . ∴△ABC 为等腰直角三角形. 解法二:由解法一知 A=90° , ∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC, ∴sin(B-C)=0,又-90° <B-C<90° ,∴B-C=0° , ∴△ABC 是等腰直角三角形.

一、选择题 1.在△ABC 中,a=λ,b= 3λ,∠A=45° ,则满足此条件的三角形有( A.0 个 C.2 个 [答案] A a b 3λ· sin45° 6 [解析] 由正弦定理 = 得 sinB= = >1 无解,故选 A. sinA sinB λ 2 2.已知△ABC 中,a=x,b=2,∠B=45° ,若三角形有两解,则 x 的取值范围是( A.x>2 C.2<x<2 2 [答案] C B.x<2 D.2<x<2 3 ) B.1 个 D.无数个 )

[解析] 由题设条件可知? ∴2<x<2 2.

?x>2

<2 ?xsin45°



1 3.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 asinBcosC+csinBcosA= b,且 a>b,则∠B 2 =( ) π A. 6 2π C. 3 [答案] A [解析] 本题考查解三角形,正弦定理,已知三角函数值求角. 1 1 1 由正弦定理可得 sinB(sinAcosC+sinCcosA)= sinB,∵sinB≠0,∴sin(A+C)= ,∴sinB= ,由 a>b 知 2 2 2 π A>B,∴B= .选 A. 6 4.设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则直线 xsinA+ay+c=0 与 bx-ysinB +sinC=0 的位置关系是( A.平行 C.垂直 [答案] C sinA b [解析] ∵k1=- ,k2= ,∴k1· k2=-1, a sinB ∴两直线垂直. 二、填空题 AC 5.在锐角△ABC 中,BC=1,B=2A,则 的值等于________,AC 的取值范围为________. cosA [答案] 2 ( 2, 3) AC BC [解析] 设 A=θ?B=2θ.则正弦定理,得 = , sin2θ sinθ ∴ AC AC =1? =2. 2cosθ cosθ ) B.重合 D.相交但不垂直 π B. 3 5π D. 6

由锐角△ABC 得 0° <2θ<90° ?0° <θ<45° , 又 0° <180° -3θ<90° ?30° <θ<60° , 故 30° <θ<45° ? 2 3 <cosθ< , 2 2

∴AC=2cosθ∈( 2, 3). 1 6.在△ABC 中,已知 tanB= 3,cosC= ,AC=3 6,则△ABC 的面积________. 3

[答案] 6 2+8 3 [解析] 设在△ABC 中 AB、BC、CA 的边长分别为 c、a、B. 由 tanB= 3,得 B=60° ,∴sinB= 3 1 ,cosB= . 2 2

1 2 2 又 cosC= ,∴sinC= 1-cos2C= . 3 3 2 2 3 6× 3 bsinC 由正弦定理,得 c= = =8. sinB 3 2 又∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC= 3 2 + , 6 3

1 1 3 2 ∴S△ABC= bcsinA= ×3 6×8×( + )=6 2+8 3. 2 2 6 3 三、解答题 7.(2014· 山东文,17)△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,C. 已知 a=3,cosA= π A+ . 2 (1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积. [解析] (1)∵cosA= 6 3 .0<A<π.∴sinA= . 3 3 6 ,B= 3

π π 6 又 B=A+ .∴sinB=sin(A+ )=cosA= . 2 2 3 又 a=3.∴由正弦定理得. a b = sinA sinB 即 3 b = ,∴b=3 2. 3 6 3 3

π 3 (2)∵cosB=cos(A+ )=-sinA=- , 2 3 ∴在△ABC 中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 1 1 1 3 2 ∴S△ABC= absinC= ×3×3 2× = . 2 2 3 2 8.在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A. (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值. 3 3 6 6 1 ×(- )+ × = 3 3 3 3 3

[解析] (1)因为 a=3,b=2 6,∠B=2∠A, 所以在△ABC 中,由正弦定理,得 3 2 6 = , sinA sin2A

2sinAcosA 2 6 6 所以 = ,故 cosA= . sinA 3 3 (2)由(1)知 cosA= 6 , 3 3 . 3

所以 sinA= 1-cos2A=

1 又因为∠B=2∠A,所以 cosB=2cos2A-1= . 3 2 2 所以 sinB= 1-cos2B= , 3 在△ABC 中,sinC=sin(A+B) 5 3 asinC =sinAcosB+cosAsinB= .所以 c= =5. 9 sinA


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