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甘肃省武威第五中学2013届高三9月月考数学试题


甘肃省武威第五中学 2013 届高三 9 月月考 数 学

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项 中只有一个是符合题目要求的) 1.集合 ,集合 Q= ,则 P 与 Q 的关系是( )

P=Q B.P Q C. D. 3 2.用二分法研究函数 f(x)=x +3x-1 的零点时,第一次经

计算 f(0)<0,f(0.5)>0,可得 其中一个零点 x0∈__________,第二次应计算__________.以上横线上应填的内容为 ( ) A.(0,0.5),f(0.25) B.(0,1),f(0.25) C.(0.5,1),f(0.75) D.(0,0.05),f(0.125) 3.命题“存在 x 0 ? R, 2 x ? 0”的否定是(
0


0

A.不存在 x 0 ? R, 2 x >0
0

B.存在 x 0 ? R, 2 x ? 0 D.对任意的 x
? R, 2
x

C.对任意的 x ? R, 2 x ? 0

>0
? ?

4. 已知 ? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? ,那么“ m ? ? ”是“ ? A. 充要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.(理)已知 f(x)为偶函数且∫ 6 f ( x ) dx=8,则∫ 6 6 f ( x ) dx 等于 ( 0 ? A.0 B.4 C.8 D.16 ( ) D. ? ? 2, 8 ? )

”的(

)

(文) 函数 y ? 1 ? lg ( x ? 2 ) 的定义域为 A. ? 0, 8 ? B. ? 8, ? ? ?
a b

C. ? 2, 8 ?
ab

6.设命题 p: a>b,则 1 ? 1 ; :若

q: 1 ? 0 ? 则 ab<0;给出以下 3 个复合命题:①p∧q; 若 ) D.3



p∨q; ③( ? p ) ? ( ? q ) ?其 中 真 命 题 的 个 数 为 ( A.0 7.已知对任意实数 x,有 ( ) A. C.
f ' ( x ) ? 0, g ' ( x ) ? 0

B.1

C.2

f ( ? x ) ? ? f ( x ), g ( ? x ) ? g ( x ),

且 x ? 0 时, f ' ( x ) ? 0 , g ' ( x ) ? 0 ,则 x ? 0 时

B. D.

f ' ( x ) ? 0, g ' ( x ) ? 0

f ' ( x ) ? 0, g ' ( x ) ? 0

f ' ( x ) ? 0, g ' ( x ) ? 0

·1·

8.设 f(x)= A.0

x ?1 ? 2 e ? x ? 2? ? ? 2 ? lo g 3 ( x ? 1) ? x ? 2 ? ?

则 f[f(2)]的值为 C.2
2

(

) D.3 ) D. 2 )

B.1

9.已知幂函数 y=f(x)的图象经过点 ( 4 ? 1 ) ? 则 f(2)等于 ( A. 1 B.4 C. 2
2

4

10.(理)若方程 2 ax 2 ? x ? 1 ? 0 在(0, 1)内恰有一个解,则 a 的取值范围是( A.a<-1 (文)设
x

B.a>1
f ( x) ? e ? x ? 4

C.-1<a<1

D. 0 ? a ? 1 ) )

,则函数

f ( x ) 的零点位于区间(

A. (-1,0) B. (1,2) C. (0,-1) D. (2,3) 3 11. 若直线 y=a 与函数 f(x)=x -3x 的图象有相异的三个公共点, a 的取值范围是 则 (
?

A. (-2,2) B. (0,2) C. (-2,1)

D. (-2,0)

0 12.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x ? R 都有 f ( x ) ? f ( x ? 4 ) ,当 x ? ( ? 2, ) 时,

f (x) ? 2

x

,则 f ( 2012 ) ? f ( 2011 ) 的值为(
1



?

1 2

A.

B. 2

C. 2

D. ? 2

题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号 答 案 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.(文).已知 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1) 在其定义域上为减函数,若? loga 3 ? <1, a 的取值范 则
4

围为

.

2 ( 理 ) 设 函 数 f ( x ) ? m x ? m x? 1 ?若 f(x)<0 的 解 集 为 R, 则 实 数 m 的 取 值 范 围



.

14.已知定义 在 [0 ? ? ? ) 上的函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象如图所示,则不等式 f ( x ) ? g ( x ) ? 0 的 解集是 .

·2·

15.( 文) 设 a=0. 2 3 ? b ? 3 0 ?2 ? c ? 则 a,b,c 的大小关系是_________. (理)定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x ) 且在[-1,0]上单调递增,若 的大小关系为_________. 16.在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点,若某函数 f(x)的图象恰 好经过 n 个格点,则称该函数 f(x)为 n 阶格点函数.给出下列函数:①y=x2;②y=lnx; 1 ③y=3x-1;④y=x+ x;⑤y=cosx.其中为一阶格点函数的是________(填序号). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分)已知 y= f ( x ) 是二次函数,且 f(0)=8 及 f(x+1)-f(x)=-2x+1 (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)求函数 y ? log 3 f ( x ) 的单调 递减区间及值域.. 1 18.(12 分)已知 c>0,设命题 p:函数 y=cx 为减函数,命题 q:当 x∈[2,2]时,函数 1 1 f(x)=x+ x >c 恒成立.如果 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求 c 的取值范 围 19.(12 分)求当 m 为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4. (1)有且仅有一个零点;(2)有两个零点且均比-1 大; 20. (理科班)(12 分)设函数 f(x)=ln(2x+3)+x2 (1)讨论 f(x)的单调性; (2)求 f(x)在区间[-1,0]的最大值和最小值. (文科班) (12 分)已知 a 为实数,函数 f ( x ) ? ( x 2 ? 1)( x ? a ) . (1) 若 f ?( ? 1) ? 0 ,求函数 y ? f ( x ) 在[-1,1]上的最大值和最小值 ; (2)若函数 f ( x ) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围. 21. (理科班)(12 分)已知 m ? R,函数 f ( x ) ? ( x 2 ? m x ? m ) ? e x . (1)若函数 f(x)存在极大值,并记为 g(m),求 g(m)的表达式; (2)当 m=0 时,求证: f ( x ) ? x 2 ? x 3 .
·3·

a ? f ( 3 ), b ? f ( 2 ), c ? f ( 2 ) 则 a , b , c

(文科班) 设函数 f(x)=x3-3ax+b(a≠0).?
(1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,求 a,b 的值;? (2)求函数 f(x)的单调性与极值点.

22.(12 分)某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该 厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部 服装的出场单价就降低 0.02 元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 600 件. (1)设一次订购 x 件,服装的实际出厂单价为 p 元,写出函数 p=f(x)的表达式; (2)当销售商一次订购多少件服装时,该厂获得的利润最大?其最大利润是多少?

高三数学答案
·4·

填空题: 13. (文) (0 ? 3 ) (理) (-4,0]
4

14. {x| 0 ? x ? 1 或 1<x<2 或 x>2}
2

15. (文)c<a<b

(理) a ? b ? c

16.

②⑤

18. 解:
由命题 p 知 0<c<1, 1 5 由命题 q 知:2≤x+ ≤ . x 2 1 1 要使此式恒成立,则 2> ,即 c> .…………… ………4 分 c 2 又由 p 或 q 为真,p 且 q 为假知, p、q 必有一真 一假, ①p 为真,q 为假时,p 为真,0<c<1; 1 1 q 为假,c≤ ,∴0<c≤ .…………………8 分 2 2 ②p 为假,q 为真时,p 为假,c≤0 或 c≥1; 1 q 真,c> ,∴c≥1. 2 1 综上可知,c 的取值范围为 0<c≤ 或 c≥1. …………………12 分 2

19. 解

(1)f(x)=x2+2mx+3m+4 有且仅有一个零点?方程 f(x)=0 有两个相等实根?Δ =0,即 4m2-4(3m+4)=0,即 m2-3m-4=0, ∴m=4 或 m=-1. ……………… 5 分 设 f(x)的两个零点分别为 x1,x2, 则 x1+x2=-2m,x1·2=3m+4. x

(2)法一

?Δ=4m -4?3m+4?>0 由题意,在??x1+1??x2+1?>0 ??x1+1?+?x2+1?>0
·5·

2

?

? ?3m+4-2m+1>0 ?-2m+2>0

m2-3m-4>0

?m>4或m<-1, ??m>-5, ?m<1,

∴-5<m<-1.故 m 的取值范围为(-5,-1).………………12 分

法二

?Δ>0, 由题意,知?-m>-1, ?f?-1?>0,

?m -3m-4>0, 即?m<1, ?1-2m+3m+4>0.

2

∴-5<m<-1.∴m 的取值范围为(-5,-1).

21.
(理科班)解: (1)f′(x)=(2x+m)e ? ( x ? m x ? m ) e
x 2

x

=(x+2)(x+m)e ?
x

令 f′(x)=0,得 x=-2 或-m. ······· 分 ·······2 当 m>2 时,则-m<-2, 此时随 x 变化,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

·6·

当 时,f(x)取得极大值 me
?m

x=-m

?
2 x

当 m=2 时,f′(x) ? ( x ? 2 ) e ? 0 ? f ( x ) 在 R 上为增函数,∴f(x)无极大值. 当 m<2 时,则-m>-2, 此时随 x 变化,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

当 x=-2 时,f(x)取得极大值(4-m)e ?
? m e ? m ? m ? 2? ∴g(m)= ? ········· 分 ·········6 ?2 ? ( 4 ? m )e ? m ? 2 ?

?2

(2)证明:当 m=0 时 ? f ( x ) ? x e ?
2 x

要证 f ( x ) ? x ? x ? x ( x ? 1) ?
2 3 2

即证 e ? x ? 1?
x

即证 e ? x ? 1 ? 0 ? ……………8 分
x

令 g(x)=e ? x ? 1? 则 g′(x)=e ? 1?
x x

∴当 x>0 时 g(x)为增函数; 当 x<0 时 g(x)为减函数, ∴x=0 时 g(x)取最小值,g(0)=0. ∴ g ( x) ? 0 . ∴e ? x ? 1 ? 0 .
x

·7·

∴ f ( x ) ? x ? x . ……………12 分
2 3

(文科班) 解: (1)f′(x)=3x2-3a,? 因为曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切?,? 所以 ?
? f ?( 2 ) ? 0 , ? f ( 2 ) ? 8,

即?

?3( 4 ? a ) ? 0, ?8 ? 6 a ? b ? 8 .

?

解得 a=4,b=24.?…………………………6 分 2 (2)f′(x)=3(x -a)(a≠0).? 当 a<0 时,f′(x)>0,函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;此时函数 f(x)没有极值点.?……………8 分 当 a>0 时,由 f′(x)=0 得 x=± a .? 当 x∈(-∞,- a ,)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(- a , a )时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减;? 当 x∈( a ,+∞)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增.? 此时 x=- a 是 f(x)的极大值点,x=
a 是 f(x)的极小值点. ……………12 分

·8·


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