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第二节 函数的定义域和值域


第二节 1.常见基本初等函数的定义域

函数的定义域和值域

(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数被开方式大于或等于 0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为 R.(4)y=ax,y=sin x,y=cos x,定义域均为 R. π ? ? (5)y=tan x 的定义域为?xx≠kπ+2,k∈Z?.(6)函数 f(x)=x0

的定义域为{x|x≠0}.
? ?

(7)实际问题中的函数定义域,除了使函数的解析式有意义外,还要考虑实际问题对函 数自变量的制约. 2.基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是 R. (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是:
? ? 4ac-b2? 4ac-b2? ?;当 a<0 时,值域为?yy≤ ?. 当 a>0 时,值域为?yy≥ 4a ? 4a ? ? ?

k (3)y= (k≠0)的值域是{y|y≠0}。 x (5)y=logax(a>0 且 a≠1)的值域是 R. (7)y=tan x 的值域是 R.

4)y=ax(a>0 且 a≠1)的值域是{y|y>0}. (6)y=sin x,y=cos x 的值域是[-1,1].

函数的最值与值域的关系: 函数的最值与函数的值域是关联的, 求出了函数的值域也就能确 定函数的最值情况,但只确定了函数的最大(小)值,未必能求出函数的值域. [注意] 求函数的值域,不但要重视对应关系的作用,而且还要特别注意函数定义域. lg?x2-2x? [例 1] (1)(2012· 温州模拟)求函数 f(x)= 的定义域; 9-x2 (2)已知函数 f(2x)的定义域是[-1,1],求 f(x)的定义域. 若本例(2)条件变为:函数 f(x)的定义域是[-1,1],求 f(log2x)的定义域.

1 3.(2012· 山东高考)函数 f(x)= + ln?x+1? A.[-2,0)∪(0,2] C.[-2,2] 4.(教材习题改编)函数 f(x)=

4-x2的定义域为(

)

B.(-1,0)∪(0,2] D.(-1,2] x-4 的定义域为________. |x|-5

2x-x2 1.(1)函数 y= 的定义域是________. ln?2x-1?

(2)(2013· 沈阳质检)若函数 y=f(x)的定义域为[-3,5],则函数 g(x)=f(x+1)+f(x-2)的定 义域是( )A.[-2,3] B.[-1,3] C.[-1,4] D.[-3,5]

[例 2] 求下列函数的值域. (1)y=x2+2x(x∈[0,3]) x2-x (4)y= 2 x -x+1 1-x2 (2)y= 1+x2 4 (3)y=x+ (x<0) x

(5)f(x)=x- 1-2x.

求函数值域常用的方法 (1)配方法, (例(1)).(2)换元法(例(4)).(3)基本不等式法(例(3)). (4)单调性法(例(4)).(5)分离常数法(例(2)). 1.(教材习题改编)若 f(x)=x2-2x,x∈[-2,4],则 f(x)的值域为( A.[-1,8] B.[-1,16] ) 1? ? C.?yy≤2?
? ?

) D.[-2,4]

C.[-2,8]

1 2.函数 y= 2 的值域为( x +2 A.R
?

1? ? B.?yy≥2?
?

1? ? D.?y0<y≤2?
? ?

5.(教材习题改编)若 x有意义,则函数 y=x2+3x-5 的值域是________. x-3 2.函数 y= 的值域为________. x+1 [例 3] (2012· 合肥模拟)若函数 f(x)= ________. 2x2+2ax-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围为

三、巩固练习 1.函数 y= 1 +lg(2x-1)的定义域是( 3x-2 1 ? B.? ?2,+∞? ) 2 ? C.? ?3,+∞? 1 2? D.? ?2,3?

2 ? A.? ?3,+∞?

2.(2012· 汕头一测)已知集合 A 是函数 f(x)= 则 A∪B 的子集的个数为( )A.4

1-x2+ x2-1 的定义域,集合 B 是其值域, x B.6 C.8 D.16

3.下列图形中可以表示以 M={x|0≤x≤1}为定义域,以 N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图 象是( )

4.(2013· 长沙模拟)下列函数中,值域是(0,+∞)的是( A.y= x2-2x+1 x+2 B.y= (x∈(0,+∞)) x+1

)

1 1 C.y= 2 (x∈N) D.y= x +2x+1 |x+1| 2 6.函数 y= 的定义域是(-∞,1)∪[2,5),则其值域是( x-1 1 ? A.(-∞,0)∪? ?2,2? ) D.(0,+∞)

1? B.(-∞,2] C.? ?-∞,2?∪[2,+∞)

?x-1?0 7.(2012· 安阳 4 月模拟)函数 y= x+1+ 的定义域是________. lg?2-x? 8.函数 y= x-x(x≥0)的最大值为________. 9.(2013· 太原模考)已知函数 f(x)的定义域为[0,1],值域为[1,2],则函数 f(x+2)的定义域为 ____________,值域为__________. 10.求下列函数的值域. 1-x (1)y= ;(2)y=2x-1- 13-4x. 2x+5

1 11.若函数 f(x)= x2-x+a 的定义域和值域均为[1,b](b>1),求 a、b 的值. 2


2.2函数的定义域与值域

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