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高考数学模拟试卷

时间:2011-04-08


2011 全国高考数学模拟试卷 高考数学 2011 年全国高考数学模拟试卷
(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分。 注意事项: 注意事项 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科 目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。第 Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答, 答案无效。 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,则 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中 恰好发生 k 次的概率 Pn (k ) = C nk P k (1 ? P) n ?k 球的体积公式
4 V球 = πR 3 3

,其中 R 表示球的半径

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 选择题: 小题, 一、选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题只有一 ( 个选项符合题目要求,请将正确答案的序号填在答题卡相应空格内。 个选项符合题目要求,请将正确答案的序号填在答题卡相应空格内。 ) 1. 复数
i 在复平面内的对应点到原点的距离为( ) 1+ i 1 2 A. B. C.1 D. 2 2 2 2.已知集合 A = {x ∈ Z || x ? 3 |< 2}, B = {0,1,2, }, 则集合A I B 为(

)

A.{2}

B.{1,2}

C.{1,2,3} )

D.{0,1,2,3}

3.下列四个命题中的真命题为(

第 1 页(共 4 页)

A. 若sinA=sinB,则∠A=∠B C. 若a>b,且ab>0,则 〈 4. 以双曲线
1 1 a b

B. 若lgx2 = 0,则x = 1 D.若 b 2 = ac ,则 a、b、c 成等比数列

x2 y2 ? = 1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程 9 16

是( ) 2 A.x +y2-10x+9=0 B.x2+y2-10x+16 C.x2+y2+10x+16=0 D.x2+y2+10x+9=0 5. ABCD—A1B1C1D1 是正方体,则直线 BA1 与平面 DD1B1 B 所成角的余弦值是 ( ) A.
1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

3 2

6.已知函数 f ( x) = ax 2 + bx + c , x=1 时有最大值 1。 x ∈ [m, n](0 < m < n) 时, 当 当 函数 f ( x) 的值域为 [ , ] ,则 A.
1 mn 1 1 n m

f ( m) 的值为 f ( n)

m ?1 m n C. D. n ?1 n m 7.若不等式 2 x + y ≤ 4 与 x + 2 y ≥ 4 所确定的平面区域被直线 y = kx + 2 分为面

B.

积相等的两部分,则 k 的值是( A. 1 B. 2

) C.
1 2
1 ? xy

D. ?1

8. 定义在 (-1,1) 上的函数 f(x)满足: f ( x) ? f ( y ) = f ( x ? y ) ; x ∈ (?1,0) 当 时,有 f ( x) > 0 ; 若 P =
1 ), Q = f ( ), 2

1 1 1 1 f ( ) + f ( ) +L+ f ( 2 ), ) +L+ f ( 2 r + r ?1 5 11 2009 + 2009 ? 1 ,

R = f (0) ;则 P,Q,R 的大小关系为 (

) D. 不能确定

A. R>Q>P

B. P>R>Q

C. R>P>Q

9. 已知 f ( x) 为偶函数,且 f (2 + x) = f (2 ? x) ,当 ? 2 ≤ x ≤ 0 时, f ( x) = 2 x , 若 n ∈ N * , a n = f (n), 则 a 2009 = ( ) A. 2009 B. ? 2009 C.
1 4

D.

1 2

10.将 5 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每 个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 种 A. 240 B. 150
第 2 页(共 4 页)

C. 60

D. 180

11.若函数 f ( x) = x 2 + (2a + 1) x + 1 的定义域被分成了四个不同的单调区间, 则实数 a 的取值范围是( A. a < ? 或a >
3 2 1 C. a > ? 2 1 2

) B. ? < a < D. a < ?
1 2 3 2 1 2

12.现有一种利用声波消灭蟑螂的机器,其工作原理如图,圆弧型声波 DFE 从坐标原点 O 向外传播, D 是 DFE 弧与 x 轴的交点, OD= x , ≤ x ≤ a ) , 若 设 (0 圆弧型声波 DFE 在传播过程中扫过平行四边形 OABC 的面积为 y (图中阴 影部分) ,则函数 y = f( x )的图象大致是( )

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 小题, 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 填空题( 13. 如图,坐标纸上的每个单元格的边长为 1,由下往上的六个点:1,

{an } (n ∈ N * ) 的前 12 项,如下 2,3,4,5,6 的横纵坐标分别对应数列
表所示;按如此规律下去,则 a2009 + a2010 + a2011 = .

a1 x1

a2 y1

a3 x2

a4 y2

a5 x3

a6 y3

a7 x4

a8 y4

a9 x5

a10 y5

a11 x6

a12 y6

第 13 题

第 3 页(共 4 页)

14.设 a0 + a1 ( x + 2) + a2 ( x + 2) 2 + ... + a12 ( x + 2)12 = ( x 2 ? 2 x ? 2)6 ,
y

其中 ai (i = 0,1, 2...12) 为常数,则
2a2 + 6a3 + 12a4 + 20a5 + ... + 132a12 =



O

2 x

15. y = f ′( x) 是函数 y = f ( x) 的导函数, y = f ′( x) 的图象 如右图所示,请大致画出函数 y = f ( x) 的一个 图象 . 2 16.设 f ( x) = lg( x + ax + a ? 1) , ① f ( x) 有最小值;②当 a=0 时, f ( x) 的值域为 R;③当 a > 0 时, f ( x) 在区 间[2,+∞)上有反函数;④若 f ( x) 在[2,+∞)上单调递增,则 a ≥ ?4 ; 其中正确的是_______. 解答题:( :(本大题 小题, 解答应写出文字说明、 三。 解答题:(本大题 6 小题, 共 70 分, 解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤。把答案直接答在答题卡相应位置上。 程或演算步骤。把答案直接答在答题卡相应位置上。) 17. 本小题共 10 分)已知锐角 ?ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别 ( 是 a, b, c, 且(b 2 + c 2 ? a 2 ) tan A = 3bc. 。 (1)求角 A 的大小; (2)求 sin( A + 10°) ? [1 ? 3 tan( A ? 10°)] 的值。

18. 本小题共 12 分)已知,四棱锥 P—ABCD ( 的底面 ABCD 的边长为 1 的正方形, PD⊥底面 ABCD, 且 PD=1。 (1)求证:BC//平面 PAD; (2)若 E、F 分别为 PB、PD 的中点,求证:EF ⊥平面 PBC; (3)求二面角 B—PA—C 的余弦值。

19. 本小题共 12 分)甲、乙两个射手进行射击训练,甲击中目标 ( 的概率为 ,乙击中目标的概率为 ,每人各射击两发子弹为一个“单 位射击组”,若甲击中目标的次数比乙击中目标的次数多,则称此组为 “单位进步组”。 (1)求一个“单位射击组”为“单位进步组”的概率; (2)记完成三个“单位射击组”后出现“单位进步组”的次数 ξ ,
第 4 页(共 4 页)

2 3

3 4

求 ξ 的分布列与数学期望。

20. 本小题共 12 分)在直角坐标系 xOy 中,动点 P 到两定点(0, ( 3 )(0, 3 )的距离之和等于 4,设动点 P 的轨迹为 C,过点(0, 3 ) , 的直线与 C 交于 A,B 两点。 (1)写出 C 的方程; (2)设 d 为 A、B 两点间的距离,d 是否存在最大值、最小值;若 存在,求出 d 的最大值、最小值。

21. 本小题满分 12 分)已知:函数 f ( x) = e x (ax + 1)(e 为自然对数的 ( 底, a ∈ R 为常数) 。 (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)对于函数 h( x)和g ( x) ,若存在常数 k , m ,对于任意 x ∈ R ,不等式 则称直线 y = kx + m 是函数 h( x), g ( x) 的分界线, 设 h( x ) ≥ kx + m ≥ g ( x ) 都成立,
a = 1 ,问函数 f ( x ) 与函数 g ( x) = ? x 2 + 2 x + 1 是否存在“分界线”?若存在,

求出常数 k,m。若不存在,请说明理由。

22. 本小题满分 12 分)已知数列 {a n } 的前 n 项和 s n 满足关系式: (
S n = 1 ? an ( n ∈ N * )

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)比较
1 n n2 1 ? ? 与 ? an ? ? 2 ? 1 + an 1+ n ( n + 1) ? n ?

的大小 (

n∈ N*)



1 1 1 n2 (3)证明: + +L + > (n∈N*,n≥2). 1+a1 1+a2 1+an n+1?an

第 5 页(共 4 页)

参考答案及评分建议

题号 答案 解析: 2.

1 B

2 A

3 C

4 A

5 D

6 D

7 A

8 C

9 D

10 B

11 D

12 D

i i ? i2 1 1 1 1 = = + i 对应点为 ( , ) 2 1+ i 1? i 2 2 2 2
x ? y ;当 x ∈ (?1,0) 时,有 f ( x) > 0 ; ) 1 ? xy

8. ∵函数 f(x)满足: f ( x) ? f ( y ) = f (

∴f(x)在(-1,1)为奇函数,单调减函数,且在(-1,0)时,f(x)>0,在(0,1)时 f(x)<0; ∴R=f(0)=0, Q = f ( ) <0<R,

1 2

1 1 ? 1 1 1 1 )= f( ) = f ( r r +1 ) = f ( ) ? f ( ), ∵ f( 2 1 1 r r +1 r (r + 1) ? 1 r + r ?1 1? ? r r +1
1 1 1 1 ∴ P = f ( 5 ) + f (11) + L + f ( r 2 + r ? 1) + L + f ( 2009 2 + 2009 ? 1),
= [ f ( ) ? f ( )] + [ f ( ) ? f ( )] + ? ? ? + [ f ( =Q- f ( 13. 1005 14. 解析:两边求导,有:

1 2

1 3

1 3

1 ) >Q 。 2010

1 1 1 1 1 )? f( )] = f ( ) ? f ( ) 4 2009 2010 2 2010 1 1 P= f ( ) ? f ( ) <0<R,故选 C 2 2010

a1 + 2a 2 ( x + 2) + 3a 3 ( x + 2) 2 + ? ? ? + 12a12 ( x + 2)11 = 6( x 2 ? 2 x ? 2) 5 ( 2 x ? 2) ①
再对上式求导,有

2a 2 + 6a3 ( x + 2) + 12a 4 ( x + 2) 2 ? ? ? +132a12 ( x + 2)10 = 12( x 2 ? 2 x ? 2) 4 (11x 2 ? 22 x + 8) 再
对上式令 x = ?1 得 2a2 + 6a3 + 12a4 + ... + 132a12 = 492 15. 16. ②②

17. (本小题共 10 分)解: (1)由已知条件及余弦定理得

tan A =

3bc sin A 3 3 ,∴ = , ∴ sin A = . 2bc cos A cos A 2 cos A 2

∵ A ∈ (0,

π

2

) , 故A =

π

3

.

………………5 分

(2) sin( A + 10°)[1 ? 3 tan( A ? 10°)] = sin 70°(1 ? 3
第 6 页(共 4 页)

sin 50° ) cos 50°

cos 50° ? 3 sin 50° sin(30° ? 50°) = 2sin 70° = cos 50° cos 50° 2sin 20° cos 20° ? = ?1. ..............................10 sin 40° = sin 70° ?
18. 如图,以点 D 为原点 O,有向直线 OA、OC、OP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ BC//AD. ∵ AD ? 平面 PAD,BC ? 平面 PAD, ∴ BC//平面 PAD. ………4 分 (2)证明:∵ EF = (0,

1 1 ,? ), CB = (1,0,0), CP = (0,?1,1) 2 2

且 EF ? CB = 0, EF ? CP = 0, CB I CP = C , ∴EF⊥平面 PBC………8 分 (也可以证明 EF 平行于平面 PBC 的一个法向量) (3)解:容易求出平面 PAB 的一个法向量为 r PAB = ( ,0, ). 及平面 PAC 的一个法向量为 rPAB = (1,1,1). ∵ rPAB ?r PAC =

1 2

1 2

1 1 2 + = 1, |r PAC |= , | rPAC |= 3 , 2 2 2 2 6 6 ∴ cos < rPAB , rPAC > = , 即所求二面角的余弦值是 .………12 分 3 3 6 19.解: (1)设甲击中目标 2 次时为“单位进步组”的概率为 P , 1 2 2 3 1 1 7 1 则 P1 = ( ) × [C 2 × × + )] = ; ( 2 3 4 4 4 36 2 1 1 1 1 (C 2 × × ) ) = × ( 2 . 设甲击中目标 1 次时为“单位进步组”的概率为 P2 ,则 P2 = 3 3 4 36 2 故一个“单位射击组”成为“单位进步组”的概率为 P = P1 + P2 = . 9 2 (2)由(1)知,一个“单位射击组”成为“单位进步组”的概率 P ( A) = , 不能成为“单位进步组” 9 7 的概率 P ( A) = . ξ 可能取值为 0,1,2,3. 9 7 3 343 2 7 294 1 P (ξ = 0) = ( ) = , P (ξ = 1) = C 3 × × ( ) 2 = 9 729 9 9 729 2 2 7 84 2 3 8 P (ξ = 2) = C 32 × ( ) × = , P (ξ = 3) = ( ) = , 9 9 729 9 729
∴ ξ 的分布列为

ξ
P

0

1

2

3

343 294 84 729 729 729 323 294 84 8 2 ∴ ξ 的数学期望 Eξ = 0 × + 1× + 2× + 3× = . 749 729 729 729 3 2 2 2 (或Q ξ ﹀ B (3, ),∴ Eξ = np = 3 × = ) 9 9 3
第 7 页(共 4 页)

8 729

20.解: (1)设 P( x,y ),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, 3) , (0, 3) 为焦点, ? 长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b =
2

22 ? ( 3) 2 = 1 ,

y2 故曲线 C 的方程为 x + = 1 . ………4 分 4 (2)① 设过点 (0, 3) 的直线方程为 y=kx+ 3 , A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ) ,其坐标满足

? 2 y2 = 1, ?x + 4 ? ? y = kx + 3. ?
∴ x1 + x2 = ?

消去 y 并整理得 ( k + 4) x + 2 3kx ? 1 = 0 .……………… ……6 分
2 2

2 3k 2 3k 2 ,y1 + y2 = k ( x1 + x2 ) + 2 3 = ? 2 +2 3。 k2 + 4 k +4 a2 a2 3k 2 ∴ d = AF | + | BF = e( ? y1 ) + e( ? y2 ) = 2a ? e( y1 + y2 ) =4 + 2 ?3 c c k +4 12 =4? 2 。 k +4 2 ∵ k ≥ 0 ,∴k=0 时,d 取得最小值 1 。…………………………………10 分 ② 当 k 不存在时,过点 (0, 3) 的直线方程为 x=0,此时交点 A、B 分别为椭圆 C 的长轴的
两端点, ∴d 取最大值 4. 综上, d 的最大值、最小值存在,分别为 4、1.………………12 分 21.解: (1) f ' ( x ) = e
x

( ax + 1 + a ) ,…………………………………1 分
1 1 ? ? ,函数 f ( x ) 在区间 ? ?1 ? , +∞ ? 上 a a ? ?

当 a > 0 时, f ' ( x ) > 0 ? ax > ?a ? 1 ,即 x > ?1 ? 是增函数。在区间 ? ?∞, ?1 ?

1? ? ? 上是减函数;……………3 分 a? ? 当 a = 0 时, f ' ( x ) > 0 ,函数 f ( x ) 是区间 ( ?∞, +∞ ) 上的增函数;……………4 分
当 a < 0 时, f ' ( x ) > 0 ? ax > ?a ? 1 即 x < ?1 ?

1 1? ? , 函数 f ( x ) 在区间 ? ?∞, ?1 ? ? 上是 a a? ?
[

增函数,在区间 ? ?1 ?

1 ? , +∞ ? 上是减函数。……………6 分 a ? x 2 (2)若存在,则 e ( x + 1) ≥ kx + m ≥ ? x + 2 x + 1 恒成立,令 x = 0 ,则 1 ≥ m ≥ 1 ,
因此: kx + 1 ≥ ? x 2 + 2 x + 1 恒成立,即 x + ( k ? 2 ) x ≥ 0 恒成立.由 △ ≤ 0 得到: k = 2 ,
2 x
[来源:Zxxk.Com]

? ?

∴ m = 1 ,……………8 分 现在只要判断 e

( x + 1) ≥ 2 x + 1 是否恒成立.……… 10 分 x x 设 φ ( x ) = e ( x + 1) ? ( 2 x + 1) , ∵ φ ' ( x ) = e ( x + 2 ) ? 2 , x x 当 x > 0 时, e x > 1, x + 2 > 2 , φ ' ( x ) > 0 ;当 x < 0 时, e ( x + 2 ) < 2e < 2 , φ ' ( x ) < 0 , x ∴ φ ( x ) ≥ φ ( 0 ) = 0 ,即 e ( x + 1) ≥ 2 x + 1 恒成立. 2 , ∴ 函数 f ( x ) 与函数 g ( x ) = ? x + 2 x + 1 存在“分界线” k = 2, m = 1 。……12 分
1 , 又 ∵ sn +1 = 1 ? an +1 , sn = 1 ? an , 2

22.解: (1) n = 1 时, s1 = 1 ? a1 ? a1 =

第 8 页(共 4 页)

两式相减得到: an +1 =

1 an , 2

1 ;………………4 分 2n 1 1 1 (2)令 x = ,构造函数 f ( x ) = ? ( an ? x ) ( x > 0 ) , n 1 + x (1 + x )2
∴ 数列 {an } 的通项公式是 an =

(1 + x ) (1 + x ) x > an 时, f ' ( x ) < 0 ,
2

则 f '( x) =

?1

?

2 ( x ? an )
3

+

1

(1 + x )

2

=

2 ( an ? x )

(1 + x )

3

, 当 0 < x < an 时 , f ' ( x ) > 0 ,

∴ f ( x ) 的最大值是 f ( an ) = 即:

1 , 1 + an

∴f?

1 ?1? ?< ? n ? 1 + an

n n2 ? 1? 1 a ? ? ;………………8 分 ? > 2 ? n n? 1 + an 1 + n ( n + 1) ?
1 1 1 ≥ ? ( ai ? x )( x > 0, i = 1, 2,L , n ) 且 “ = ” 成 立 的 条 件 是 1 + ai 1 + x (1 + x ) 2
.

(3)

x = ai ( i = 1, 2,L , n ) ,


1 1 1 n 1 + +L + > ? ( a1 + a2 + L + an ? nx ) , 1 + a1 1 + a2 1 + an 1 + x (1 + x )2 a1 + a2 + L + an 1 1 1 n , 则 , + +L + > n 1 + a1 1 + a2 1 + an 1 + a1 + a2 + L + an n 2 1 1 1 n ∴ + +L + > 1 + a1 1 + a2 1 + an n + 1 + 1 + L + 1 2 22 2n 1 1 1 n2 + +L + > ………………12 分 1 + a1 1 + a2 1 + an n + 1 ? an
令x=
[来源:学。

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