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圆的标准方程


2.3.1 圆的标准方程

复习引入
我们在前面学过,在平面直角坐标系中,两 点确定一条直线,一点和倾斜角也能确定一条直 线.在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢?
y M

r
A O

x

引入新课
当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定 了.

/>
因此一个圆最基本要素是圆心和半径. 如图,在直角坐标系中,圆心(点)A的位置用 坐标 (a,b) 表示,半径r的大小等于圆上任意点M(x, y) 与圆心A (a,b) 的距离.
y M (x, y)

r O

A(a,b) x

圆的方程
符合上述条件的圆的集合是什么?你能用描述法 来表示这个集合吗? 符合上述条件的圆的集合:

p ? ?M || MA |? r?
y M (x, y)

r O

A(a,b) x

圆的方程
圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能 用什么公式表示?

根据两点间距离公式:P 1P 2 ?
MA ? 则点M、A间的距离为:

?x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

.

?x ? a ?2 ? ? y ? b?2 .

即:

p ? ?M | MA |? r?
( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r

( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2

圆的标准方程
( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

是否在圆上的点都适合这个方程?是否适合这 个方程的坐标的点都在圆上?

点M(x, y)在圆上,由前面讨论可知,点M的坐 标适合方程;反之,若点M(x, y)的坐标适合方程, 这就说明点 M与圆心的距离是 r ,即点M在圆心为A (a, b),半径为r的圆上.
把这个方程称为圆心为A(a, b),半径长为r 的圆 的方程,把它叫做圆的标准方程(standard equation of circle).

特殊位置的圆方程
圆心在坐标原点,半径长为r 的圆的方程是什么? 因为圆心是原点O(0, 0),将x=0,y=0和半径 r 带入圆的标准方程:

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

得: 整理得:

( x ? 0) ? ( y ? 0) ? r
2 2

2

x ?y ?r
2 2

2

练习:1、写出下列各圆的方程:

(1)圆心在点C(3, 4 ),半径是 5 (x-3)2+(y-4)2=5

(2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3) (x-8)2+(y+3)2=25
(3)过点(0,1)和点(2,1)r= 补充练习: 写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1,0)

5

(1) (x-1)2+y2=6

6 3 |a|

(2) (x+1)2+(y-2)2=9
(3)(x+a)2+y2=a2

(-1,2) (-a,0)

典型例题
例1 写出圆心为 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的 方程,并判断点 M1 (5,?7) , M 2 (? 5 ,?1) 是否在这 个圆上. 解:圆心是 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的标准 方程是: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25
2 2 ( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 25 把 M1 (5,?7) 的坐标代入方程 左右两边相等,点M 1 的坐标适合圆的方程,所以点

M 1在这个圆上;
把点 M 2 (? 5 ,?1) 的坐标代入此方程,左右两边 不相等,点M 2的坐标不适合圆的方程,所以点 M 2不 在这个圆上.

典型例题
例1 写出圆心为 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的 方程,并判断点 M1 (5,?7) , M 2 (? 5 ,?1) 是否在这 个圆上. 解:圆心是 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的标准 方程是: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25
y

M2

o
A
M1

x

点与圆的位置关系

从上题知道,判断一个点在不在某个圆上,只需将这个 点的坐标带入这个圆的方程,如果能使圆的方程成立,则在 这个圆上,反之如果不成立则不在这个圆上.
2 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 怎样判断点 M 0 ( x0 , y0 )在圆 内呢?

还是在圆外呢?

y

M3
M2

o
A M1

x

点与圆的位置关系
2 2 2 怎样判断点 M 0 ( x0 , y0 )在圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 内呢? 还是在圆外呢?

可以看到:点在圆外——点到圆心的距离大于半径 r ;

点在圆内——点到圆心的距离小于半径 r .
y

M3
M2

o
A M1

x

典型例题
例2 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),且圆心C 在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C的圆的标准方程.

分析:已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大 小.圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),由于圆心C与A, B 两点的距离相等,所以圆心C在线段AB的垂直平分线 l ' 上.又 ' 圆心C在直线l 上,因此圆心C是直线l与直线 l 的交点,半径 长等于|CA|或|CB|.
解:因为A(1, 1)和B(2, -2),所以线段AB的中点D的坐标
3 1 ( ,? ), 直线AB的斜率: 2 2

k AB

? 2 ?1 ? ? ?3 2 ?1

典型例题
例2 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),且圆心C 在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C的圆的标准方程.

解:因此线段AB的垂直平分线 l 的方程是

'

1 1 3 y ? ? (x ? ) 2 3 2
即 x ? 3y ? 3 ? 0 圆心C的坐标是方程组

?x ? 3 y ? 3 ? 0 ? ?x ? y ? 1 ? 0
的解.

典型例题
例2 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),且圆心C 在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C的圆的标准方程.

? x ? ?3, 解: 解此方程组,得 ? ? y ? ?2.
所以圆心C的坐标是 (?3,?2) 圆心为C的圆的半径长

r ?| AC |? (1 ? 3) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 5
所以,圆心为C的圆的标准方程是

( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25

例3:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m, 拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的 y 长度(精确到0.01m) 解:建立如图所示的坐标 系,设圆心坐标是(0,b) 圆的半径是r ,则圆的方程是 x2+(y-b)2=r2 。

x

把P(0,4) B(10,0)代入圆的方程得方程组: 02+(4-b)2= r2 2=14.52 解得: b= -10.5 r 2 2 2 10 +(0-b) =r 所以圆的方程是: x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程,得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答:支柱A2P2的长度约为3.86m。

知识小结
圆的基本要素

圆的标准方程
圆心在原点的 圆的标准方程

判断点与圆 的位置关系

练习

1、写出下列圆的方程
(1)、圆心在原点,半径为3; (2)、圆心在(-3、4),半径为 5. (1) x2+y2=9 (2) (x+3)2+(y-4)2=5


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