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2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题:第二章§2.3第二课时知能演练轻松闯关


1.(2012· 高考山东卷)圆(x+2)2+y2=4 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 的位置关系为( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 解析:选 B.两圆的圆心距离为 17,两圆的半径之差为 1、半径之和为 5,而 1< 17<5, 所以两圆相交. 2.两圆 x2+y2-4x+2y+1=0 与 x2+y2+4x-4y-1=0 的公切线有( ) A.1

条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 解析:选 C.∵两圆标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4, (x+2)2+(y-2)2=9, ∴圆心距 d= ?2+2?2+?-1-2?2=5, r1=2,r2=3. ∴d=r1+r2, ∴两圆外切, ∴公切线有 3 条. 3.过圆 x2+y2+6x+4y=0 与圆 x2+y2+4x+2y-4=0 的交点的直线方程是( ) A.x+y+2=0 B.x+y-2=0 C.5x+3y-2=0 D.不存在 解析:选 A.两圆方程相减即得. 4.两圆交于 A(1,3)及 B(m,-1),两圆的圆心均在直线 x-y+n=0 上,则 m+n 的值 为( ) A.1 B.3 C.-3 D.-1 解 析 : 选 B. 由 题 意 可 知 , kAB = - 1 且 AB 的 中 点 在 直 线 x - y + n = 0 上 , 则 -1-3 ? ? m-1 =-1, ?1+m 3-1 ? ? 2 - 2 +n=0,
?m=5, ? 解得? ? ?n=-2,

∴m+n=3. 5.点 P 在圆 x2+y2-8x-4y+11=0 上,点 Q 在圆:x2+y2+4x+2y+1=0 上,则|PQ| 的最小值是( ) A.5 B.0 C.3 5-5 D.5-3 5 解析:选 C.∵(x-4)2+(y-2)2=9 的圆心为 C1(4,2),半径 r1=3,(x+2)2+(y+1)2=4 的圆心为 C2(-2,-1),半径 r2=2, ∴|C1C2|=3 5>r1+r2=5, ∴两圆相离, ∴|PQ|min=|C1C2|-r1-r2=3 5-5,故选 C. 6.已知圆(x-2)2+(y+3)2=13 和圆(x-3)2+y2=9 交于 A,B 两点,则弦 AB 的垂直平 分线的方程是________.

解析:弦 AB 的垂直平分线也就是两圆连心线,因为两圆圆心分别是(2,-3)和(3,0).由 x-3 y 两点式得 = ,即 3x-y-9=0. -3 2-3 答案:3x-y-9=0 7.过两圆 C1:x2+y2-4x+2y+1=0 与 C2:x2+y2-6x=0 的交点,且过点(2,-2)的 圆的方程为________. 解析:设圆的方程为: x2+y2-4x+2y+1+λ(x2+y2-6x)=0,(λ≠-1) 由于圆过(2,-2),可得 3 22+(-2)2-4×2+2×(-2)+1+λ[22+(-2)2-6×2]=0,得 λ=- , 4 所以,所求圆的方程为 x2+y2+2x+8y+4=0. 答案:x2+y2+2x+8y+4=0 8.若⊙O:x2+y2=5 与⊙O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于 A、B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是________.

解析:如图所示,在 Rt△OO1A 中, |OA|= 5,|O1A|=2 5, ∴|OO1|=5, 5×2 5 ∴|AC|= =2, 5 ∴|AB|=4. 答案:4 9.求圆心在直线 x+y=0 上,且过圆 x2+y2-2x+10y-24=0 与圆 x2+y2+2x+2y-8 =0 的交点的圆的方程. 解:设圆的方程为 x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1), 2?λ-1? 2?5+λ? 8?λ+3? 即 x2+y2+ x+ y- =0(λ≠-1). λ+1 λ+1 λ+1 1-λ 5+λ 1-λ 5+λ 圆心( ,- ),∴ - =0, λ+1 λ+1 λ+1 λ+1 解得 λ=-2. 故所求圆的方程为 x2+y2-2x+10y-24-2(x2+y2+2x+2y-8)=0, 即 x2+y2+6x-6y+8=0. 10.如图所示,在单位圆 O 上任取 C 点为圆心,作一圆与圆 O 的直 径 AB 相切于点 D,圆 C 与圆 O 交于点 E,F,求证:EF 平分 CD. 证明:取圆 O 的直径 AB 所在的直线为 x 轴,圆心 O 为坐标原点, 建立平面直角坐标系,如图所示,

则圆 O 的方程为 x2+y2=1.① 设 EF 与 CD 相交于 H,令 C(x1,y1),则可得圆 C 的方程(x-x1)2+(y-y1)2=y2 1, 2 即 x2+y2-2x1x-2y1y+x1 =0.② ①-②得 2x1x+2y1y-1-x2 1=0,③

③式就是直线 EF 的方程. y1 y1 设 CD 的中点为 H′,其坐标为(x1, ),将 H′的坐标代入③式,得 2x2 1+2y1· -1- 2 2 2 2 2 x1=x1+y1-1=0, 即 H′在 EF 上, ∴EF 平分 CD.

1.两圆 x2+y2=16 及(x-4)2+(y+3)2=R2(R>0)在交点处的切线互相垂直,则 R 等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选 A.由题意知两圆交点与两圆圆心构成直角三角形,可知( 42+32)2=52=R2+ 16,∴R=3. y-2 2.若实数 x,y 满足 x2+y2=1,则 的最小值等于________. x-1 y-2 y-2 解析: 表示圆上的点与定点(1,2)连线的斜率, 令 k= , 画出图形, 可知定点(1,2) x-1 x-1 与圆上的点的连线的倾斜角均小于 90° ,则当直线与圆在圆的上方相切时,斜率最小,直线 方程可设为 y-2=k(x-1),即 kx-y-k+2=0. |-k+2| 3 ∴d= 2 =1,解得 k= . 4 k +1 3 答案: 4 3. 如图, 圆 C 与圆 C1: x2+y2-2x=0 相外切, 并且与直线 l: x+ 3y=0 相切于点 P(3, - 3),求此圆 C 的方程.

解: 设所求圆的圆心为 C(a, b), 半径长为 r.因为 C(a, b)在过点 P 且与 l 垂直的直线上, b+ 3 所以 = 3.① a-3 又因为圆 C 与 l 相切于点 P, |a+ 3b| 所以 r= .② 2 因为圆 C 与 C1 相外切, |a+ 3b| 所以 ?a-1?2+b2= +1.③ 2 由①得 3a-b-4 3=0, 将其代入③得 4a2-26a+49=|2a-6|+1, ?a=4 ? ?a=0 解得? 或? ,此时 r=2 或 r=6, ? ?b=0 ?b=-4 3

所以所求圆 C 的方程为 (x-4)2+y2=4 或 x2+(y+4 3)2=36. 4.已知圆 M:x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0 与圆 N:x2+y2+2x+2y-2=0 交于 A、B 两点,且这两点平分圆 N 的圆周,求圆 M 的圆心的轨迹方程,并求其半径最小时,圆 M 的 方程. 解:两圆方程相减得公共弦 AB 所在直线的方程为 2(m+1)x+2(n+1)y-m2-1=0. 由于 A、B 两点平分圆 N 的圆周, ∴AB 为圆 N 的直径,即直线 AB 经过圆 N 的圆心. 而 N(-1,-1),∴-2(m+1)-2(n+1)-m2-1=0, 即 m2+2m+2n+5=0, 即(m+1)2=-2(n+2)(n≤-2). 由于圆 M 的圆心坐标为(m,n), 从而可知圆 M 的圆心轨迹方程为(x+1)2=-2(y+2). 又圆 M 的半径 r= n2+1≥ 5(n≤-2). 当且仅当 n=-2,m=-1 时取等号. 故半径的最小值为 5,此时圆 M 的方程为 x2+y2+2x+4y=0.


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