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高中数学(北师大版,必修2)活页规范训练:1-2直观图(含答案)


1-2 直观图

双基达标
1.如图所示,该直观图表示的平面图形为(

?限时20分钟?
).

A.钝角三角形 C.直角三角形 解析 答案

B.锐角三角形 D.正三角形

由于 AB∥y′轴,BC∥x′轴,所以 AB⊥BC,因此△ABC 为直角三角形. C

).

2.下列关于斜二测画法的叙述中,正确的个数为( (1)两条相交直线的直观图可能是平行直线; (2)两条互相垂直的直线的直观图仍然垂直; (3)正方形的直观图可能是梯形; (4)平行四边形的直观图是平行四边形; (5)相等线段的直观图仍然相等. A.1 B.2 C.3 解析 D. 4

由于斜二测画法的保共点性,所以(1)错;原来垂直的两直线,在直观图中夹角可能为

45° ,所以(2)错;保平行性,所以(3)错,(4)对;与 y 轴平行的线段长度变为原来的一半,所以 (5)错. 答案 A

3.在下列选项中,利用斜二测画法,边长为 1 的正三角形 ABC 的直观图不是全等三角形的一 组是( ).

解析

h C 中前者画成斜二测直观图时,底 AB 不变,原来高 h 变为2,后者画成斜二测直观图

1 时,高不变,边 AB 变为原来的2. 答案 C

4.利用斜二测画法画直观图时: ①三角形的直观图是三角形; ②平行四边形的直观图是平行四边形; ③正方形的直观图是正方形; ④菱形的直观图是菱形. 以上结论中,正确的是________________. 解析 斜二测画法保持平行性和相交性不变,即平行直线的直观图还是平行直线,相交直线的

直观图还是相交直线,故①②正确;但是斜二测画法中平行于 y 轴的线段,在直观图中长度为 原来的一半,则正方形的直观图不是正方形,菱形的直观图不是菱形,所以③④错. 答案 ①②

5.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知 A′C′=3,B′C′=2,则 AB 边上 的中线的实际长度为________.

解析

由直观图可知实际图形为直角三角形,且∠C=90° ,BC=4,AC=3,∴AB=5,AB 边

5 上中线为2. 答案 5 2

6.画出水平放置的等腰梯形的直观图. 解 画法:(1)如图(1),取 AB 所在直线为 x 轴,AB 中点 O 为原点,建立直角坐标系,画对应

的坐标系 x′O′y′, 使∠x′O′y′=45° . 1 (2)以 O′为中点在 x′轴上取 A′B′=AB,在 y′轴上取 O′E′=2OE,以 E′为中点画 C′D′ ∥x′轴,并使 C′D′=CD. (3)连结 B′C′、 D′A′, 所得的四边形 A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形 ABCD 的直 观图,如图(2).

综合提高

?限时25分钟?
).

7.如图所示,为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是下列选项中的(

解析

很明显平面图形是梯形,在直观图中,右边的线段与 y′轴平行,因此平面图形的上底

与右边的腰应垂直. 答案 C

8.已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长为 a 的正三角形,那么原△ABC 的面积为 ( A. ). 3 2 a 2 B. 3 2 a 4 C. 6 2 a 2 D. 6a2

解析

画△ABC 直观图如图(1)所示:

图(1)

图(2)

3 6 则 A′D′= 2 a,又∠x′O′y′=45° ,∴A′O′= 2 a. 画△ABC 的实际图形,则如图(2)所示, AO=2A′O′= 6a,BC=B′C′=a, 1 6 ∴S△ABC=2BC· AO= 2 a2. 答案 C

9.在正方体 ABCDA′B′C′D′中,E、F 分别是 A′A、C′C 的中点,则下列判断正确的

是________(只填序号). ①四边形 BFD′E 在底面 ABCD 内的正投影是正方形; ②四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的正投影是菱形; ③四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的正投影与在面 ABB′A′内的正投影是全等的平行四边 形.

解析

①四边形 BFD′E 的四个顶点在底面 ABCD 内的投影分别是 B、C、D、A,故投影是正

方形,正确;

②设正方体的边长为 2,则 AE=1,取 D′D 的中点 G,则四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内 的投影是四边形 AGD′E,由 AE∥D′G,且 AE=D′G,∴四边形 AGD′E 是平行四边形, 但 AE=1,D′E= 5,故四边形 AGD′E 不是菱形.对于③由②知是两个边长分别相等的平 行四边形,从而③正确. 答案 ①③

10.对于一个底边在 x 轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图面积是原三角 形面积的________倍. 解析 由于平行于 y 轴的线段其平行性不变,长度变为原来的一半,又直观图中∠x′O′y′

1 2 2 =45° ,∴S′=2× 2 S= 4 S. 答案 2 4

11.把如图所示的水平放置的直观图 A′B′C′D′还原为真正的平面图形. 解 画法:(1)在水平放置的直观图中延长 D′A′,交 x′轴于 E′.

(2)如图所示,画互相垂直的轴 Ox,Oy,取 OE=O′E′,过 E 作 EF∥Oy,在 EF 上截取 AE =2A′E′,AD=2A′D′,再过 D 作 DC∥x 轴,过 A 作 AB∥x 轴,并且截取 DC=D′C′, AB=A′B′. (3)连结 BC,得直观图 A′B′C′D′的还原图形. 12.(创新拓展)一个四边形的直观图是一个底角为 45° ,腰和上底长均为 1 的等腰梯形,求原 四边形的面积. 解 如图(1)是四边形的直观图,取 B′C′所在直线为 x′轴.

因为∠A′B′C′=45° , 所以取 B′A′所在直线为 y′轴, 过 D′作 D′E′∥A′B′, D′E′ 交 B′C′于 E′,则 B′E′=A′D′=1. 又因为梯形为等腰梯形,所以△E′D′C′为等腰直角三角形.所以 E′C′= 2.

再建立一个直角坐标系 xBy,如图(2)所示,在 x 轴上截取线段 BC=B′C′=1+ 2,在 y 轴 上截取线段 BA=2B′A′=2. 过 A 作 AD∥BC,截取 AD=A′D′=1. 连接 CD,则四边形 ABCD 就是四边形 A′B′C′D′的实际图形. 1 四边形 ABCD 为直角梯形, 上底 AD=1, 下底 BC=1+ 2, 高 AB=2, 所以 S 梯形 ABCD=2AB· (AD 1 +BC)=2×2×(1+1+ 2)=2+ 2.


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