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2013高数精编2


2013 年高等数学总复习精编

第二部分:导数的计算和应用 一、导数计算的三大题型 [1]直接依公式性质求导

( x m )? ? mxm?1

(e x )? ?e x ,

(ln x) ? ?

1 x

(sin x)? ? cos x,

性质: 1) 、可加不可乘

(cos x)? ? ? sin x,
(a ? b)? ? a? ? b?,
(cx)? ? c( x?)

(arctan x)? ?
(ab)? ? a?b?

1 1?x2

2) 、常数可以提出来 3) 、乘法、除法的导数

(ab)? ? a?b ? ab?,

a a?b ? b?a ( )? ? , b b2
ex (e x )? x ? x?e x xe x ?e x ? ( ) ? ? x x2 x2

( xe )? ?e ? xe
x x

x

[2]复合函数的导数

(sin 2 x)? ? cos 2 x(2 x)? ? 2 cos 2 x

( s ix n2 )? ? c o s x 2 ( x 2 )? ? 2 x c o x s2
( 1 1 ? cos x )? ? ? 2 (sin x)? ? sin x sin x sin 2 x
Fx Fy ? ?

(sin 2x )? ? 2 sin x (sin x)? ? 2 sin x cos x

[3]隐函数的导数:①令 F=左边-右边

② 代入 y ? ? ?

如: e ? x ? x
y

2

F ? e y ? x ? x2

? Fx ? 1 ? 2 x
二、导数的应用

? Fy ? e y

y? ? ?

1 ? 2x ? ey

1、定义的应用—— f ?( x) ? lim
h ?0

f ( x ? h) ? f ( x ) f (1 ? h) ? f (1) ? f ?(1) 例 lim h ? 0 h h

2、几何意义的应用——切线的斜率 K 与切线的方程 ① y ? x 在x ? 1 点切线的 K ? y?(1) ? 2
2

y ? y0 ? y?( x0 )(x ? x0 )

② y ? e 在(1, e)点的切线方程 y? ? e , k ? y?(1) ? e, y ? e ? e( x ? 1)
x x

3、曲线的方向与凹向:

? y ? ? 0 ? y递增 ? 一阶导数定方向 ? y ? ? 0 ? y递减 ? y ? ? 0 ? 切线是水平的 ?

-1-

2013 年高等数学总复习精编

? y ?? ? 0 ? ?向上凹? ? 二阶导数定凹向 ? y ?? ? 0 ? ?向下凹? ? y ?? ? 0 — 分界点, 拐点 ?
例 y ? x3 ? x, 在(??. ? ?)递增 ?? ?, ?0, ,在(0,??) 向上凹, 0? 向下凹, 0?是拐点 因为 y? ? 3x 2 ? 1 ? 0, y?? ? 6x ? 0 ? x ? 0, y?? ? 0 ? x ? 0 4、函数的极值问题 y? ? 0 ? y??判定? 1). 求y ? xe? x的极值

? y?? ? 0极小值 ? y?? ? 0极大值

y?

x e x ? xe x 1 ? x ? ? y ? ? x ? 0 ? x ? 1(驻点) ex (e x ) 2 e ? e x ? (1 ? x)e x x ? 2 1? 2 1 1 ? x ? y??(1) ? ? ? ? 0,? 有极大值, y(1) ? x 2 (e ) e e e e

y?? ?

2). y ? 1 ? x 2有一内接梯形 , 设上底CD ? 2x, 求梯形面积的最大值

S?

(2 x ? 2)(1 ? x 2 ) ? ( x ? 1)(1 ? x 2 ) ? ? x 3 ? x 2 ? x ? 1 2

1 S ? ? ?3x 2 ? 2 x ? 1 ? (?3x ? 1)( x ? 1) ? 0 ? x ? 或x ? ?1 3 1 1 1 32 S ?? ? ?6 x ? 2 ? S ??( ) ? ?4 ? 0,? x ? 时, S有最大值 S ( ) ? 3 3 3 27
5、二元函数的偏导数的二种求法 ⑴Z ? ln(x ? y 2 ), 求
' zx , z 'y

? Zx ?

1 x ? y2

? Zy ?

2y x ? y2

' ⑵ e zx ? x ? y, 求z x , z 'y

令 F ? e zx ? x ? y,

? Fy? F ? ? Zx ? ? x , Zy ? ? , , ? ? Fz Fz z

? Fx ? ze zx ? 1,
zx

? Fy ? ?1,
zx

? Fz ? e zx ( zx)? ? xe

ze ? 1 1 ? ze ? Z x ? ?( )? , xe zx xe zx

?1 1 ? Z y ? ? zx ? zx xe xe
-2-


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