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高一数学平面解析几何


第十单元 平面解析几何
第一节
基础梳理
1. 直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义:当直线 l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与x轴平行或重合 时,规定它的倾斜角为0°. ②倾斜角的范围为0°≤α<180°. (2)直线的斜率 ①定义 一条直线的倾斜角α

的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k表示,即k=tan α,倾斜角是90°的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式 y2 ? y1 x ? x k ? 经过两点P (其中 1 2 )的直线的斜率公式为 1 ? x1 , y1 ? , P 2 ? x2 , y2 ?
x2 ? x1

直线与方程

2. 直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式 两点式 方程
y ? y0 ? k ? x ? x0 ?

适用范围 不含直线 x ? x0 不含垂直于x轴的直线 不含直线 x ? x1 ? x1 ? x2 ? 和直线 y ? y1 ? y1 ? y2 ?

y=kx+b
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

截距式
一般式

x y ? ?1 a b

不含垂直于坐标轴和过 原点的直线

Ax+By+C=0 平面直角坐标系内的直 线都适用 ? A2 ? B 2 ? 0 ?

典例分析
题型一 直线的倾斜角和斜率 ( )

【例1】直线xcosα+ 3 y+2=0的倾斜角的范围是 A. ? ? , ? ? ? ( ? , 5? ] ? ?6 2? ? 2 6

? ? ? 5? B. ?0, ? ? [ , ? ) 6 ? 6?
? ? 5? ? D. ? , ? ?6 6 ?

? 5? ? C. ?0, ? 6 ? ?

分析 先求斜率的取值范围,再求倾斜角的取值范围. 解 由直线xcosα+ 3y+2=0,
cos ? 3

所以直线的斜率为k= ?

设直线的倾斜角为β,则tanβ= ?

cos ? 3

又?

3 cos ? 3 ?? ? , 即 ? 3 ? tan ? ? 3 3 3 3 3 3

? ? ? 5? 所以β∈ ?0, ? ? [ , ? ) . 6 ? 6?
学后反思 求倾斜角范围的步骤是: (1)求出斜率的取值范围; (2)利用正切函数的单调性,结合图象,确定倾斜角的取值 范围.

举一反三
1. 直线xcosθ+y-1=0(θ∈R)的倾斜角的范围是
A.[ 0,π)
? ? ?? C.?? , ? ? 4 4?

(

)

?? 3 ? B ? , ?? ?4 4 ? ? ?? 3 D ?0, ? ? [ ? , ? ) ? 4? 4

解析

设倾斜角为α,则k=tanα=-cosθ.

≧θ∈R,-1≤-cosθ≤1,?-1≤tanα≤1, ?α∈ ?0, ? ? [ ? , ? ) . ? 4? 4 答案 D
? ?? 3

题型二 求直线的方程
【例2】求下列直线l 的方程. 3 (1)过点A(0,2),它的倾斜角的正弦是 ; 5 (2)过点A(2,1),它的倾斜角是直线 l1 :3x+4y+10=0的倾斜角的一半. 分析 由已知条件求出直线的斜率,然后用适当形式写出直线的方程.



3 3 所以tanα=〒 ,故l 的方程为y=〒 x+2, 4 4

3 (1)设直线 l 的倾斜角为α,则sinα= , 5

即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0. (2)设直线 l 和 l1 的倾斜角分别为α、β,则? ? ? ,
2

3 3 又tanβ=- ,故- =tan2α= 2 tan ? , 2 4 4 1 ? tan ? 1 解得tanα=3或tanα=- (舍去). 3

由点斜式,得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0. 学后反思 求直线方程首先要根据已知条件选择合适的方程形式,同 时注意各种形式的适用条件.用斜截式或点斜式时,直线的斜率必须 存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与 坐标轴垂直或经过原点的直线等.

举一反三
2. 直线 l 过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线 l 的方程.

解析 由于直线在两坐标轴上的截距之和为12,因此直线 l在两轴上的截 距都存在且不过原点,故可设为截距式直线方程.
设直线 l 的方程为 ?
x a y ? 1 ,则a+b=12. b
?3 4

① ②

又直线l 过点(-3,4),则 a ? b ? 1 . a=9, a=-4, 由①、②解得 或 b=3 b=16.

?

?

x y x y ? 故所求的直线方程为 ? ? 1 或 ?4 16 ? 1 , 9 3

即x+3y-9=0或4x-y+16=0.

题型三 与直线方程有关的最值问题 【例3】直线l 过点M(2,1),且分别与x、y轴交于A、B两点,O为原点.求当 △AOB面积最小时,直线 l 的方程. 分析 先根据题意,用点斜式设出直线的方程,然后求方程中的参数,从 而求出直线的方程.



方法一:如图所示,直线 l如果

通过一、二、三或一、三、四象限时, △AOB的面积不存在最值,因此只考虑 直线 l 与x,y轴正方向相交的情况,这时 斜率必为负值. 设直线 l 的方程为y-1=k(x-2)(k<0),

则有A(2- ,0)与B(0,1-2k),
1 1? 1? 1 ? 1 2 ? ? 4 ? ? 4 k ? 所以 S (k ) ? ?1 ? 2k ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 4 ? 4? ? 4 2 k? 2? ?k ? ?

1 k

当且仅当 ?4k ?

1 1 ,即k=- 时,等号成立. 2 ?k 1 2

故直线 l 的方程为y-1=- (x-2),即x+2y-4=0.

方法二:设过P(2,1)的直线为
2 1 则 ? ?1 . a b

x y ? ? 1 (a>0,b>0), a b

由基本不等式得 2
S?OAB ?

2 1 2 1 ? ? ? ? 1 ,即ab≥8, a b a b

2 1 1 1 ab ? 4 ,当且仅当 ? ? ,即a=4,b=2时,等号成立. a b 2 2

x y 故直线方程为 ? ? 1 ,即x+2y-4=0. 4 2

学后反思 (1)对直线 l 的大致位臵分析,界定了斜率的存在性及其范 围,指明了解题方向,这种分析是避免解题盲目性的重要技能. (2)本题将面积表示为k的函数,再用基本不等式求最小值,方程选 择不同,自然参数不同,但是求最值的方法首先考虑基本不等式,然 后是函数单调性、换元等方法.

举一反三
3. 已知直线l 过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点, 如图所示,求△ABO的面积的最小值及此时直线 的方程 l . 解析 方法一:设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直

x y 线l 的方程为 ? ? 1 a b

≧l 过点P(3,2),? ? ? 1, b ? ,且a>3. a b a ?3

3

2

2a

从而 S?ABO

1 1 2a a2 ? a ?b ? a ? ? , 2 2 a ?3 a ?3

故有 S?ABO
?2

? a ? 3? ?

2

? 6 ? a ? 3? ? 9 9 ? ? a ? 3? ? ?6 a ?3 a ?3

9 ? 6 ? 12 a ?3 9 a ? 3 ? 当且仅当 ,即a=6时,等号成立. a ?3

? a ? 3? ?

? S?ABO ?min

? 12 ,此时 b ?

2?6 ?4. 6?3

x y 故直线 l 的方程为 ? ? 1 ,即2x+3y-12=0. 6 4

方法二:依题意知,直线 l 的斜率存在.

设直线 l 的方程为y-2=k(x-3)(k<0),
2 则有A(3- ,0),B(0,2-3k), k

2? 1? ∴S (k ) ? 1 ? 2 ? 3k ? ? ? 3 ? ? ? 12 ? ? ?9k ? ? 2 ? k? 2? ? ? 1? ?12 ? 2 2? ?

4 ? (?k ) ? ?

? ?9k ? ?

4 ? 1 ? ? ?12 ? 12 ? ? 12 ? ?k ? ? ? 2

当且仅当-9k=

4 2 时,即k=- 时,等号成立, ? S?ABO ?min ? 12 . ?k 3

故所求直线的方程为2x+3y-12=0.

方法三:如图所示,过P分别作x轴,y轴的垂线PM,PN,垂足分别为M,N.
设θ=∠PAM=∠BPN,则
S?AOB ? S ?PBN ? S长方形NPMO ? S ?PMA 1 1 1 ? ? 3 ? 3 ? tan ? ? 6 ? ? 2 ? 2 ? 2 2 tan ? 9 2 ? 6 ? tan ? ? 2 tan ? ? 6?2 2 9 ? tan ? ? 12, tan ? 2

当且仅当 2 ? 9 tan ? ,即tanθ= 2 时,? S?ABO ?min ? 12 , 3
tan ? 2

此时直线l 的斜率为- 3 ,其方程为2x+3y-12=0.

2

题型四 应用问题
【例4】(12分)为了绿化城市,拟在区域ABCD内建一个草坪(如 图),另外△EFA内部有一文物保护区不能占用,经测量AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应如何设计才能使草坪面积最大?

分析 欲使草坪面积最大,点P的位臵选取是关键,因此,应考虑建 立适当的坐标系,求出线段EF所在直线的方程,再设出点P的坐标, 做为解题的切入点.

解 如图所示建立直角坐标系,则E(30,0),F(0,20),…………………2′ 所以线段EF的方程为
x y ? ? 1 (0≤x≤30)……………………………………………4′ 30 20

在线段EF上取点P(m,n), 作PQ⊥BC于点Q,PR⊥CD于点R,设矩形PQCR的面积为S,则 S=|PQ||PR|=(100-m)(80-n)…………………………………….6′
m n m? 2 ? ? ? 1,? n ? 20 ?1 ? ? ? 20 ? m, 30 20 3 ? 30 ? 2 ? ? ?S ? ?100 ? m ? ? 80 ? 20 ? m ? 3 ? ? 2 18050 2 ? ? ? m ? 5? ? (0 ? m ? 30) ……………………………. 9′ 3 3 EP 30 ? 5 所以当m=5时,S有最大值,这时 ? ? 5 :1 ……………….10′ PF 5



所以当草坪矩形的两边在BC、CD上,一个顶点在线段EF上,且这个顶点分 EF成5∶1时,草坪面积最大…………………………………..12′

学后反思 本题是一道用地规划的实际问题,应把问题化归为在线段 EF上找一点,使长方形PQCR面积最大的数学问题,这样,就需要建立 直角坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线,从而把问题转化为代 数问题,利用代数方法使问题得到解决.

举一反三
4. 美丽的呼伦贝尔大草原的一条公路旁边,在某镇北偏西60°且距该 镇30 km处有A村,在镇东北50 km处有B村,要在公路旁修一车站C,从车 站C向A、B两村修公路,问:车站C修在公路的什么地方,可使费用最小? (结果保留1位小数) 解析 以公路为x轴,该镇为原点建立平面直角坐标系,如图所示, 则A、B两点坐标分别为A(-15 3 ,15),B(25 2 ,25 2),作A点关于x轴的 对称点A′(-15 3,-15),连接A′B交x轴于C.≧x轴是线段AA′垂直平 分线,?|CA|=|CA′|, ?|CA|+|CB|=|CA′|+|CB|=|A′B|最短.

由两点式,得 y ? 25 2 ? 25 2 ? 15
x ? 25 2

25 2 ? 15 3

令y=0,得

?25 2 5 2 ?3 ? x ? 25 2 5 2 ? 3 3

?x ? 25 2 ? 9 3 ? 15 2 ? 15 6 ? 9 ? ? ?7.7 ,
41

?车站应修在距该镇的正西方约7.7 km处.

易错警示

【例】已知直线l 过点P(1,2)且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交, l 求直线 的斜率的取值范围 .
错解 设PA与PB的倾斜角分别为α,β, 则 k PA ? tan ? ? 5 , k PB ? tan ? ? ?1,
3

所以直线 l的斜率k的取值范围为-1≤k≤ .

5 3

错解 分析不清楚倾斜角和斜率的关系,尤其是忽略了当倾斜角 为90°时,斜率不存在这种情况.
正解 设PA与PB的倾斜角分别为α,β,
5 k ? tan ? ? , k PB ? tan ? ? ?1. 则 PA 3

当直线 l 由PA变化到与y轴平行的位臵时,它的倾斜角由α增至90°,
5 故斜率的取值范围为[ ,+≦); 3

当直线 l 由与y轴平行的位臵变化到PB的位臵时,它的倾斜角由90°增至
β,此时斜率的取值范围为(-≦,-1].
5 综上,斜率的取值范围为(-≦,-1]∪[ ,+≦). 3

考点演练
3 x 10.(2009· 广东湛江)曲线y= -2x+4在(1,3)处的切线的倾斜角

为——. 解析 y′=3 x 2-2,曲线在(1,3)处的切线斜率为 y ' x?1 ? 1 ,设倾

斜角为θ,且0°≤θ<180°,?θ=45°.
答案 45°

11. 一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1, 求此直线的方程.
x y 解析 设所求直线的方程为 ? ? 1 . a b 2 2 ? ≧A(-2,2)在直线上,? ? ? 1 , a b



又≧直线与坐标轴围成的三角形面积为1,

? | a| · |b|=1.
由①②可得,(1)

1 2

ab=2, ab=-2. a=2, a=-1, 由(1)解得 或 方程组(2)无解. b=1 b=-2,
x y x y ? ? 1 ? ?1 故所求的直线方程为 或 2 1 ?1 ?2

? ? ?

a-b=1, 或(2)

?


a-b=-1,

,

即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程.

12. 设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若l 在两坐标轴上截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数a的取值范围.
解析 (1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,当 然相等,?a=2,即方程为3x+y=0. 当直线不过原点时,又截距存在且相等,则截距均不为0, ?
a?2 ? a ? 2 ,即a+1=1,?a=0,即方程为x+y+2=0. a ?1

(2)方法一:将 l 的方程化为y=-(a+1)x+a-2, -(a+1)>0, -(a+1)=0, ? 或 a-2≤0 a-2≤0, ?a≤-1. 综上可知,a的取值范围是a≤-1. 方法二:将 l 的方程化为(x+y+2)+a(x-1)=0(a∈R). 它表示过 l1 :x+y+2=0与l2 :x-1=0的交点(1,-3)的直线系(不包 括x=1).由图象可知l 的斜率为-(a+1)≥0,即当a≤-1时,直线 l不 经过第二象限.

?

?

第二节
基础梳理

直线的位臵关系

1. 两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1 , l2 ,其斜率分别为k1 , k2 ,则有 l1 / /l2 ? k1 ? k2 特别地,当直线 l1 , l2 的斜率都不存在时, l1 与 l2的关系为平行. (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1 , l2的斜率存在,分别设为 k1 , k2 ,则 l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1

一般地,若直线 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 ( A1 , B1不全为0),
直线 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0( A2 , B2不全为0),则 l1 / /l2 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0
AC 1 2 ?A 2C1 ? 0(或B1C2 ? B2C1 ? 0)



l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0

l1 与 l2 重合? ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 且 AC 1 2 ?A 2C1 ? 0(或B 1C2 ? B2C1 ? 0)
2. 三种距离 (1)两点间的距离

平面上的两点 P 1 ? x1 , y1 ? , P 2 ? x2 , y2 ? 间的距离公式
PP 1 2 ?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|= x 2 ? y 2
(2)点到直线的距离 点P0 ? x0 , y0 ? 到直线l :Ax+By+C=0的距离 d ? (3)两条平行线的距离 两条平行线Ax+By+ C1=0与Ax+By+ C2 =0间的距离d ?
C1 ? C2 A2 ? B 2

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

典例分析
题型一 两条直线位臵关系的判定和应用

【例1】已知直线 l1 :ax+2y+6=0和直线 l2 :x+(a-1)y+ a 2-1=0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)当 l1⊥l2 时,求a的值. 分析 可以把直线化成斜截式,运用斜率或截距的数量关系来判断求 解,但由于直线的斜率可能不存在,就必须进行分类讨论;也可以运 用一般式方程中的系数关系来判断或求解,这样可以避免讨论.

解 (1)方法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0, l :x=0, 2 l1 不平行于 l2 ; 当a=0时, l1 :y=-3,l2 :x-y-1=0, l1 不平行于 l2 ; 当a≠1且a≠0时,两直线可化为 a 1 l1 : y ? ? x ? 3, l2 : y ? x ? ? a ? 1? 2 1? a
1 ? a ? ? , ? 2 1 ? a l1 / /l2 ? ? ??3 ? ? ? a ? 1? ?

解得a=-1, 综上可知,当a=-1时, l1 ∥ l2 ,否则 l1 与 l2 不平行. 方法二:由 A1B2 ? A2 B1 ? 0 ,得a(a-1)-1〓2=0,
2 由AC 1 2 ?A 2C1 ≠0,得a( a -1)-1〓6≠0, a(a-1)-1〓2=0, a 2 -a-2=0, ? l1 / /l2 ? a=-1 ? ? 2 2 a(a -1)-1〓6≠0 a( a -1)≠6

?

?

?

故当a=-1时, l1 ∥l2 ,否则 l1 与 l2 不平行.
(2)方法一:当a=1时,l1 :x+2y+6=0,l2 :x=0,

l1 与 l2不垂直,故a=1不成立.
a 1 当a≠1时, l1 : y ? ? x ? 3, l2 : y ? x ? ? a ? 1? 2 1? a
a? 1 2 由? ? ? ? ? 1 ? a ? ? ? ? 2 ? 1? a 3

方法二:由 A1 A2 ? B1B2 ? 0 ,得 a+2(a-1)=0? ?a ?
2 3

学后反思 (1)直线 l1 : y ? k1 x ? b1 ,直线 l2 : y ? k2 x ? b2 , “l1 / /l2 ? k1 ? k2且b1 ? b2 ”的前提条件是 l1 , l2 的斜率都存在,若不能确定 斜率的存在性,应对其进行分类讨论:

当 l1 , l2 中有一条存在斜率,而另一条不存在斜率时,l1与 l2 不平行;
当l1 ,l2 的斜率都不存在( l1 与 l2 不重合)时, l1∥l2 ;当 l1 , l2 均有斜 率且 k1 ? k2 , b1 ? b2 时, l1 ∥ l2 .为避免分类讨论,可采用直线方程的一 般式,利用一般式方程中的“系数关系”的形式来判断两直线是否平行, 如本例方法二. (2)当 l1 ⊥ l2 时,可分斜率不存在与斜率存在,斜率存在时,有
k1 ? k2 ? ?1,如果利用A1 A2 ? B1B2 ? 0 可避免分类讨论.

举一反三

1. 已知直线ax+3y+1=0与x+(a-2)y+a=0平行,求a的值.
解析 当a-2=0或a=0时两直线显然不平行;

当a-2≠0且a≠0时,由
若a=-1,则 ?
a 1

a 3 ,得a=-1或a=3. ? 1 a?2

3 1 ? 成立,故a=-1(舍去),则a=3. a?2 a

2. 已知直线ax-y+2a=0与(2a-1)x+ay+a=0互相垂直,求a的值. 解析 由a(2a-1)-a=0,得a=1或a=0. 当a=1时,两方程为x-y+2=0与x+y+1=0,互相垂直; 当a=0时,两方程为y=0与x=0,互相垂直. 所以a=1或a=0即为所求.

题型二 距离问题 【例2】求过点A(-1,2),且与原点的距离等于
2 2

的直线方程.

分析 设出所求直线的点斜式方程,运用待定系数法求直线的方程, 但必须要注意斜率是否存在这个问题. 解 ≧过点A(-1,2)且垂直于x轴的直线不满足题意, ?设过点A(-1,2)的直线点斜式方程为y-2=k(x+1), 即kx-y+k+2=0. ≧原点到直线的距离等于 解得k=-1或k=-7, 即所求直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0. 学后反思 (1)直线的点斜式方程不能代表垂直于x轴的直线,故 要进行讨论. (2)使用点到直线的距离公式时,必须把直线方程化为一般式.
2 2

,?d=

k ?2 k 2 ?1

?

2 2

举一反三
3. 与直线2x+3y+5=0平行,且距离等于 13 的直线方程是——. 解析 ≧所求直线 l 与直线 l0 :2x+3y+5=0平行, ?可设 l :2x+3y+C=0,由l 与 l0 距离为 13 ,得
C ?5 13 ? 13 ,解得C=18或C=-8,

?所求直线 l 的方程为2x+3y+18=0或2x+3y-8=0. 答案 2x+3y+18=0或2x+3y-8=0

题型三 交点及直线系问题

【例3】求经过直线l1 :3x+2y-1=0和 l2 :5x+2y+1=0的交点且垂直于直 线 l3 :3x-5y+6=0的直线l 的方程.
分析 本题可以先求交点坐标,然后由直线间位臵关系求解,也可以 先设出直线系方程,后代入点具体求解. 解 方法一:由

5 3 又 l3 的斜率k3 ? , ? l的斜率k=- , 3 5 5 ?l :y-2=- (x+1),即5x+3y-1=0. 3

?

3x+2y-1=0, 5x+2y+1=0, 得 l1 , l2 的交点P(-1,2).

方法二:由 l ⊥ l3 ,可设l :5x+3y+C=0. ≧l1 ,l2 的交点可以求得为P(-1,2). ?5〓(-1)+3〓2+C=0,?C=-1, ?l :5x+3y-1=0.

方法三:≧ l 过 l1 , l2 的交点, 故设 l :3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0, 即(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0, ??
1 3 ? 5? 5 ? ? ,解得λ= ,代入上式整理得 5 2 ? 2? 3

l :5x+3y-1=0.
学后反思 三种解法都能比较迅捷地解决问题,但方法一、方法二都是 在两直线的斜率存在的前提下进行的,如果其中含有字母参数之类的, 则要进行分类讨论;运用直线系方程时,则必须对直线系中不包含的直 线进行检验.因此,本题的三种解法应该是各有优缺点.

举一反三

4. 已知两直线 l1 :x+2=0, l2 :4x+3y+5=0,定点A(-1,-2),求过 l1 , l2 的交点 且与点A的距离等于1的直线 l . 解析 方法一: l1 , l2 的交点为(-2,1). 若直线 l 斜率存在,设所求的直线方程为y-1=k(x+2), 即kx-y+2k+1=0. ① ≧所求直线 l 与点A(-1,-2)的距离为1, ?
?k ? 2 ? 2k ? 1 k 2 ?1
4 ? 1 ,得k=- ,代入①,得 3

所求直线l 的方程为4x+3y+5=0. 若直线 l 斜率不存在,即判断过点(-2,1)且与y轴平行的直线x=-2是否 符合所求直线 l 的条件. ≧点A(-1,-2)到直线x=-2的距离为1, ?直线x=-2,即x+2=0也符合直线 l的要求, 故所求直线 l 的方程是x+2=0和4x+3y+5=0.

方法二:l ,l2 的交点为(-2,1),
1

过 l1 ,l2 交点的直线系方程是(x+2)+λ(4x+3y+5)=0, λ是参数,化简得(1+4λ)x+3λy+(2+5λ)=0, 由
?1? ?1 ? 4? ? ? ? ?2 ? ? 3? ? ? 2 ? 5? ?



?1 ? 4? ? ? ? 3? ?
2

2

?1

,得λ=0.

代入方程②,得x+2=0. 又≧直线系方程②中不包含 l2 , ?应检验 l2 是否也符合所求 l 的条件.

≧点(-1,-2)到 l2 的距离为
? l2 也符合要求,

?4 ? 6 ? 5 4 ?3
2 2

?1

故所求直线 l 的方程是x+2=0和4x+3y+5=0.

题型四 对称问题 【例4】(12分)光线沿直线l1 :x-2y+5=0射入,遇直线 l :3x-2y+7=0后反 射,求反射光线所在的直线方程. 分析 本题用光学原理得入射光线与反射光线所在的直线关于直线 l 对 称,用对称点方法求出入射光线上一点P关于 l 的对称点,再由两点式写 出方程. 解 方法一:由

x-2y+5=0, y=2, 即反射点M的坐标为(-1,2)……………………………………..2′ 又取直线x-2y+5=0上一点P(-5,0),设点P关于直线 l的对称点为
y0 2 k ? ? ? 由PP′⊥ l,可知 PP ' ………………………….. 4′ 3 x0 ? 5 ? x0 ? 5 y0 ? , ? 而PP′的中点Q的坐标为 ? 2 2? ?

?

3x-2y+7=0, 得

?

x=-1,

P ' ? x0 , y0 ?

又Q点在 l 上,?3 ?
联立

3 ? x0 ? 5 ? ? y0 ? 7 ? 0 2 ? 17 32 ? 即P′点坐标为 ? ? , ? ? ……………………………...10′ ? 13 13 ? ? 17 32 ? 反射光线过M(-1,2)和P′ ?? ,? ? ? 13 13 ?

?

x0 ? 5 y ? 2? 0 ? 7 ? 0 2 2

y0 2 ?? , x0 ? 5 3

解得

?

x0 ? ?

17 13 32 y0 ? ? 13

根据直线的两点式方程,可得 反射光线所在的方程为29x-2y+33=0…………………………….12 方法二:设直线x-2y+5=0上任意一点P ? x0 , y0 ? 关于直线 l的对称点
y0 ? y 2 ? ? ……………………………………… 3′ x0 ? x 3 ? x ? x0 y ? y0 ? , 又PP′的中点Q ? ? 在 l 上, 2 ? ? 2

P′(x,y),则

? 3 ? x ? x0 ? 2 ? y ? y0 ? 7 ? 0 ,……………………………………6′
2 2

?5 x ? 12 y ? 42 ? x ? 2 ? y0 ? y ? ? 0 13 ? ? , ? ? ? 3 ?x ?x 由? 0 ? y ? 12 x ? 5 y ? 28 0 ?3 ? x ? x0 ? ? y ? y ? ? 7 ? 0 ? 13 ? 0 ? ? 2

……………………………………………………………………..9′

代入方程x-2y+5=0中,化简得29x-2y+33=0,
即所求反射光线所在直线方程为29x-2y+33=0………………..12′

学后反思 比较两种解法可知,对于直线的对称问题,都是转化为点关 于直线的对称或点关于点的对称问题来解决的.其中,方法一通过求点关 于直线的对称点坐标,用两点式方程求解;方法二则利用了轨迹思想求 对称直线的方程,是求解曲线关于直线对称问题的通法.

举一反三
5. 已知A(7,-4)关于直线l 的对称点为B(-5,6),则直线 l 的方程是 ( A. 5x+6y-11=0 B. 6x-5y-1=0 )

C. 6x+5y-11=0
解析

D. 5x-6y+1=0

≧AB的中点(1,1)在直线 l 上,

5 6 ,即所求直线的斜率k= , 6 5 6 ?所求直线 l 的方程为y-1= (x-1),即6x-5y-1=0. 5

又 k AB ? ?

答案

B

易错警示

【例】已知一直线 l 经过点P(1,2)且与点A(2,3)和B(0,-5)距离相等, 求此直线的方程.
错解 方法一:设所求直线方程为y-2=k(x-1),

即kx-y-k+2=0,
? 2k ? 3 ? k ? 2 ? 0 ? 5 ? k ? 2 ,即|k-1|=|k-7|, 2 2
1? k 1? k

解得k=4,?所求直线方程为4x-y-2=0.
方法二:由已知 l∥AB,又 k AB ? 3 ? 5 ? 4
2

?l :y-2=4(x-1),即4x-y-2=0. 错解分析 方法一中忽视了斜率可能不存在的情况,方法二中忽视 了l 可以过AB中点的情况.

正解 方法一:当 l 斜率不存在时,直线方程为x=1,满足条件.
当斜率存在时,解法同错解中“方法一”. 方法二:当 l 过AB中点时,直线方程为x=1. 当 l∥AB时,解法同错解中“方法二”. 综上,直线 l 的方程为x=1或4x-y-2=0.

考点演练
10. (2009· 青岛模拟)平行四边形两邻边方程是x+y+1=0和3x-y+4=0,对
角线交点为(3,3),则另两边的方程为——和 ——. 解析 方法一:所求直线与已知直线关于(3,3)中心对称,故方程为

(6-x)+(6-y)+1=0和3(6-x)-(6-y)+4=0,即x+y-13=0和3x-y-16=0.

方法二:所求直线与已知直线分别平行,且过已知两直线的交点关于 (3,3)的对称点.设l1:x +y+c1 =0, l2 :3x-y+ c2 =0.两已知直线的交点坐

标满足

?

x+y+1=0,

解得
3x-y+4=0,

?

x= ?
1 y= 4

5 4

? 5 1? ? 29 23 ? ? , 即? 4 4 ? ,它关于(3,3)的对称点为? , ? ? ? ? 4 4? ? 29 23 ? 将 ? , ? 代入 l1 , l2 ,解得 c1 =-13,c2 =-16. ? 4 4?

所以所求直线 l1 :x+y-13=0, l2 :3x-y-16=0. 答案 x+y-13=03x-y-16=0 11. 已知正方形的中心为直线2x-y+2=0与x+y+1=0的交点,正方形一边所 在的直线方程为x+3y-5=0,求正方形的其他三边所在的直线方程.

解析 设与直线 l:x+3y-5=0平行的边所在的直线方程为 l1:x+3y+c=0. 2x-y+2=0, 由 得正方形的中心坐标P(-1,0), x+y+1=0 ?1 ? 5 ?1 ? c 由点P到两直线 l , l1的距离相等,得 2 2 ? 2 2 , 1 ?3 解得c=-5或c=7(-5不合题意,舍去),1 ? 3 ?l1 :x+3y+7=0. 又≧正方形另两边所在直线与l 垂直, ?设另两边方程为3x-y+a=0,3x-y+b=0. ≧正方形中心到四条边的距离相等,

?

?

?3 ? a 3 ?1
2 2

?

?1 ? 5 1 ?3
2 2

,解得a=9或a=-3,

?正方形的其他两条边所在的直线方程为 3x-y+9=0,3x-y-3=0. ?正方形的其他三边所在的直线方程为 3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.

12. 光线从A(-3,4)点射出,到x轴上的B点后,被x轴反射到y轴上的C 点,又被y轴反射,这时反射线恰好过点D(-1,6),求BC所在直线的 方程.
解析 方法一:如图所示,依题意,B点在原点O左侧,设其坐标为 (a,0),由反射角等于入射角,得∠1=∠2,∠3=∠4, ?k AB ? ?kBC

又k AB ?
?k BC y=

4?0 4 ?? (a ? ?3) ?3 ? a 3? a 4 ? 3 ? a ,即BC所在直线方程为

4 ? ?4a ? (x-a),所以C点坐标为? 0, ? 3? a ? a ?3? 7 4 18 ? 10a 又≧k BC ? ?kCD ,? , 解得 a=, ? 5 3? a 3? a

代入BC的方程,得5x-2y+7=0.

方法二:A关于x轴的对称点A′(-3,-4),
D关于y轴的对称点D′(1,6), 由光学知识知,A′、B、C、D′四点共线,且 k A ' D ' ? 则BC所在的直线方程为5x-2y+7=0.
5 2

第三节
基础梳理
1. 圆的标准方程
(1)方程? x ? a ? 标准方程;
2

圆的方程

? ? y ? b ? ? r 2 ? r ? 0 ? 表示圆心为(a,b),半径为 r 的圆的
2

2 2 2 (2)特别地,以原点为圆心,半径为r(r>0)的圆的标准方程为 x ? y ? r .

2. 圆的一般方程

方程 x ? y
2

2

D? ? E? D2 ? E 2 ? 4F ? +Dx+Ey+F=0可变形为? x ? ? ? ? y ? ? ? 2? ? 2? 4 ?
2

2

2

? D E? (1)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示以 ? ? , ? ? 为圆心,以 2? ? 2
2

D2 ? E 2 ? 4F 2

为半径的圆;

? D E? (2)当D 2 ? E 2 ? 4F =0时,方程表示一个点 ? ? , ? ? ; ? 2 2?

(3)当D 2 ? E 2 ? 4F <0时,方程不表示任何图形.
2 2 3. P ? x0 , y0 ? 与圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 的位臵关系

(1)若 ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 2 ,则点P在圆外;
2 2

(2)若 ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 2 ,则点P在圆上;
2 2

(3)若 ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 2,则点P在圆内.
2 2

4. 求圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤为: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; (3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.

典例分析
题型一 求圆的方程

【例1】求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y=0上的圆的标准 方程并判断点P(2,4)与圆的关系.
分析 欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标和圆的半径的大小,而要 判断点P与圆的位臵关系,只需看点P与圆心的距离和圆的半径的大小 关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上; 若距离小于半径,则点在圆内. 2 2 解 方法一:设圆的标准方程为? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 . ≧圆心在y=0上,?b=0, 2 ?圆的方程为 ? x ? a ? ? y 2 ? r 2 又≧该圆过A(1,4)、B(3,2)两点,
2 2 ? 1 ? a ? 16 ? r , ? ? ? ?? 2 2 3 ? a ? 4 ? r , ? ? ? ?

?a ? ?1, 解得 ? 2 ?r ? 20,
2

故所求圆的方程为 ? x ? 1? ? y 2 ? 20

2 2 方法二:设圆的一般方程为 x ? y +Dx+Ey+F=0,因为圆心在x轴上,

E 则- =0,即E=0. 2

?

又该圆过A(1,4)和B(3,2),所以 D+17+F=0, D=2, 解得 E=0, 3D+13+F=0, F=-19.

?

2 2 所以圆的方程为 x ? y +2x-19=0.

方法三:≧圆过A(1,4)、B(3,2)两点, ?圆心C必在线段AB的垂直平分线l上, 又≧ k AB ?
4?2 ? ?1 ,? l 的斜率为1. 1? 3

又AB的中点为(2,3), 故AB的垂直平分线 l 的方程为y-3=x-2, 即x-y+1=0.

又知圆心在直线y=0上,?圆心坐标为C(-1,0).
?半径r=|AC|= ?1 ? 1?2 ? 42 ? 20
2 即所求圆的方程为 ? x ? 1? ? y ? 20 2

又点P(2,4)到圆心C(-1,0)的距离为 d=|PC|= ? 2 ? 1?2 ? 42 =5>r, 所以点P在圆外. 学后反思 (1)本题方法一与方法二都使用了待定系数法,其中方法 一设了圆的标准方程,方法二设了圆的一般方程,都是结合条件来求所 设方程中的待定系数;方法三则应用了平面几何知识:圆心与弦的中点 的连线与弦垂直.一般而言,在解析几何问题中,用上平面几何知识, 会使解题变得相对简单. (2)无论哪种解法,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后 根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位臵关系.

举一反三
1. 求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程. 解析 ≧圆经过点A(5,2),B(3,2),?圆心在x=4上,又圆心在2x-y2 2
2 2

3=0上,?圆心为(4,5),可设圆的方程为 ? x ? 4 ? ? ? y ? 5 ? ? r 2 ,又
2 圆过B(3,2),即? 3 ? 4 ? ? ? 2 ? 5 ? ? r ,? r 2 ? 10 ,

?圆的方程为 ? x ? 4 ? ? ? y ? 5 ? ? 10
2 2

题型二 与圆有关的参数问题
2 2 2 【例2】(2009· 威海模拟)已知圆的方程为 x ? y ? ax ? 2 y ? a ? 0

,要使过定点A(1,2)的圆的切线有两条.求a的取值范围.
2 2 2 2 分析 (1)若方程表示圆,则 D ? E ? 4 F >0,即 a ? 4 ? 4a ? 0

(2)由定点A的切线有两条,则点A一定在圆外.



2 2 2 若 x ? y ? ax ? 2 y ? a ? 0 表示圆,则应满足

a 2 ? 4 ? 4a 2 ? 0 ,即4-3a 2 >0,



又点A应在圆外,则 12 ? 22 ? a ? 2 ? 2 ? a2 ? 0
即a +a+9>0,
2 3 2 3 ?a? 3 3 ? 2 3 2 3? 故a的取值范围是 ? ?? 3 , 3 ? ? ? ?
2



由①②得 ?

2 2 学后反思 (1)一般地,方程表示圆隐含着条件 D ? E ? 4 F >0.此点易 被忽视.
2 2 2 2 (2)若点 ? x0 , y0 ? 在圆 x ? y +Dx+Ey+F=0外,则 x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F ? 0

举一反三
1 2. 已知圆的方程 x ? y ? ax ? 2 y ? a ? 0,要使圆的半径不大于 且过定点 2
2 2 2

A(1,2)的圆的切线有两条,求a的取值范围. 解析
a? 3 2 2 圆的方程可化为 ? x ? ? y ? 1 ? 1 ? a ? ? ? ? 2? 4 ?
2

3 1 1 ? a2 ? , 4 2 由已知 1 ? 3 a 2 ? 0, 即 4 12 ? 22 ? a ? 2 ? 2 ? a 2 ? 0

?

.

?

a 2 ? 1, 4 ? 3a 2 ? 0, a 2 ? a ? 9 ? 0,

解得 ? 2 3 <a≤-1或1≤a< 2 3 ,
3 3

所以a的取值范围为( ? 2 3 ,-1]∪[1, 2 3 ).
3 3

题型三 与圆有关的最值问题
2 2 【例3】已知实数x、y满足方程 x ? y -4x+1=0.

y (1)求 的最大值和最小值; x

(2)求y-x的最大值和最小值;
2 2 (3)求 x ? y 的最大值和最小值.

分析 根据代数式的几何意义,借助于平面几何知识,数形结合求解. 解
2 原方程可化为 ? x ? 2 ? ? y ? 3 ,表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆. 2

y y (1) 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设 =k,即y=kx. x x

当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时

2k ? 0 k ?1
2

? 3

y ,解得k=〒 3 ,如图1,所以 的最大值为 3 ,最小值为- 3 . x

(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵 截距b取得最大值或最小值,此时 2 ? 0 ? b
2 ? 3

,解得b=-2〒 6 .如图2,所

以y-x的最大值为-2+ 6,最小值为-2- 6 .
2 2 (3) x ? y 表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点

与圆心的连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值,如图3. 又圆心到的原点的距离为 ? 2 ? 0? ? ? 0 ? 0?
2 2

?2

所以,x ? y 的最大值为? 2 ? 3 ? ? 7 ? 4 3
2 2
2

x 2 ? y 2的最小值为 ? 2 ?

3

?

2

? 7?4 3

学后反思 (1)本例中利用图形的直观性,使代数问题得到非常简捷的解 决,这是数形巧妙结合的好处. (2)本例的解题关键在于抓住“数”中的某些结构特征,从而联想到解析 几何中的某些公式或方程,从而挖掘出“数”的几何意义,实现由“数” 到“形”的转化. (3)与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:
①形如μ=
y?b 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; x?a

②形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题; 2 2 ③形如 ? x ? a ? ? ? y ? b ? 形式的最值问题,可转化为动点到定点距离的平方的 最值问题.

举一反三
2 2 3. 已知圆C: ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 1 ,点A(-1,0),B(1,0),点P为圆上的动

点,求d= PA ? PB 的最大值、最小值及对应的P点坐标.

2

2

解析 设 P ? x0 , y0 ? 则
d ? PA ? PB ? ? x0 ? 1? ? y0 2 ? ? x0 ? 1? ? y0 2
2 2 2 2

2 2 欲求d的最值,只需求ω= x0 ? y0 的最值,即求圆C上的点到原点距离平

? 2 ? x0 2 ? y0 2 ? ? 2

方的最值,故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点 P 即为所求. 1, P 2 设过O,C两点的直线交圆C于 P 两点, 1, P 2
2 则 ?min ? ? OC ? 1? ? 16 ? OP 1 2

? 12 16 ? d ? 2 ? 16 ? 2 ? 34, P , ? 此时 min 1? ?5 5?

?max ? ? OC ? 1? ? 36 ? OP2
2

2

? 18 24 ? d ? 2 ? 36 ? 2 ? 74, P , ? 此时 max 2? ?5 5 ?

题型四 与圆有关的简单的轨迹问题
2 【例4】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 ? x ? 1? ? y ? 4 上 2

运动,求线段AB的中点M的轨迹方程. 分析 动点M的轨迹与点A的位臵变化 有关,因此可以把点A的坐标用点M的 坐标表示出来,再代入点A所满足的方 程求得点M的轨迹方程. 解 设点M的坐标为(x,y),点 A? x0 , y0 ?

因为M是线段AB的中点,且B(4,3),
x0 ? 4 ? x ? , ? ? 2 所以 ? ? y ? y0 ? 3 , ? ? 2

? x0 ? 2 x ? 4 所以 ? ? y0 ? 2 y ? 3
2



又点A在圆? x ? 1?

? y 2 ? 4 上运动,

所以 ? x0 ? 1?

2

? y0 2 ? 4 .
2 2


?4

把①代入②,得 ? 2 x ? 4 ? 1? ? ? 2 y ? 3?
2 2

3? ? 3? x ? ? y ? 整理得? ? ? ? ? ?1 . 2? ? 2? ? ?3 3? 所以点M的轨迹是以 ? 2 , 2 ? 为圆心,半径为1的圆. ? ?

学后反思 (1)本例中M、A是相关动点,M、A、B三者存在着不变的关 系,抓住该关系可以实现动点M、A的坐标间的转化. (2)一般地,设点时,动点设为(x,y),相关点设为? x0 , y0 ? ,并将 (x,y)用 ? x0 , y0 ? 表示出来,代入? x0 , y0 ? 满足的关系式.

举一反三
2 2 4. 已知圆 x ? y ? 4 上一定点A(2,0),P为圆上的动点.求线段AP中点

的轨迹方程.

解析 设AP中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).
2 2 ≧P点在圆 x ? y ? 4 上,? ? 2 x ? 2 ? ? ? 2 y ? ? 4
2 2

故线段AP中点的轨迹方程为? x ? 1? ? y 2 ? 1
2

题型五 圆的方程的实际应用 【例5】(12分)在气象台A正西方向300千米处有一台风中心B,它以每 小时40千米的速度向东北方向移动,距台风中心250千米以内的地方 都要受其影响,问:从现在起,大约多长时间后,气象台A所在地将 受台风影响?持续多长时间?

分析 几小时后气象台所在地受到台风影响,就是指以台风中心为 圆心的圆何时开始经过该城市,持续多长时间即为台风圆何时离开. 可建立直角坐标系,用变量t表示出B点坐标,进而求解.

解 以气象台为坐标原点,正东方向为x轴正方向, 正北方向为y轴正方向建立直角坐标系, 如图,则现在台风中心B的坐标为(-300,0). 根据题意可知,t小时后B的坐标为 (-300+40tcos 45°,40tsin 45°), 即(-300+20 2t,20 2t)…………………………….3′ 因为以台风中心为圆心,以250千米为半径长的圆上和圆内的区域将遭受 台风影响,所以气象台A在圆上或圆内时,将受台风影响,所以令|AB| ≤250,即? ?300 ? 20 2t ? ? ? 20 2t ? ? 2502 ………………………. 6′
2 2

整理得16t 2 -120 2 t+275≤0,………………………………..8′

解得 15 2 ? 5 7 ? t ? 15 2 ? 5 7 …………………………………… 10′
4 4

故大约2小时后,气象台A所在地将遭受台风影响,大约持续6个半小 时………………………………………………………………12′

学后反思 在解决有关的实际问题时,关键要明确题意,根据所给条件建 立直角坐标系,建立数学基本模型,将实际问题转化为数学问题解决.

举一反三
5. 有一种大型商品,A、B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之 一购得商品后运回的费用是:A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍.已知 A、B两地距离为10公里,顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是:运费和 价格的总费用较低.求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时,点P所在的 曲线方程,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点. 解析 如图,以A、B所在的直线为x轴,线段AB的中点为原点建立直 角坐标系,≧|AB|=10, ?A(-5,0),B(5,0). 设P(x,y),P到A、B两地购物的运费分别是3a、a(元/公里). 当由P地到A、B两地购物费用相等时,即 价格+A地运费=价格+B地运费, ? 3a ?

? x ? 5?

2

? y2 ? a ?
2

? x ? 5?

2

? y2 ,
2

25 ? ? ? 15 ? 化简整理,得 ? x ? ? ? y 2 ? ? ? 4? ? ?4?

(1)当P点在以? ??

15 25 ? , 0 ? 为圆心, 4 ? 4 ?

为半径的圆上时,居民到A地或B地购

货总费用相等,故此时到A地或B地购物均可.

(2)当P点在上述圆内时,
25 ? ? ? 15 ? ?? x ? ? ? y2 ? ? ? , 4 ? ? ? 4? 2 2 ? ?9 ? x ? 5 ? ? 9 y 2 ? ? ?? x ? 5 ? ? y 2 ? ? ? ? ? 2 2 ?? 25 ? ? 15 ? ? 2 ? 8 ?? x ? ? ? y ? ? ? ? ? 0, 4 ? ? 4? ? ?? ? ? ?3
2 2

? x ? 5?

2

? y2 ?

? x ? 5?

2

? y2 .

故此时到A地购物合算.

(3)当P点在上述圆外时,
25 ? ? ? 15 ? ?? x ? ? ? y2 ? ? ? , 4 ? ? ? 4? 2 2 ? ?9 ? x ? 5 ? ? 9 y 2 ? ? ?? x ? 5 ? ? y 2 ? ? ? ? ? 2 2 ?? 25 ? 15 ? ? ? 2 ? 8 ?? x ? ? ? y ? ? ? ? ? 0, 4 ? ? 4? ? ? ?? ? ?3
2 2

? x ? 5?

2

? y2 ?

? x ? 5?

2

? y2 .

故此时到B地购物合算.

考点演练
10. 过直线2x+y+4=0和圆 x 2 ? y 2 +2x-4y+1=0的交点且面积最小的圆的方 程是——.

?

解析 因为通过两个定点的动圆中,面积最小的是以这两个定点为直 径端点的圆,于是解方程组 2x+y+4=0, x 2 ? y 2+2x-4y+1=0, 得交点A ? ?
? 11 2 ? , ? ? 5 5?

,B(-3,2).
13 6

? ? 因为AB为直径,则其中点为圆心,即为 ? ? 5 , 5 ? , ? ?

r?

1 2 AB ? 5 2 5

.
2 2

13 ? ? 6? 4 所以圆的方程为? ?x? ? ?? y ? ? ? 5? ? 5? 5 ?

答案

6? 4 ? 13 ? ? x ? ? y ? ? ? ? ? ? 5? ? 5? 5 ?

2

2

11. 已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线 y 2=2x上,其中O为坐标原 点,设圆C是△OAB的外接圆(点C为圆心),求圆的方程.

解析

? y12 ? ? y2 2 ? , y , , y 方法一:设A、B两点坐标分别为 ? . 1? ? 2? 2 2 ? ? ? ?
2 2 2

由题设知
? y12 ? ? y2 2 ? ? y12 y2 2 ? 2 2 2 ? y ? ? y ? ? ? y ? y ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 2 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2
2 2 解得 y1 ? y2 ? 12

所以A(6,2 3 ),B(6,-2 3 )或A(6,-2 3),B(6,2 3).
2 设圆心C的坐标为(r,0),则r= 〓6=4. 3

因此,圆C的方程为? x ? 4 ? ? y 2 ? 16 .
2

方法二:设A、B两点坐标分别为 ? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ?
2 2 2 2 2 2 由题设知 x1 ? y1 ? x2 ? y2 .又 y1 ? 2x1, y2 ? 2x2 ,

2 2 所以 x1 ? 2x1 ? x2 ? 2x2 ,即? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? 2? ? 0 .

由x1 ? 0, x2 ? 0 ,可知 x1 ? x2 ,
故A、B两点关于x轴对称,所以圆心C在x轴上.
? ? 设C点的坐标为(r,0),则A点坐标为? 3 r , 3 r ? , ?2 2 ? ? ?

于是有? ?

? 3 ? 3 r? ? 2 ? r ? 2 ? 2 ?

2

,解得r=4,

所以圆C的方程为? x ? 4 ?2 ? y 2 ? 16

12. (创新题)设定点M(-3,4),动点N在圆 x 2 ? y 2 =4上运动,以OM、 ON为两边作 MONP,求点P的轨迹. 解析 如图所示,设P(x,y), N ? x0 , y0 ? 则线段OP的中
? ? ?x y? 点坐标为? , ? ,线段MN的中点坐标为? 0 2 , 0 2 ? ? ? ?2 2? x ?3 y ? 4

.

因为平行四边形的对角线互相平分, x0 =x+3, x x0 ? 3 y y0 ? 4 , ? 故 ? ,从而 2 2 2 2 y0 =y-4.

?

N(x+3,y-4)在圆上,故 ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 4 .
2 2

? 21 28 ? 2 2 ? 9 12 ? ? , ? x ? 3 ? y ? 4 ? 4 ? ? ? 因此所求轨迹为圆? ,但应除去两点: ? ? , ? 和? 5 5 ? ? ? 5 5?

(点P在OM所在直线上时的情况).

第四节 直线与圆的位臵关系
基础梳理
1. 直线与圆的位臵关系 (1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点. 2. 直线与圆的位臵关系的判断方法 2 2 直线 l :Ax+By+C=0(A,B不全为0)与圆? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 (r>0)的位臵关 系的判断方法: (1)几何法. 圆心(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离为d, ?直线与圆相交; d<r? d=r? ?直线与圆相切; d>r? ?直线与圆相离.

(2)代数法. Ax+By+C=0, 由

?

? x ? a?

2

? ? y ? b? ? r
2

消元,得到的一元二次方程的判别式为Δ,则
2

?直线与圆相交; Δ>0? ?直线与圆相切; Δ=0? Δ<0? ?直线与圆相离.

3. 圆与圆的位臵关系 圆与圆的位臵关系有五种,分别为外离、外切、相交、内切、内含. 4. 弦长问题 1 圆的弦长的计算:常用弦心距d,弦长一半 a及圆的半径r所构成的直角
2
r 2 ? a2 ? d 2 三角形来解: 1 4

典例分析

题型一 直线与圆的位臵关系
2 2 2 【例1】已知圆 x ? y -6mx-2(m-1)y+10 m -2m-24=0(m∈R).

(1)求证:不论m为何值,圆心在同一直线 l 上; (2)与 l 平行的直线中,哪些与圆分别相交、相切、相离. 分析 (1)用配方法将圆的一般方程配成标准方程,求圆心坐标, 消去m.(2)比较圆心到直线的距离与圆半径的大小. 解 (1)证明:配方得 ? x ? 3m ? 设圆心为(x,y),则
2

y=m-1, 则不论m为何值,圆心恒在直线 l :x-3y-3=0上.
(2)设与 l 平行的直线是l1 :x-3y+b=0,

?

x=3m,

?? ? y ? ? m ? 1? ? ? ? 25
2

消去m,得 l :x-3y-3=0,

则圆心到直线 l1 的距离为 d ?

3m ? 3 ? m ? 1? ? b 10

?

3?b 10

≧圆的半径为r=5, ?当d<r,即-5
10 -3<b<5 10 -3时,直线与圆相交;

当d=r,即b=〒5 10 -3时,直线与圆相切; 当d>r,即b<-5
10 -3或b>5 10

-3时,直线与圆相离.

学后反思 判断直线与圆的位臵关系一般有两种方法: (1)代数法:将直线方程与圆的方程联立,由所得一元二次方程根的 判别式来判断. (2)几何法:确定圆的圆心和半径,比较圆心到直线的距离与圆半径 的大小关系来判断. 实际应用中“几何法”要优于“代数法”.

举一反三

1. (2009· 启东调研)已知圆C: ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 6 ,直线 l :mx-y+1-m=0.
2 2

(1)求证:无论m取什么实数,直线l 与圆C恒交于两点; (2)求直线l 被圆C截得的弦长最小时 l 的方程.

l :mx-y+1-m=0的方程可化为 解析 (1)证明:
y-1=m(x-1),其恒过定点P(1,1). ≧|PC|= ?1 ? 1?2 ? ?1 ? 2?2 ? 5 ? r ? 6 ?点P恒在圆C内,?直线 l与圆C恒交于两点. (2)由(1)及平面几何知识知,当l 垂直于PC时,直线l 被圆C截得的弦 长最小,又 kPC ? 2 ? 1 ? ? 1 ,? kl ? ? 1 ? 2 ,
?1 ? 1 2 kPC

?所求直线l 的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.

题型二 圆与圆的位臵关系
x 2 ? y 2 -2mx+4y+ m 2 -5=0,圆C2 : x 2 ? y 2 +2x-2my+ m 2 -3=0, 【例2】已知圆 C1 :

试就m的取值讨论两圆的位臵关系. 分析 先把两圆的方程化为标准方程,再求两圆的圆心距d,进而判断d 与R+r,R-r的关系. 解 圆 C1 : ? x ? m ? ? ? y ? 2 ? ? 9 ,
2 2

圆C2 : ? x ? 1? ? ? y ? m ? ? 4 .
2 2

两圆的圆心距 C1C2 ? ? m ? 1?2 ? ? m ? 2?2 , r1 ? 3, r2 ? 2 . (1)当 C1C2 ? r1 ? r2 ,即 ? m ? 1?2 ? ? m ? 2?2 ? 1 时, 解得m=-5或m=2,

故当m=-5或m=2时,两圆外切;

(2)当 C1C2 ? r1 ? r2 ,即 解得m=-2或m=-1,

? m ? 1? ? ? m ? 2?
2

2

? 1 时,

故当m=-2或m=-1时,两圆内切; (3)当 r1 ? r2 ? C1C2 ? r1 ? r2 , 即-5<m<-2或-1<m<2时,两圆相交; (4)当C1C2 ? r1 ? r2 ,即m<-5或m>2时,两圆外离; (5)当 C1C2 ? r1 ? r2 ,即-2<m<-1时,两圆内含.

学后反思 在讨论两圆的位臵关系时,一般根据其关系的判定条 件,即圆心距与两圆半径之间的和差关系来判断.

举一反三

2. 已知半径为1的动圆与圆? x ? 5 ? ? ? y ? 7 ? ? 16 相切,求动圆圆心的轨 迹方程.
2 2

解析 设动圆的圆心坐标为(a,b),当两圆外切时,由题意可得
2 2 ? a ? 5 ? ? ? b ? 7 ? ? 25 ? a ? 5? ? ? b ? 7 ? ? 1 ? 4 ,

2

2


2

当两圆内切时,由题意可得 ? a ? 5 ? ? ? b ? 7 ? ? 4 ? 1 ,
2

即 ? a ? 5? ? ? b ? 7 ? ? 9 .
2 2

所以动圆圆心的轨迹方程为

? a ? 5?

2

? ? b ? 7 ? ? 25 或 ? a ? 5 ? ? ? b ? 7 ? ? 9
2

2

2

.

题型三

圆的切线及弦长问题

2 2 【例3】已知点P(0,5)及圆C: x ? y +4x-12y+24=0.

(1)若直线 l 过P且被圆C截得的线段长为4 3 ,求l 的方程; (2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程. 分析 (1)可以用代数法——将直线l的斜率k设出(优先考虑斜率不 存在的情况),写出直线方程,并将其代入圆C的方程,然后运用弦长

公式 d ? 1 ? k 2 x1 ? x2 来解决;也可以用几何法——设出直线 l的方程:
y-5=kx,首先注意斜率不存在的情况,运用圆心到直线的距离,圆半径 和一半弦长构成直角三角形来解决.

(2)中点弦问题,可以考虑“代点作差法”,也可以利用“垂直于弦 的直径平分弦”这一几何特征来求解.



(1)方法一:如图所示,AB=4 3 ,D是AB的中点,CD⊥AB,AD=2 3 ,AC=4.

在Rt△ADC中,可求得CD=2.设所求直线的斜率为k,则直线的方程为 y-5=kx,即kx-y+5=0. 3 ?2k ? 6 ? 5 ? 2 ,得k= 由点C到直线AB的距离公式 . 2
k 2 ? ? ?1?

4

又直线 l 的斜率不存在时也满足题意,此时方程为x=0. 当k= 时,直线 l的方程为3x-4y+20=0. ?所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0. 方法二:设所求直线的斜率为k, 则直线 l 的方程为y-5=kx,即y=kx+5, y=kx+5, 联立直线与圆的方程 x 2 ? y 2 +4x-12y+24=0,
3 4

?

消去y,得 ?1 ? k

2

?x

2

+(4-2k)x-11=0,



设方程①的两根为 x1 , x2 ,由韦达定理,得
2k ? 4 ? x ? x ? ? ? 1 2 1? k 2 ? ? x x ? ? 11 ? 1 2 1? k 2 ?


x ?x ? ?1 ? k ? ? ??
2 1 2

由弦长公式,得

1 ? k 2 x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? ? 4 3 ?

将②式代入,解得k= ,此时直线方程为3x-4y+20=0. 又k不存在时也满足题意,此时直线方程为x=0. ?所求直线方程为x=0或3x-4y+20=0.
uuu r uur (2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),则CD⊥PD,即 CD ? PD

3 4

=0,

2 2 (x+2,y-6)(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为 x ? y +2x-11y+30=0.

学后反思 (1)直线与圆的相交问题,往往用垂径定理解决,即圆心距
d,圆半径r,半弦长 ,三者满足勾股定理来解决. (2)在研究与弦的中点有关的问题时,注意运用“平方差法”,即设弦 2 2 2 AB ? ? x1 ? y1 ? r
A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ?

l 2

? x0 , y0 ?

两端点的坐标分别为 ,中点为 x0 y1 ? y2 x1 ? x2 k? ?? ?? x1 ? x2 y1 ? y2 y0 .该法常用来解决与弦的中点、直线 得 的斜率有关的问题.

? 2 2 2 x ? y ? r ? 2 ,由 ? 2

x1x2 ? y2 y2 ? 0 (3)OA⊥OB(O为原点)可转化为 ,再结合根与系数的关系等代

数方法简化运算过程,这在解决垂直关系问题中是常见的.

举一反三

3. 已知圆O的方程是 x 2 ? y 2=9,求过点A(1,2)所作的圆的弦的中点P的轨 迹. 解析 设过A的弦长为MN, M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ?. ≧M、N皆在圆 x ? y
2 2
2 2 ? ? x1 ? y1 ? 9 =9上,? ? 2 2 ? ? x2 ? y2 ? 9

两式相减,得 ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0

? x1 ? x2 ? ? 1 2 ? y1 ? y2 ? ? 0 . 当 x1 ? x2 时, x ?x
1 2

y ?y



x1 ? x2 ? x ? ? ? 2 设P(x,y),则 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2

又M、N、P、A四点共线,即 所以①式可化为 2 x ?

y?2 ?2y ? 0 , x ?1

y1 ? y2 y ? 2 (x≠1), ? x1 ? x2 x ? 1

2 2 整理,得 x ? y -x-2y=0.

当 x1 ? x2,即x=1时,中点P(1,0)也适合此方程.
1 5 故点P的轨迹是以( ,1)为圆心,以 为半径的圆. 2 2

题型四 简单的“圆系方程”的应用
2 2 【例4】(12分)求过直线2x+y+4=0和圆 x ? y +2x-4y+1=0的交点,且过 原点的圆的方程.

分析 可用待定系数法,由两交点坐标和过原点的条件,求出待定系 数,也可用圆系方程求经过两圆交点的圆的方程.
解 方法一:由

?

x 2 ? y 2 +2x-4y+1=0,

2x+y+4=0,………………………………..2′
? 11 2 ? , ? …………………….4′ ? 5 5?

解得交点坐标分别为A(-3,2),B ? ?

设所求圆的方程为 x 2 ? y 2+Dx+Ey+F=0,…………………………..5′

? ? ? F ? 0, ? 则 ?9 ? 4 ? 3D ? 2 E ? F ? 0, ? 2 2 11 2 11 2 ? ? ? ? ? ? ? ? D ? E?F ?0 ? ? ? ? ? 5 5 5 5 ? ? ? ??

……………………………………………….8′ 解得 D ? , E ? ?
3 2 17 , F ? 0 ……………………..11′ 4

故所求圆的方程为 x 2 ? y 2 ? x ? 方法二:设所求圆的方程为

3 2

17 y ? 0 …………………….12′ 4

x 2 ? y 2 +2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0,…………………………3′
即 x 2 ? y 2 +2(1+λ)x+(λ-4)y+(1+4λ)=0,………………6′
1 ≧此圆过原点,?1+4λ=0,λ=- 4 ………………………….9′

故所求圆的方程为 x 2 ? y 2 ? x ?

3 2

17 y ? 0……………………….12′ 4

学后反思 此类问题利用方法一计算量较大,而利用圆系方程,则因为避 免了解方程组而相对简单,但在化简一般形式时一定要细心.

举一反三
2 2 4. 求过直线2x+y+4=0和圆 x ? y +2x-4y+1=0的交点且面积最小的圆的方 程.

解析 设所求圆的方程为

x 2 ? y 2 +2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0,
2 2 即 x ? y +2(1+λ)x+(λ-4)y+(1+4λ)=0.



方法一:当半径最小时,圆面积也最小,对①左边配方,得
? ?4? 5? 8? 4 4 ? x ? 1 ? ? ? y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 4 5 ? ? ? ? 5 5
2 2 2

.

所以当λ=

8 时,此圆面积最小,故满足条件的圆的方程为 5 2 2 6? 4 ? 13 ? ? ?x? ? ?? y ? ? ? 5? ? 5? 5 ?

方法二:当圆心在直线2x+y+4=0上时,圆面积最小,易求得圆心坐标
? ?4? ? ? 1 ? ? , ? ? 为? 2 ? ,代入直线方程,得 ?

? ?4 8 -2(1+λ)+4=0,解得λ= , 2 5
x2 ? y 2 ? 26 12 37 x? y? ?0 5 5 5

所以当λ=85时,此圆面积最小.故满足条件圆的方程为

易错警示
【例】求过A(3,5)且与圆C: x 2 ? y 2 -4x-4y+7=0相切的直线方程. 错解 设所求直线 l 的斜率为k,方程为y-5=k(x-3), 即kx-y+5-3k=0,已知圆C的圆心(2,2),r=1. 则圆心到 l的距离为
2k ? 2 ? 5 ? 3k 1? k 2 ? 1 ,即|k-3|=

1? k 2 ,

4 ?k -6k+9= k +1,解得k= . 3 4 故所求直线方程为y-5= (x-3), 3
2
2

即4x-3y+3=0. 错解分析 过圆外一点的圆的切线有两条,若求出k值唯一,则应补上 与x轴垂直的那一条,错解中漏掉了斜率不存在的情况.

正解 即

4 (1)若所求直线斜率存在,设其为k,方法同“错解”,得k= , 3

方程为4x-3y+3=0.

l
(2)若所求直线斜率不存在,则 的方程为x=3,经验证与圆C相切. 综上,所求切线方程为x=3或4x-3y+3=0.

考点演练

2 2 10. 已知两圆 x ? y =10和 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 20 相交于A,B两点,则直线AB 的方程是——.
2 2

解析 由已知得

?

x 2 ? y 2=10,


2

? x ? 1?

2

? ? y ? 3? ? 20 ,



①-②得x+3y=0,即直线AB的方程为x+3y=0.

答案 x+3y=0

11. 光线 l过点P(1,-1),经y轴反射后与圆C:? x ? 4 ? 求光线 l 所在的直线方程.

2

? ? y ? 4 ? ? 1 相切,
2

解析 设 l与y轴的交点(即反射点)为Q,点P关于y轴的对称点为 P′(-1,-1).由光学知识可知直线P′Q为反射光线所在的直线,且为圆C的 切线.

设P′Q的方程为y+1=k(x+1),即kx-y+k-1=0.
≧圆心C(4,4)到P′Q的距离等于半径, ?
4k ? 4 ? k ? 1 k 2 ?1

3 4 ? 1 ,解得k= 或k= . 4 3

4 3 由l 与P′Q关于y轴对称,可得l 的斜率为- 或- , 3 4 3 4 ?光线 l 所在的直线方程为y+1=- (x-1)或y+1=- (x-1),即4x+3y-1=0或 3 4

3x+4y+1=0. 12. 求过点P(4,-1)且与圆C: x 2 ? y 2+2x-6y+5=0切于点M(1,2)的圆的 方程.

解析 方法一:设所求圆的圆心为A(m,n),半径为r,则A,M,C三点共线, 且有|MA|=|AP|=r.
因为圆C:x 2 ? y 2 +2x-6y+5=0的圆心为C(-1,3),则
?n ? 2 2 ?3 ? m ?1 ? 1 ?1 ? ? ? m ? 1?2 ? ? n ? 2 ?2 ? ?

? m ? 4 ? ? ? n ? 1?
2

2

?r

解得m=3,n=1,r= 5,
2 2 所以所求圆的方程为? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 5 .

方法二:因为圆C: x 2 ? y 2+2x-6y+5=0过点M(1,2)的切线方程为2x-y=0,
所以设所求圆A的方程为 x 2 ? y 2 +2x-6y+5+λ(2x-y)=0, 因为点P(4,-1)在圆上,代入圆A的方程,解得λ=-4, 所以所求圆的方程为 x 2 ? y 2 -6x-2y+5=0.

第五节
基础梳理
1. 椭圆的定义

椭圆

(1)平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件:
①到两个定点 F1、F2 的距离的和等于常数2a; ②2a> F1F2 . (2)上述椭圆的焦点是 F1、F2 ,椭圆的焦距是 F1F2 2. 椭圆的标准方程和几何性质

标准方程 图形

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

范围
对称性 顶点 轴 性 焦距 质 离心率 a,b,c的 关系

?a ? x ? a ?b ? y ? b 对称轴:坐标轴
A1 ? ?a, 0 ? , A2 ? a, 0 ? B1 ? 0, ?b ? , B2 ? 0, b ?

?b ? x ? b ?a ? y ? a

对称中心:原点
A1 ? 0, ? a, ? , A2 ? 0, a ? B1 ? ?b, 0 ? , B2 ? b, 0 ?

长轴 A1 A2 的长为2a 短轴 B1B2 的长为2b

F1F2 ? 2c
e? c ? ? 0,1? a

c 2 ? a 2 ? b2

典例分析
题型一 椭圆的定义及其标准方程 【例1】已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别
4 2 5 为 和 5 ,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求此椭圆的方 3 3

程.

分析 方法一:用待定系数法,设出椭圆方程的两种形式后,代入求解. 方法二:先由椭圆定义,确定半长轴a的大小,再在直角三角形中,利用 勾股定理求c,然后求b.
x2 y 2 解 方法一:设椭圆的标准方程是 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)或 a b 2 2 y x ? ? 1 (a>b>0),两个焦点分别为 F1、F2 ,则由题意知 2 2 a b

2a= PF1 ? PF2 ? 2 5 ,?a= 5 .

x2 y 2 在方程 2 ? 2 ? 1 中,令x=〒c,得|y|= a b 2 y x2 在方程 2 ? 2 ? 1 中,令y=〒c,得|x|= a b b2 2 10 2 ? 5, ? b ? 依题意知 . a 3 3

b2 a . b2 . a

3x 2 y 2 x2 3 y 2 即椭圆的方程为 ? ? ?1 . ?1 或 10 5 5 10 4 2 方法二:设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2 ,则 PF1 ? 5, PF2 ? 5.
3 3

由椭圆的定义,知2a= PF1 ? PF2 ? 2 5 ,即a= 5 .
由 PF1 ? PF2 知, PF2 垂直于长轴. 故在Rt△PF2 F1中,4c 2 ? PF1 2 ? PF2 2 ? 60 ? 20 ,
9 3

? c2 ?

10 5 ,于是 b 2 ? a 2 ? c 2 ? . 3 3

又所求的椭圆的焦点可以在x轴上,也可以在y轴上,故所求的椭圆方程
x2 3 y 2 3x 2 y 2 ?1 或 ? ?1 为 ? 5 10 10 5

.

学后反思 (1)用待定系数法求椭圆方程时,当题目的条件不能确定椭圆 的焦点位臵时,应注意分两种情况来设方程,分别计算;有时也可以直接
x2 y 2 设成 ? ? 1(m>0,n>0). m n

(2)过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦通常叫做通径,其长度为 2b 2 a

举一反三
F2(4,0),椭圆的弦AB过 F1,△ ABF2 1. 若椭圆的两个焦点为 F1(-4,0)、
的周长为20,则该椭圆的方程为——. 解析 △ ABF2 的周长为 AF2 ? AF1 ? BF2 ? BF1 =2a+2a=4a=20, ?a=5,又c=4,?b=3.
x2 y 2 ?椭圆的方程为 ? ? 1 25 9

答案

x2 y 2 ? ?1 25 9

题型二 椭圆的几何性质
x2 y 2 【例2】P为椭圆 ? ? 1上任一点, F1、F2为左、右焦点,如图所示. 25 16

(1)若PF1 的中点为M,求证:|MO|=5(2)若∠ F1PF2 =60°,求 PF1 ? PF2

1 PF1 2

的值.

分析 第(1)问中,由OM为△ PF1F2的中位线,再结合椭

圆几何性质即可得证;第(2)问中,已知
∠F1PF2=60°,则可在△ PF1F2 中利用余弦定理求解.



x2 y 2 (1)证明:由椭圆方程 ? ? 1 知a=5,b=4,则c=3, 25 16

? PF1 ? PF2 ? 2a ? 10,? PF2 ? 10 ? PF1
1 又M、O为PF1、F1F2 的中点, ? MO / / PF2 2

? MO ?

1 1 PF2 ? 5 ? PF1 2 2

(2) PF1 ? PF2 ? 10 ,两边平方得
PF1 ? 2 PF1 PF2 ? PF2 ? 100
2 2



由余弦定理知
PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos ?F1 PF2 ? F1 F2 ,
2 2 2

即 PF1 ? PF2 ? PF1 PF2 ? 36 ①-②得 3 PF1 PF2 ? 64,? PF1 PF2 ?
64 . . 3

2

2



学后反思 椭圆的几何性质是解决椭圆问题的基础,必须牢记,并体会由 方程如何推得相关性质,体会解析几何的思想.
第(1)小题即:以PF1 为直径的圆与以长轴为直径的圆始终内切. 第(2)小题:令∠F1PF2 =θ,
2b2 则可推出 PF1 ? PF2 ? , 1 ? cos ? 1 S ? PF1 PF2 ? sin ? 进而推出 ?F1PF2 2 b 2 sin ? ? ? ? b 2 tan 1 ? cos ? 2

举一反三
2. 已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠ F1PF2 =60°.

求椭圆离心率的取值范围.

x2 y 2 解析 设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 (a>b>0),| PF1|=m,|PF| =n. 2 a b
在△ PF1F2中,由余弦定理可知, 4c2 ? m2 ? n2 ? 2mn cos 600 2 ? m ? n ? 2a,? m2 ? n2 ? ? m ? n ? ? 2mn ? 4a 2 ? 2mn,
? 4c 2 ? 4a 2 ? 3mn.
m?n? 2 又 mn ? ? ? ? ? a (当且仅当m=n时取等号), ? 2 ? 1 c2 1 2 2 2 ?4a ? 4c ? 3a ,? 2 ? , 即e≥ , 2 a 4 1 ?e的取值范围是[ ,1). 2
2

题型三 直线与椭圆的位臵关系 【例3】(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点 到焦点距离的最大值为3,最小值为1. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左、右顶点), 且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线 l过定点,并求出该定点的 坐标.

分析 (1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.(2)直线方程与椭圆方程联立后 得到交点A、B的坐标关系,再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点可得 到两直线垂直,从而求得交点A、B的坐标关系,联立后可求k、m的关系.


x2 y 2 (1)根据题意设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1 (a>b>0), a b

由已知得a+c=3,a-c=1,………………………………………….1′ ?a=2,c=1,? b2 ? a 2 ? c2 =3.
x2 y 2 ?椭圆的标准方程为 ? ? 1 ………………………………….3′ 4 3

(2)设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , y=kx+m, 联立 x 2 y 2

?

4

?

3

?1

得? 3 ? 4k 2 ? x 2 ? 8mkx ? 4 ? m 2 ? 3? ? 0 ,……………………………5′ 则由题意,得

? ? 64m 2 k 2 ? 16 ? 3 ? 4k 2 ?? m 2 ? 3? ? 0 ,即 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 ,

4 ? m 2 ? 3? 8 mk ? x1 ? x2 ? ? , , x1 x2 ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 2 3 m ? 4 k ? ? ………7′ 即 y1 y2 ? ? kx1 ? m ?? kx2 ? m ? ? k 2 x1x2 ? mk ? x1 ? x2 ? ? m2 ? 2
3 ? 4k

≧以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0), ? k AD ? kBD ? ?1 ,即
3 ? m 2 ? 4k 2 ?
y1 y ? 2 ? ?1, x1 ? 2 x2 ? 2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 ? 0,

?

3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? 7 m 2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,解得m=-2k或m=- 2 k ,
7

?

4 ? m 2 ? 3?

?

16mk ? 4 ? 0, 2 3 ? 4k

且均满足 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 ………………………………………10′

当m=-2k时, l 的方程为y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾;

2k 2 2 时, l的方程为y=k(x- ),直线过定点( ,0). 7 7 7 2 所以直线 l过定点,定点坐标为( ,0)……………………..12′ 7

当m=-

学后反思 (1)直线方程与椭圆方程联立,消元后得到一元二次方程, 然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、相切或相离的情况. (2)消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵 坐标,通常写成两根之和与两根之积的形式,这是进一步解题的基础.

举一反三
2 2 x y 3. 若直线 l 过圆 x ? y +4x-2y=0的圆心M,交椭圆C: ? ? 1 于A,B两 9 4

2

2

点,且A,B关于点M对称,求直线 l 的方程.
解析 设A,B的坐标分别为? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ?

已知圆的方程为 ? x ? 2 ?2 ? ? y ? 1?2 ? 5 ,所以圆心M的坐标为(-2,1),从

而可设直线 l 的方程为y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程,得

? 4 ? 9k ? x ? ? 36k
2 2

2

? 18k ? x ? 36k 2 ? 36k ? 27 ? 0 .

因为A,B关于点M对称,
8 x1 ? x2 18k 2 ? 9k 所以 , ?? ? ?2 ,解得k= 9 2 4 ? 9k 2 8 所以直线 l的方程为y= (x+2)+1,即8x-9y+25=0(经检验,所求直线方 9

程符合题意).

题型四 椭圆的实际应用

【例4】如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2r,短半轴长为r,计 划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的 端点在椭圆上,记CD=2x,梯形面积为S.求面积S以x为自变量的函数式, 并写出其定义域.

分析 建立坐标系后写出椭圆方程,求出y 与x的关系式,从而求出S与x的函数式.
解 依题意,以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如图),则半椭

x2 y 2 圆方程为 2 ? 2 ? 1 (y≥0), r 4r

解得 y ? 2 r 2 ? x 2(0<x<r).
S? 1 ? 2 x ? 2r ? ? 2 r 2 ? x 2 2

? 2 ? x ? r ? ? r 2 ? x2

其定义域为{x|0<x<r}.

学后反思 解答实际应用题可分四个步骤: (1)阅读理解材料:读懂材料中量与量的关系,模型是什么(是方程还 是不等式等); (2)建立变量关系:利用量与量的已知关系列出相应的关系式(建模); (3)讨论变量性质:利用代数知识对所建立的变量关系式化简、推导, 并讨论变量具有的性质(单调性、最大值或最小值等); (4)作出问题结论:最后的结论不可少,注意实际问题中变量的含义.

举一反三
4. 已知某荒漠上有两个定点A、B,它们相距2 km,现准备在荒漠上围 垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划, 围墙总长为8 km.问:农艺园的最大面积能达到多少?

解析 设平行四边形的另两个顶点为C、D,由围墙总长为8 km,得|CA|

+|CB|=4>|AB|=2.由椭圆的定义知,点C的轨迹是以A、B为焦点,长
轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆.以AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y x2 y 2 ? ? 1(y≠0),易知点D也 轴,建立直角坐标系,则点C的轨迹方程为 4 3 在此椭圆上,要使? ACBD面积最大,则C、D为此椭圆短轴的两端点,此 时,面积 S ? 2 3(km2 )

易错警示
x2 y2 1 ? ? 1 的离心率e= ,则k的值为——. 【例】若椭圆 2 k ?8 9

错解 由已知 a =k+8, b2 =9,又e=
2

2

c 1 ? , a 2

c 2 a 2 ? b2 k ? 1 1 ? ? ,解得k=4. ?e ? 2 ? a a2 k ?8 4

错解分析 忽视了椭圆的焦点位臵不确定,焦点也有可能在y轴上的情 况.
a 2 =k+8, b2 =9, 正解 (1)若焦点在x轴上,即k+8>9时,

c 2 a 2 ? b2 k ? 1 1 e ? 2 ? ? ? ,解得k=4. 2 a a k ?8 4
2
2 (2)若焦点在y轴上,即0<k+8<9时,a =9, b2 =k+8,

c 2 a 2 ? b2 k ? 1 1 ,解得k=- 5 . e ? 2 ? ? ? 4 2 a a 9 4 5 综上,k=4或k=- .
2

4

考点演练
x2 10. 经过椭圆 ? y 2 ? 1的一个焦点作倾斜角为45°的直线 l,交椭圆于 2 uuu r uuu r

A、B两点,设O为坐标原点,则 OA ? OB 等于——.

解析

x2 设直线 l 经过椭圆 ? y 2 ? 1的右焦点(1,0), 2

则直线 l 的方程为y=x-1,由

?

y=x-1,

得3 x -4x=0,
4

2

x2 ? y2 ? 1 , 2
4 1

? ? 解得x=0或x= ,?A(0,-1), B ? , ? 3 ? 3 3? 1 uuu r uuu r ? 4 1? ? OA ? OB =(0,-1)· ? , ? =-3 . ? 3 3?

答案

1 3

11. (2009· 广东改编)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离
心率为 ,两个焦点分别为 F1 和 F2 ,椭圆G上一点到 F1 和 F2的距离之和
2 2 为12.圆 Ck : x ? y ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 (k∈R)的圆心为点Ak (1)求椭圆G的方程; (2)求△ Ak F1F2 的面积.

3 2

x2 y 2 解析 (1)依题意可设椭圆G的方程为 2 ? 2 ? 1(a>b>0), a b
半焦距为c.
c 3 3 3 ? ? c ? a . ≧椭圆G的离心率为 ,? a 2 2 2

? ≧椭圆G上一点到 F1 和 F2的距离之和为12,?2a=12? a=6.
2 2 x y ?c ? 3 3, b ? a 2 ? c 2 ? 3 ,即椭圆G的方程为 ? ? 1 36 9

(2)圆Ck 的方程可化为 ? x ? k ?2 ? ? y ? 2 ?2 ? 25 ? k 2 , 所以圆 Ck的圆心坐标为 Ak(-k,2),半径为 25 ? k 2 .

在△Ak F1F2 中,底边 F1F2 的长| F1F2 |=2c=6 3, F1F2 边上的高为2,故
△ Ak F1F2 的面积 S ? ? 6 3 ? 2 ? 6 3
1 2

2 2 2 12. (2009· 山东枣庄)设直线l :y=k(x+1)与椭圆x ? 3 y ? a (a>0)相交于 A、B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点.
2 3 k (1)证明: a ? 1 ? 3k 2 2

uuu r uur (2)若 AC=2CB ,求△OAB的面积取得最大值时椭圆的方程.
解析 (1)证明:依题意,直线 l显然不平行于坐标轴,故
1 y=k(x+1)可化为x= y-1. k 1 将x= y-1代入x2 ? 3 y 2 ? a2 ,消去x,得 k
? 1 ? 2 2 2 ? 3 y ? y ? 1 ? a ? 0. ? 2 ? k ?k ?



由直线 l 与椭圆相交于两个不同的点,得
? 2? ? 1 ? Δ= ? ? ? ? 4 ? 2 ? 3 ? ?1 ? a2 ? ? 0 , ? k? ?k ?
2 3 k 化简整理得 a 2 ? . 1 ? 3k 2
2

( *)

(2)设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 由题意知C(-1,0).由①得
y1 ? y2 ? 2k . 1 ? 3k 2



??? ? ??? ? uuu r uur 因为 AC ? ? ?1 ? x1 , ? y1 ? , CB ? ? x2 ? 1, y2 ? , 由 AC=2CB ,得

y1 ? ?2 y2 .
由②、③联立,解得 y2 ?



?2 k . ④ 1 ? 3k 2 3k 3k 1 3 3 S ? OC ? y ? y ? y = ? ? 则△OAB的面积 1 2 2 2 2 1+3k 2 2 3 k 2

3 上式取等号的条件是3 k =1,即k=〒 . 3 3 3 当k= 时,由④解得 y2 ? ? 3 3 3 3 当k=- 时,由④解得y2 ? 3 3
2

3 3 3 , y2 ? ? 及k=- , y2 ? 3 分别代入①, 3 3 3 3 3 均可解出a 2=5.经验证, a 2 =5,k=〒 满足(*)式. 3

将k=

2 2 所以,△OAB的面积取得最大值时椭圆的方程是x ? 3 y ? 5

第六节
基础梳理

双曲线

1. 双曲线的定义 (1)平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件: ①到两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数2a; ②2a小于 FF 1 2 (2)上述双曲线的焦点是F1、F2 ,焦距是 FF 1 2 .
2. 双曲线的标准方程和几何性质 标准 方程
x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

图形

范围
对称性 顶点 渐近线 离心率

x ? a或x ? ?a, y ? R

x ? R, y ? ?a或y ? a

对称轴:坐标轴 对称中心:原点
A1 ? ?a,0? , A2 ? a,0?

对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点坐标
A1 ? 0, ?a ? , A2 ? 0, a ?

顶点坐标

性 质

b y?? x a

y??

a x b

e?

c 2 2 , e ? ?1, ? ? 其中 c ? a ? b a

实虚轴

线段 A1 A2 叫做双曲线的实轴,它的长| A1 A2|=2a; 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长| B1B2|=2b;a叫做 双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长

a、b、c 的关系

c2 ? a2 ? b2 ? c ? a ? 0, c ? b ? 0?

3. 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其标准方程为
(λ≠0),离心率e= 2 ,渐近线方程为y=〒x.

x2 ? y 2 ? ?

典例分析
题型一 双曲线的定义及标准方程
2 【例1】已知动圆M与圆C1 : ? x ? 4 ? ? y 2 ? 2 外切,与圆C2 : ? x ? 4 ? ? y ? 2 内

2

2

切,求动圆圆心M的轨迹方程. 分析 设动圆M的半径为r,则 MC1 ? r ? r1, MC2 ? r ? r2,则
MC1 ? MC2 ? r1 ? r2 =定值,故可用双曲线定义求解轨迹方程.



如图,设动圆M的半径为r,

则由已知得 MC1 ? r ? 2 ,MC2 ? r ? 2 ? MC1 ? MC2 ? 2 2 . 又 C1(-4,0), C2 (4,0), ? C1C2 ? 8,? 2 2 ? C1C2 . 根据双曲线定义知,点M的轨迹是以 C1(-4,0), C2(4,0)为焦点的双曲线的右 支. ≧a= 2 ,c=4,? b2 ? c2 ? a2 ? 14 , ?点M的轨迹方程是
x2 y 2 ? ?1 x ? 2 2 14

?

?

学后反思 (1)求动点的轨迹方程时,应尽量地利用几何条件探求轨迹 的曲线类型,再用定义法或者参数法来求轨迹方程. (2)在运用双曲线定义时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”, 弄清所求轨迹是整条双曲线,还是双曲线的一支,若是一支,是哪一支.

举一反三
1. 如图,已知圆A的方程为? x ? 3?2 ? y 2 ? 4 ,定点C(3,0),求过定点C且和圆A 外切的动圆的圆心P的轨迹方程. 解析 依题意得|PA|-|PC|=2.又|PA|>|PC|,且|AC|=6 >2.由双曲线的定义,知点P的轨迹是以A,C为焦点的双 y2 2 ? 1(x≥1). 曲线的右支,故点P的轨迹方程为 x ? 8 题型二 双曲线的几何性质 【例2】已知双曲线的方程是 16x2 ? 9 y2 ? 114 . (1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程; (2)设F1 和 F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且
PF1 ? PF2 ? 32,求∠ F1PF2 的大小.

分析 将双曲线方程先化为标准方程,求出a、b、c,则(1)题即可解决; (2)题可利用双曲线定义及三角形余弦定理求解. 解
x2 y 2 (1)由 16x ? 9 y ? 114,得 ? ? 1 , 9 16
2 2

?a=3,b=4,c=5,焦点坐标 F1 (-5,0), F2 (5,0),
离心率e= ,渐近线方程为y=〒 x.
5 3
4 3

(2) PF1 ? PF2 ? 6,
cos ?F1 PF2 ? PF1 ? PF2 ? F1 F2 2 PF1 PF2
2 2 2

? PF ?
?

1

? PF2

?

2

? 2 PF1 PF2 ? F1 F2

2

2 PF1 PF2

36 ? 64 ? 100 ?0 64 ??F1 PF2 ? 900.

学后反思 (1)双曲线问题与椭圆问题类似,因而研究方法也有许多 相似之处,如利用“定义”、“方程观点”、“直接法和待定系数法求 曲线方程”、“数形结合”等. (2)双曲线的几何性质同样要与椭圆进行类比和区分,除常见性质外, 也要注意以下结论:
x2 y 2 b2 ①过双曲线 2 ? 2 ? 1的焦点F作垂直于实轴的弦PQ,|PQ|=2· ,这 a b a

样的弦称为双曲线的通径.可证:在双曲线的焦点弦中,若弦的两端在
2 2 b 双曲线同一支上,以通径的长 为最短;若弦的两端在两支上,以实 a

轴的长2a为最短.

②双曲线上任一点P,焦点为 F1 , F2 ,若∠F1PF2 =θ,则 2b2 b2 sin ? F1P ? F2 P ? , S?F PF ? 1 ? cos ? 1 ? cos ?
1 2

举一反三

x2 y 2 2. 设双曲线 2 ? 2 ? 1 (0<a<b)的半焦距为c,直线 l 过(a,0),(0,b)两 a b

点,且原点到直线 l的距离为 3 c,求双曲线的离心率.
4

解析 由l 过两点(a,0)、(0,b),得 l的方程为bx+ay-ab=0.

由原点到l 的距离为

3 c,得 4

ab a 2 ? b2

?

3 c . 4

将 b ? c2 ? a2 代入,平方后整理,得
? a2 ? a2 16 ? 2 ? ? 16 ? 2 ? 3 ? 0 c ?c ?
3 1 a2 令 2 =x,则16 x 2-16x+3=0,解得x= 或x= . 4 4 c c 1 2 3 由e= ,得e= ,故e= 或e=2. a x 3
c a 2 ? b2 b2 ≧0<a<b,?e ? ? ? 1? 2 ? 2 a a a 2 3 ?应舍去e= ,故所求离心率e=2. 3
2

,

题型三 直线与双曲线
2 2 x ? y 【例3】已知双曲线 =4,直线 l :y=k(x-1).试讨论实数k的取值范围,

使得直线 l与双曲线有两个公共点;直线 l与双曲线有且只有一个公共点;

直线 l 与双曲线没有公共点.

2 2 由 x ? y =4和y=k(x-1),消去y,得

?1 ? k ? x
2

2

? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 .

( *)

(1)当1- k 2 =0,即k=〒1时,直线 l 与双曲线的渐近线平行,方程可化为 2x=5,此时方程(*)只有一个实数解,即直线与双曲线相交,且只有一 个公共点.如图,交点在双曲线右支上.

? ? ? 2k 2 ? ? 4 ?1 ? k 2 ?? ?k 2 ? 4 ? ? 4 ? 4 ? 3k 2 ? (2)当1- k 2 ≠0,即k≠〒1时,
2

? 4 ? 3k 2 ? 0 ? ①当 ?1 ? k 2 ? 0 ? ?

即?

2 3 2 3 且k≠〒1时, ?k? 3 3

方程(*)有两个不同的实数解,即直线与双曲线有两个公共点.
2 ? ? 4 ? 3k ? 0 2 3 ②当 ? ,即k=〒 时, 2 1 ? k ? 0 3 ? ?

方程(*)有两个相同的实数解,即直线与双曲线相切.
? 4 ? 3k 2 ? 0 ? ③当 ? 2 ? ?1 ? k ? 0

即 k< -

2 3 3

或 k>

2 3 时, 3

方程(*)无实数解,即直线与双曲线没有公共点.
2 3 2 3 <k< ,且k≠〒1时,直线 l 与双曲线有两个公共点; 3 3 2 3 当k=〒1或k=〒 时,直线 l与双曲线有且只有一个公共点; 3 2 3 2 3 当 k< - 或 k> 时,直线 l与双曲线没有公共点. 3 3

综上所述,当-

学后反思 讨论直线与双曲线有一个公共点的情况时,只讨论 2 1- k ≠0, 是不够的,还应讨论二次项系数等于0的情况,此时解得的斜率k Δ=0 恰好等于双曲线渐近线的斜率,这样的直线l与双曲线相交,但交点只有 一个.所以,直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充 分条件,而对于椭圆是充要条件,注意二者的区别. 此外,以上是以代数方法研究直线与双曲线的位臵关系,也可画图直观 观察,对平面内任一点A,过A的动直线l与双曲线的位臵关系:过点A作 渐近线的平行线 l1、l2 ,作双曲线的切线 l3、l(有时一条,有时没有), 4 几条线把平面分成若干对顶区域,在每一个区域内直线与双曲线的位臵 关系确定.

?

举一反三
3. 直线 l :y=ax+1与曲线 3x2 ? y 2 ? 1有两个不同的交点,求a的取值范围.

解析 联立方程组

y=ax+1 可得 ? 3 ? a 2 ? x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 .

?

3x 2 ? y 2 ? 1

依题意方程有两个不同实根,则 2 3- a ≠0, Δ>0,

?

2 ? ?a ? 3 即? 2 2 ? 2 a ? 4 3 ? a ? ? ? ? ? ?2? ? 0 ? ?

解得- 6 <a< 6 且a≠〒 3 . 所以a的取值范围是(- 6 ,- 3 )∪(- 3 , 3 )∪( 3, 6 ). 题型四 双曲线的实际应用

【例4】(12分)某接报中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报 告:正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响,正东观测点听到该巨 响的时间比其他两观测点晚4 s.已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m,试确定该巨响发生的位臵(假定声音传播的速度为340 m/s,且各观测 点均在同一平面内).
分析 由条件可知,巨响发生点到正西观测点的距离比到正东观测点的 距离小340〓4 m,故巨响发生点应在以正西观测点和正东观测点为焦点 的双曲线上,并且在靠近正西观测点的那一支上;同时,还在由正西观 测点和正北观测点所成线段的中垂线上. 解 如图,以接报中心为原点,

正东、正北方向分别为x、y轴的 正方向建立直角坐标系,设A、B、 C分别为西、东、北观测点,则

A(-1 020,0),B(1 020,0),C(0,1 020).设P(x,y)为巨响发生点,则 |PB|-|PA|=340〓4,所以点P在某双曲线的左支上,由双曲线的定义知 a=680,c=1 020, 得 b2 ? 5 ? 3402,
x2 y2 ? ? 1(x<0)…………………………….6′ ?双曲线方程为 2 2 680 5 ? 340

由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,因此P在直线y=-x上,……..8′ y=-x, 由 x2 y2 ? ? 1,解得x=〒680 5(舍去680 5 ). 2 2 680 5 ? 340

?

?P(-680 5,680 5),因此|OP|=680 10 …………………………..10′ 故巨响发生在接报中心的西偏北45°方向,距中心680 10 m处………12′ 学后反思 面对实际应用题,首先要构建数学模型,将实际问题转化为数 学问题.本题的关键是挖掘题中隐含的条件,找到巨响发生的位臵到观测 点A、B的距离之差为常数,从而转化为双曲线的问题;再就是实际问题一 定要考虑实际意义,应注意所求的仅是双曲线的左支.

举一反三
4. 某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分,绕其中轴(即双 曲线虚轴)旋转所成的曲面,其中A,A′是双曲线的顶点,C,C′是冷却 塔上口直径的两个端点,B,B′是下底直径的两个端点,已知AA′=14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.建立坐标系并写出该双曲线方程. 解析 如图所示建立直角坐标系xOy,A′A在x 轴上,A′A中点为坐标原点,C′C与B′B平行 于x轴,设双曲线方程为
x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0), 2 a b

则a= 〓|AA′|=7.

1 2

又设B(11, y1 ),C(9, y2 ),
112 y12 因为点B、C在双曲线上,所以有 2 ? 2 ? 1 , 7 b
9 2 y2 2 ? ?1 . 72 b2

① ② ③

由题意知 y2 ? y1 ? 20 , 由①、②、③得 y1 =-12, y2 =8,b=7 2.
x2 y 2 故双曲线方程为 ? ? 1 49 98

易错警示
2 2 【例1】双曲线 2 x ? y ? k 的焦距为6,求k的值.

x2 y2 ? ? 1, 错解 方程可化为 k k 2
?c 2 ? ? k ? k ,? 2 ?
k 2 3 2 6k ? 6 ,即k=6. 2

错解分析 误认为k>0,忘记讨论k的符号.

x2 y2 ? 1, 正解 当k>0时,方程化为 k ? k 2
?c 2 ? ? k ? k ,? 2 ?
k 2 3 2 6k ? 6 ,得k=6. 2

y2 x2 3 2 ? ? 1, c ? ? k, 当k<0时,方程化为 ? k k 2 ? 2

? 2 ? 6 ? ?k ? 6 ,解得k=-6.
2

综上,k=-6或6.

x2 y 2 ? ? 1 上的点P到点(5,0)的距离为8.5,则点P到 【例2】双曲线 16 9

点(-5,0)距离为——. 错解 易求双曲线两个焦点为 F (-5,0),F2 (5,0). 1 由双曲线的定义知 PF1 ? PF2 ? 8 , 解得 PF1 =16.5或 PF1 =0.5. 错解分析 由双曲线性质知,双曲线左支上的点到焦点 F ( -5,0)的 1 距离最小值为c-a=1,所以若 PF1 =0.5,这样的点P是不存在的,这是 极易出错的地方.因此在求解此类题目时应灵活运用双曲线定义,分 析出点P的存在情况,然后求解.事实上,若 PF1 =16.5,由于左顶点 到右焦点距离为9>8.5,故点P只能在右支上.只有 PF1 =16.5能满足 题意. 正解 16.5

考点演练
x2 y 2 10. (2009· 湖南)过双曲线C: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的一个焦点作圆 a b x2 ? y 2 ? a2的两条切线,切点分别为A,B.若∠AOB=120°(O为坐标原点),

则双曲线C的离心率为——. 解析 设双曲线的这个焦点为F1 ,

≧∠AOB=120°,?∠AOF1=60°,在Rt△OAF1 中,
|OA|=a,|OF1|=c,? e ? ?
c a OF1 OA ? 1 ?2 . cos 600

答案 2
x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点P在双曲线上且满足 11.设F1 和 F2 为双曲线 4 ∠F1PF2 =60°,求△ F1PF2 的面积.

解析 在△ F1PF2 中,由余弦定理得
F1 F2 ? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 ? cos 600 , ? F1 F2 ? ? PF1 ? PF2
2 2 2 2 2

?

2

? PF1 PF2 .

又 F1 F2 ? 20, PF1 ? PF2 ? 4,? PF1 PF2 ? 4, ? S?F1PF2 ? 1 PF1 PF2 sin 600 ? 3. 2

2 2 4 12. 已知双曲线的渐近线方程为y=〒 x,并且焦点都在圆 x ? y ? 100 上, 3 求双曲线方程.

解析

x2 y 2 方法一:当焦点在x轴上时,设双曲线的方程为 2 ? 2 ? ( 1 a>0,b>0), a b
4

2 2 因渐近线的方程为y=〒 x,并且焦点都在圆 x ? y ? 100 上, 3 ?b 4 a=6, ? ? ?? a 3 ,解得 2 2 ?a ? b ? 100 b=8, ?

?

y 2 x2 ?双曲线的方程为 ? ? 1 . 64 36

y 2 x2 当焦点在y轴上时,设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0), a b
2 2 因渐近线的方程为y=〒 x,并且焦点都在圆 x ? y ? 100上, 3 a=8, ?b 3 ? ? ? ?a 4 ,解得 ?a 2 ? b 2 ? 100 b=6, ?

4

?

y 2 x2 ?双曲线的方程为 ? ? 1 64 36 y x x2 y 2 ? ?1 . ? ?1 和 综上,双曲线的方程为 64 36 36 64
2 2

方法二:设双曲线的方程为 42 x2 ? 32 y 2 ? ? (λ≠0),
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 100 ,解得λ=〒576, 从而有? ? 4 ? ? 3 ? ? ? ? ? 2 x y2 y 2 x2 所以双曲线的方程为 36 ? 64 ? 1 和 64 ? 36 ? 1
2 2

第七节
基础梳理

抛物线

1. 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线 l(l 不经过点F)距离相等的点的轨迹 叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,直线 l叫做抛物线的准线. 2. 抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示) 标准方程
y 2 ? 2 px( p ? 0)

y 2 ? ?2 px( p ? 0)

图形

范围 准线方程 焦点 性 质 对称轴

x ? 0, y ? R
x?? p 2

x ? 0, y ? R
x? p 2

?p ? F ? ,0 ? ?2 ?

? p ? F ? ? ,0 ? ? 2 ?

关于x轴对称

顶点
离心率

O(0,0)
e=1

标准方程

x2 ? 2 py ? p ? 0?

x2 ? ?2 py ? p ? 0?

图形

范围 准线方程 性 质 焦点

y ? 0, x ? R

y ? 0, x ? R
y? p 2

p y?? 2
? p? F ? 0, ? ? 2?

p? ? F ? 0, ? ? 2? ?

对称轴
顶点 离心率

关于y轴对称
O(0,0) e=1

典例分析
题型一 抛物线的定义及应用

【例1】已知抛物线 y =2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A
(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时P点的坐标. 分析 抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线 l 的距离d,求 |PA|+|PF|的问题可转化为|PA|+d的问题,运用三点共线可使问题得到 解决. 解 将x=3代入抛物线方程 y =2x,
2

2

得y=〒 6 .≧ 6 >2,?点A在抛物线内部. 1 设抛物线上点P到准线 l :x=- 的距离为d,由定义,知 2

7 |PA|+|PF|=|PA|+d,当PA⊥l 时,|PA|+d最小,最小值为 2 ,即 7 2 |PA|+|PF|的最小值为 ,此时P点纵坐标为2,代入y =2x,得x=2, 2

即点P的坐标为(2,2).

学后反思 灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价 转化,是抛物线定义的重要应用.

举一反三
1. 若例题中点A的坐标变为(2,3),求|PA|+|PF|的最小值. 解析 将x=2代入抛物线方程,得y=〒2, ≧3>2,?点A在抛物线的外部.
3 5, ≧|PA|+|PF|≥|AF|= 2 3 ?A、P、F三点共线时有最小值,最小值为 5 . 2

题型二 抛物线的几何性质和标准方程

【例2】已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上,又知此抛物线上的一 点A(m,-3)到焦点F的距离为5,求m的值,并写出此抛物线的方程. 分析 因点A(m,-3)在直线y=-3上,所以抛物线的开口方向存在向 左、向右、向下三种情况,必须分类讨论. 解 (1)若抛物线开口方向向下,

设抛物线方程为 x 2=-2py(p>0), 这时准线方程为y= , 由抛物线定义知 -(-3)=5,解得p=4, 此时,抛物线方程为x 2 =-8y. 将点A(m,-3)代入方程,得m=〒2 6 .
p 2 p 2

(2)若抛物线开口方向向左或向右,可设抛物线方程为 y =2ax(a≠0),从 a p=|a|知准线方程可统一成x=- 的形式,于是依题设有
?a ? ? m ? 5, ?2 ?2am ? 9 ?
2

2

解此方程组可得四组解

?a1 ? 1 ?a2 ? ?1 ?a3 ? 9 ?a4 ? ?9 ? ? ? ? ? 9 ? 9 ? 1 1 ? m ? , m ? ? , m ? ? m ? , 1 2 4 3 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 2 ?
2 2 ? y ? 2 x, m ? ; y ? ?2 x, m ? ? ;

9 9 2 2 1 1 y 2 ? 18 x, m ? ; y 2 ? ?18 x, m ? ? . 2 2

学后反思 抛物线的标准方程有四种,在求解过程中,首先要根据题目 描述的几何性质判断方程形式,若只能判断对称轴,而不能判断开口方 2 向,需分情况讨论,此时,可设为x 2 =ay(a≠0)或y =ax(a≠0),以减少 讨论次数和运算量,然后利用待定系数法和已知条件求解.

举一反三
2. 求过点(-3,2)的抛物线的标准方程.

解析 当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线方程为

y 2 =-2px(p>0).
由抛物线过(-3,2),知 2 =-2p〓(-3),解得p=
2 所以所求的抛物线方程为 y ? ? x .

2

2 . 3

4 3

当抛物线的焦点在y轴上时,设抛物线方程为 x 2 =2py(p>0). 由抛物线过(-3,2),知 ? ?3 ? =4p,解得p=
2

9 . 4

所以所求的抛物线方程为x 2 = y.

9 2

题型三

直线与抛物线
2

【例3】(12分)已知过抛物线 y =2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ?两点.
1 1 ? x1 x2 为定值;(2)FA FB 为定值. 求证:(1)

分析 要证 x1 x2 为定值,需把直线AB的方程与抛物线方程联立,消去y
1 1 ? 后,用韦达定理求证;要求 FA FB 为定值,则还要结合抛物线的

定义来解决问题.
证明 (1)抛物线 y 2 =2px的焦点为F(
p p ,0),当直线AB的斜率存在 2

时,设直线AB的方程为y=k(x- )(k≠0)…………………………..1′ p 2 y=k(x- ), 2 由 y 2=2px,

?

消去y,整理得

k 2 p2 k x ? p ? k ? 2? x ? ? 0 …………………………….4′ 4 p2 由韦达定理,得 x1 x2 ? (定值)…………………….5′ 4 2 p p 当AB⊥x轴时, 也成立……………………6′ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 2 4
2 2 2

p p , FB ? x2 ? 2 2 ……………………………8’ 1 1 1 1 ? ? ? FA FB x ? p x ? p 1 2 2 2 x1 ? x2 ? p x1 ? x2 ? p ? ? p p2 p p2 ? x1 ? x2 ? ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 2 4 2 2 x1 ? x2 ? p 2 ? ? (定值),………………….11′ p ? x1 ? x2 ? p ? p 2 FA ? x1 ?

(2)由抛物线的定义,知

1 1 ? ? 为定值…………………………………12′ FA FB

学后反思 解决直线与抛物线位臵关系问题时,一般要用到根与系数之 间的关系.

举一反三
9 3. 若抛物线y= x 上存在关于直线 l:y=-kx+ 对称的两个点M、N,求k 2
2

的取值范围. 解析 由题意知k≠0.设 M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ?是抛物线上关于直线对称的两 点, ? x0 , y0 ? 为其中点,则MN的方程可设为y= x+b,
1 2 +4b>0. k 1 1 1 又 x1 ? x2 ? ,所以 x0 ? , y0 ? 2 ? b , k 2k 2k 1 k

代入y= x 2,得 x 2- x-b=0,且Δ=

1 k



≧点 ? x0 , y0 ? 在直线 l :y=-kx+

9 上, 2

?

1 1 9 1 ? b ? ?k ? ? ,? b ? 4 ? 2 , 2k 2 2k 2 2k



1 2 ? 16 ? ?0 2 将②代入①,得 k 2 k 1 1 1 2 1 k ? ? 2 <16,即 ,?k> 或k<- . 16 4 4

k

题型四 抛物线的应用 【例4】一水渠的横截面如图所示,它的横截面边界AOB是抛物线的一段, 已知渠宽AB为2 m,渠深OC为1.5 m,水面EF距AB为0.5 m.求水面EF的宽度. 分析 根据题意建立适当的平面直角坐标系,根据条 件可求出抛物线方程,然后利用抛物线的知识结合实 际背景解决问题.



建立如图所示的直角坐标系,则A(-1,1.5),B

(1,1.5),C(0,1.5).设抛物线方程为

x 2 =2py(p>0),把点A(-1,1.5)代入方程,得
1=2p〓1.5,

1 2 即p= ,所以抛物线方程为 x 2 ? y ,由点E的纵坐标为1,得点E的横坐标 3 3

为-

6 3

,所以水面EF的宽度为

2 6 m. 3

学后反思 解决实际问题时建立数学模型是关键,建立适当的坐标系可 简化计算,同时要注意实际背景中的限制条件.

举一反三
4. 如图,汽车前灯反射镜与轴截面的交线是 抛物线的一部分.灯口所在的圆面与反射镜的 轴垂直,灯泡位于抛物线焦点处,已知灯口的 直径是24 cm,灯深10 cm,那么灯泡与反射镜 的顶点(即截得抛物线的顶点)距离是多少?

解析 取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴,抛物线的顶点为坐标原点,建
立直角坐标系xOy,如图. ≧灯口直径|AB|=24 cm,灯深|OP|=10 cm, ?点A的坐标是(10,12). 设抛物线的方程为 y =2px(p>0).
2 ≧点A(10,12)在抛物线上,得 12 =2p〓10,?p=7.2.

2

抛物线焦点F的坐标为(3.6,0). 因此,灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm.

易错警示

【例】动点M(x,y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,求动 点M(x,y)的轨迹方程. 错解 ≧动点M到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,

?动点M到定点(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离相等,
?动点M的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,且p=4,
2 ?抛物线方程为 y =8x,即M的轨迹方程.

错解分析 错解中只求出了在x≥0的情况下的M的轨迹方程,忽视了 x≤0的情况.

y 2 =8x. 正解 方法一:(1)当x≥0时,解法同“错解”,得
(2)当x<0时,由于x轴上原点左侧的点到y轴的距离比它到(2,0) 的距离小2,?M的轨迹方程为y=0(x<0). 综上,M的轨迹方程为y=0(x<0)和 y =8x(x≥0).
2

方法二:设M(x,y),则有|x|+2=
2 2 2 即 x +4|x|+4= x -4x+4+ y , 8x,x≥0, 2 化简得 y =4x+4|x|= 0,x<0.

? x ? 2?

2

? y 2,

?

?M的轨迹方程为y=0(x<0)和 y =8x(x≥0).

2

考点演练
10. (2009· 宁夏、海南)已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴

上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点.若P(2,2)为AB的中点,则抛物
线C的方程为——.

2 解析 设抛物线方程为 y =ax, A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ?

.

则 y1 ? y2 ? 4,
y12 ? ax1 ,

① ②
y1 ? y2 ? a, x1 ? x2

y2 2 ? ax2 .
①-②得 y12 ? y22 ? a ? x1 ? x2 ? ,? ? y1 ? y2 ? ? ?a=4〓1=4,? y =4x. 答案
2

y 2 =4x

11. (2008· 陕西改编)已知抛物线C:y=2 x 2 ,直线y=kx+2交C于A,B两
点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交C于点N.求证:抛物线C在点N 处的切线与AB平行.

证明 如图,设 A ? x1 , 2 x1 ? , B ? x2 , 2 x2 2 把y=kx+2代入y=2 x ,得
2

2

?

.

2x 2 -kx-2=0.

由根与系数的关系,得
k , x1 x2 ? ?1. 2 x ?x k ? x N ? xM ? 1 2 ? 2 4 x1 ? x2 ?
? k k2 ? ?N点的坐标为 ? 4 , 8 ? . ? ?

k k2 设抛物线在点N处的切线 l 的方程为y=m(x- ), 8 4
2
2

mk k 2 ? ?0 将y=2 x 代入上式,得 2 x ? mx ? 4 8 ? mk k 2 ? 2 2 2 2 ≧直线 l 与抛物线C相切,? ? ? m ? 8 ? ? ? ? m ? 2mk ? k ? ? m ? k ? ? 0 8 ? ? 4

?m=k,即 l∥AB.

12. 如图,有一座抛物线形拱桥, 在正常水位时AB的宽为20 m,如果 水位上升3 m时,水面CD的宽为10 m. (1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式; (2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发,需经过此桥开往乙地,已 知甲地距此桥280 km(桥长忽略不计),货车正以每小时40 km的速度开 往乙地,当行驶1小时时,突然接到紧急通知:前方连降暴雨造成水位以 每小时0.25 m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到 桥拱最高点O时,禁止车辆通行). 试问:如果货车按原来的速度行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理 由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?
解析 (1)设抛物线方程为x 2 =-2py(p>0), xB ? 10, xD ? 5 所以 yD ? yB ? ?
25 ? 100 ? ??? ? ? 3 ,解得2p=25, 2p ? 2p ?

故方程为 x 2 =-25y.

1 (2)令x=5,则y=-1.即水位到达最高点O时,需 =4(小时);货车从 0.25
280 ? 40 ?1 接到通知到到达此桥需 =6(小时), 40

因此货车按原来速度行驶,不能安全通过此桥,
280 ? 40 ?1 ? 4 ? v ? 60 . 要使货车安全通过此桥,速度应满足 v

故速度应超过每小时60千米.


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