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用导数求解一道物理竞赛题


中 学 物 理 

V o 1 . 3 0   No . 1 3  

2 0 1 2年 7月  

用 导 数 求 解 一 道 物 理 竞 赛 题  
套  

庆 
2 2 2 0 0 6 )  

( 江苏省新 海高 级 中学  江苏 新海
第2

8 届 全国中学生物理竞赛 预赛试 卷的最后 一题 , 求 
MA绕 M 点转动的角速度 . 参考解答与评分标准 中给出的是  “ 在与 M 点固连的参考系中” , 建立 坐标 系进 行求解 . 对 于高  二学生 , 已经学过 了导数 . 用导数求角速度 , 更符合 高二 学生  的思维习惯. 为 了便于说明 , 现将原题及参考解答叙述如下 :   题目   在 海面上 有三艘轮船 , 船 A 以速度 U向正 东方向 
航行 , 船 B 以速 度 2 “向 正北 方 向航 行 , 船 C以速度 2 √ 2 U向  东偏 北 4 5 。 方 向航 行 . 在 某一 时刻 , 船 B和 C恰 好 同 时经 过 船  A 的航 线 并位 于船 A 的 前 方 , 船 B到船 A 的距 离为 口 , 船 C到 

在时刻 t , 船 A在坐标系 M  中的坐标为 
, 

3 n  
一 

X A 

( 6 )   ( 7 )  

Y  A  

UA Mt  

可 以把 A船的速度分解为  沿连线 MA方 向的分量 n A N /   和  垂直 于 连线 MA 方 向 的分 量 

U A M 2两 个 分 量 , U A M 1使 连 线 
MA 的长 度增 大, U A M 2使 连线 
MA 的方 向 改变 , 如 图 2所 示 .  

船 A 的距 离为 2 口 , 若 以此时刻作 为计算 时间的零点, 求在 t  
时刻 B、 C两 船 间 距 离的 中点 M 到船 A 的 连 线 MA 绕 M 点转 
动 的 角速 度 .  

若用 R表示 t 时刻连线 MA 的  长度 , 则连线 MA 绕 M 点转动的角速度 
“A M2  

参考解答  以 t= 0 时刻船 A 所在的位置为坐标原点  0, 作 如图 l 所示平面直角坐标系 O x y,  轴指 向正东 ,  轴指  向正北 . 可以把船 C 的速度分解成正东方 向的分速度  和  沿正北方 向的分速度  两个分量 .  
而 

∞   1  若 MA 与  轴 的夹角为 0 , 则 有 
“ A M 2   u , , t Mo o s 0  

( 8 )  

( 9 )  

e o s 0=  
尺 :   +  

( 1 0 )   ( 1 1 )  

B 

由( 5 )到 ( 1 0 ) 各 式 得  一   ( 1 2 )  

2 u t  
/ 

用导数求 解 : 设图 1中 A M 连线与X轴的夹角为0 , 由参 
l  

考解答 的( 1 ) 、 ( 2 ) 两式可得 t 时刻M 点的坐标为参考解答的 
( 3 ) 、 ( 4 ) 两式 . 此 时 A 船 的 坐标 为 : X A= u t ,   =0 .  

根 据 题 意 有 
=   =

2 u  

( 1 )  

有 AM : (  M—x A )  +(   M一   )  :  

十4 “ 2   2 ,  

在t 时刻 , 三船 的位置如 图 1 所示 . B、 C二船在 方向位  移相等 , 两船的连线 B C与X轴 平行 , 两船间 的距离 
B C=n   4 - 2 u t   ( 2 )  

口=  
t a n O:  
XM —

=  
二  
XA  


. 

,  

: 

B c的中点M 到B的距离为鲁 - I - “ t . 中点 M 的坐标分别为 

J口  

两边 对 t 求导 , 0 对t 的 导数 为角 速 度  , 得 


X M = 。 十 号+   £ = 警+ “ £  


( 3 )  
( 4 )  

e c 2 目.   :  
=  

2 u t  

所以

∞=   4 U 0 0  ̄   2 0
j口 

可见 M 点沿 方 向的速度为 U, 沿 Y方 向的速度为 2 “,   在 £= 0时刻 B C的中点在  轴上 , 其  坐标 - 刀  . S a
.  

血。十

l b『 』  t 。   .  

用导数求解角速度 , 过程简洁 , 思路清晰 , 符合高二学生  的正常思维习惯. 参 考解答 可能是 出于对高一 学生 的考 虑 .   其实 , 本题选 A 船为参 考系 , M 点相对于 A 的速 度求出后 ,  
沿 AM 方向和垂 直AM 方向分解 , 垂直 AM 方 向的分速度等 

在与 M 点固连的参 考系中考察 , 并建立以 M 为原点 的  直角 坐标 系  ,   轴. 7 C 轴平行 , Y   轴Y轴平行 , 则相对 M ,  
b t A M=u a M y  =一 2 u   ( 5 )  

船 A 的速度只有沿负  方 向的分量 , 有 

于 AM 与角速度 c c , 的乘积 , 这样符 合高一学生 的思维 习惯 .  

所以, 答案没有必要引入“ 与 M 点固连的参考系” 进行分析.  
?

43 ?  


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