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正、余弦定理与三角形形状判断附答案


一、运用正弦定理进行判断 基本思路:运用正弦定理将条件全部转化为边(或角)之间的关系,进一步判断。 二、运用余弦定理进行判断 基本思路:关注特殊角余弦值,往往向边与边之间的关系进行转化。 三、运用正、余弦定理综合判断 基本思路:尽量统一边(或角)之间的关系,使 3 个未知量减少为 2 个未知量之间的关系往 往可以导出结果;常用到 sinA=sin(π -A)=sin(B+C);正

弦值的比可以直接化为边的比值。 1、已知在△ABC 中, b ? c ? cos A ,试判断△ABC 的性状。

? b ? c ? cos A ? 2b 2 ? 2bc ? cos A ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? a 2 ? b2 ? c 2
∴Δ ABC 为直角三角形 2、已知在△ABC 中,角 A、B 均为锐角,且 cos A>sin B ,试判断△ABC 的形状。

? cos A>sin B ? cos A> cos( ? B ) 2 ? A<

?

?

2

?B

? A ? B< ? C>

?
2

?
2

∴Δ ABC 为钝角三角形 3、已知在△ABC 中, b ? a ? sin C ,且 c ? a ? sin(

?
2

? B ) ,试判断△ABC 的形状。

? c ? a ? sin( ? B) ? a ? cos B 2 2 ? 2c ? 2ac ? cos B ? a 2 ? c 2 ? b 2 ?b2 ? c2 ? a 2
∴Δ ABC 为直角三角形,且 sin C ?

?

c a

? b ? a ? sin C ?b ? c
∴Δ ABC 为等腰直角三角形 4、已知在△ABC 中, 2 sin A ? cos B ? sin C ,试判断△ABC 的性状。

? 2sinA? cosB ? sin C ? 2a ? cos B ? c ? 2ac ? cos B ? c 2 ? a 2 ? c 2 ? b 2 ?a ? b
1

∴Δ ABC 为等腰三角形 5、已知在△ABC 中, sin A ? 2 sin B ? cos C ,且 sin A ? sin B ? sin C ,试判断△ABC
2 2 2

的性状。

? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? a 2 ? b2 ? c 2
? sinA ? 2sinB? cosC ? a ? 2b ? cosC ? a 2 ? 2ab ? cosC ? a 2 ? b 2 ? c 2 ?b ? c
∴Δ ABC 为等腰直角三角形 6、已知在△ABC 中, (a ? b ? c)(b? c - a) ? 3bc ,且 sinA ? 2sinB ? cosC ,试判断△ABC 的性状。

? sinA ? 2sinB? cosC ? a ? 2b ? cosC ? a 2 ? 2ab ? cosC ? a 2 ? b 2 ? c 2 ?b ? c
? (a ? b ? c)(b ? c - a) ? 3bc ? (2b ? a)(2b- a) ? 3b2 ?a ? b
∴Δ ABC 为等边三角形 7、已知在△ABC 中, ?B ? 60? ,且 b ? ac ,试判断△ABC 的性状。
2

? ?B ? 60? 1 a 2 ? c2 ? b2 ? cos B ? ? 2 2ac

? ac ? a 2 ? c 2 ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? ac ? ( a ? c) 2 ? 0 ?a ? c
∴Δ ABC 为等边三角形 8、已知在△ABC 中, ?B ? 60? ,且 2b ? a ? c ,试判断△ABC 的性状。

2

? ?B ? 60? 1 a2 ? c2 ? b2 ? 2 2ac (a ? c) 2 ? ac ? a 2 ? c 2 ? 4 2 2 ? 4ac ? 4a ? 4c ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B ? ? (a ? c) 2 ? 0 ?a ? c
∴Δ ABC 为等边三角形 9、已知在△ABC 中,

sin A cos B cos C ? ? ,试判断△ABC 的性状。 a b c

?

sin A cos B cosC ? ? a b c ? sin B ? cos B, sin C ? cosC ?B ? C ?

?
4

∴Δ ABC 为等腰直角三角形 10、已知在△ABC 中,(a 2 ? b2 ) ? sin( A ? B) ? (a 2 ? b2 ) ? sin( A ? B) ,试判断△ABC 的性 状。

? (a 2 ? b 2 ) ? sin( A ? B) ? (a 2 ? b 2 ) ? sin( A ? B) ? (a 2 ? b 2 ) ? sin C ? (a 2 ? b 2 ) ? (sin A ? cos B ? sin B ? cos A) ? (a 2 ? b 2 ) ? 2c 2 ? (a 2 ? b 2 ) ? (2ac ? cos B ? 2bc ? cos A)

? (a 2 ? b 2 ) ? 2c 2 ? (a 2 ? b 2 ) ? (a 2 ? c 2 ? b 2 ) ? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) ? (a 2 ? b 2 ) ? c 2 ? (a 2 ? b 2 ) ? (a 2 ? b 2 )
? a 2 ? b2 ? 0 或 a 2 ? b2 ? c 2
∴Δ ABC 为等腰三角形或直角三角形

?

?

11、在△ABC 中, (a ? b ? c)(sin A ? sin B ? sin C ) ? 3a ? sin B ,且 b ? cos A ? a ? cos B , 试判断△ABC 的性状。

? b ? cos A ? a ? cos B ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? 0 ? sin( A ? B) ? 0 ?A? B ? a ?b

3

? (a ? b ? c)(sin A ? sin B ? sin C ) ? 3a ? sin B ? (2a ? c)(2a ? c) ? 3a 2 ? 4a 2 ? c 2 ? 3a 2 ?a ? c
∴Δ ABC 为等边三角形 12、已知在△ABC 中, a tan B ? b tan A ,试判断△ABC 的性状。
2 2

? a 2 tan B ? b 2 tan A a 2b b2a ? ? cos B cos A a cos B sin A ? ? ? b cos A sin B ? 2 sin A cos A ? 2 sin B cos B ? sin 2 A ? sin 2 B
? A ? B ? a ? b 或 2 A ? 2B ? ? ? A ? B ?
∴Δ ABC 为等腰三角形或直角三角形 13、已知在△ABC 中,

?
2
,试判断△ABC 的性状。

a A cos 2

?

b B cos 2

?

c C cos 2

?

b ? A B cos cos 2 2 sin A sin B ? ? A B cos cos 2 2 A A B B 2 sin ? cos 2 sin ? cos 2 2 ? 2 2 ? A B cos cos 2 2 A B ? sin ? sin 2 2 ?A? B
同理:A=B=C ∴Δ ABC 为等边三角形 14、已知在△ABC 中, cos
2

a

A b?c ? ,试判断△ABC 的性状。 2 2c

? cos2

A b?c ? 2 2c cos A ? 1 b ? c ? ? 2 2c

4

b b2 ? c2 ? a2 ? c 2bc 2 2 2 ?a ? b ? c ? cos A ?
∴Δ ABC 为直角三角形 15、已知在△ABC 中, 2a sin A ? (2b ? c) sin B ? (2c ? b) sin C ,且 sin B ? sin C ? 1 , 试 判断△ABC 的性状。

? 2a sin A ? (2b ? c) sin B ? (2c ? b) sin C ? 2a 2 ? 2b 2 ? bc ? 2c 2 ? bc ? ?bc ? b 2 ? c 2 ? a 2 b2 ? c2 ? a 2 1 ? cos A ? ?? 2bc 2 2? ?A? 3 ? sin B ? sin C ? 1
? sin B ? sin( ? B) ? 1 3 3 1 ? sin B ? cos B ? sin B ? 1 2 2 3 1 ? cos B ? sin B ? 1 2 2 ? sin( ? B) ? 1 3 ?

?

?

?
3

?B?

?
2

?B ? C ?

?
6
sin A ? sin B ,试判断△ABC 的形状。 cos A ? cos B

∴Δ ABC 为等腰三角形 16、已知在△ABC 中, sin C ?

? sin C ?

sin A ? sin B cos A ? cos B A? B A? B 2 sin ? cos 2 2 ? sin( A ? B) ? A? B A? B 2 cos ? cos 2 2 A? B A? B 2 sin ? cos A? B A? B 2 2 ? 2 sin ? cos ? A? B A? B 2 2 2 cos ? cos 2 2

5

A? B 2 ) ?1 ? 0 2 ? cos(A ? B ) ? 0 ? 2(cos ?A? B ?

?
2
A? B a ?b ? ,试判断△ABC 的形状。 2 a?b

∴Δ ABC 为直角三角形 17、已知在△ABC 中, tan

? tan

A ? B sin A ? sin B ? 2 sin A ? sin B A? B A? B A? B sin 2 cos ? sin 2 ? 2 2 ? A? B A? B A? B cos 2 sin ? cos 2 2 2 A? B A? B ? sin ? cos ?0 2 2 2 A? B 2 A? B ? sin ? cos ?0 2 2 2 2 A? B ? A? B ? ? sin ? cos ? cos ? sin ? 0 2 4 2 4 A? B ? ? sin( ? )?0 2 4 A? B ? ? ? ?0 2 4 ?A? B ?

?

2

∴Δ ABC 为直角三角形

6


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