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等比数列的前n项和(公开课)

时间:2013-03-10


情景设置

从前,一个穷人到富人那里去借钱。。。
No problem!第一天 给你1万,以后每天 给你比前一天多1万 元,连续一个月(30天), 但有一个条件:

第一天出1分入1万;第 二天出2分入2万;第三天 出4分入3万元;……哇,发 了……

房叔,能不能借 我……

这富人会不

会 又在耍我?
……

请同学们思考一下,帮穷人出个主意!

第一天返还1分, 第二天返还2分, 第三天返还4分…… 以后每天返还数为前一 天的2倍.

我们来算算这笔账!
穷人得到 的总钱数 返还给富人 的总钱数

3 T30 ?1 ? 2 ? 3 ? ?30 S 30 ? 1,? 2,? 222 ,? 223 ,? ? ? 229 2 2 ?,

? 465

(万元)

?
等比数列的前30项和
第一天返还1分, 第二天返还2分, 第三天返还4分…… 以后每天返还数为前一 天的2倍.

第一天1万,以后 每天比前一天多给 1万元,连续一个 月(30天)

引入新课
请同学们考虑如何求出这个和?
2 3 29

?S ? 2S ? 1 ? 2 30 ? ? S30 ? 1? 2 ? S ? 2 ? 1 ? 1073741823 分
30
30 30

即2S30 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 .
2 30

S 30 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 . 2 3 29 2S30 ? 2(1 ?2 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 30). 3 29

这种求和 的方法,就 是错位相 (1) 减法!

(2)

- 1= 10 73 7 418 23

30

30

≈1073.74万元

等比数列前n项求和公式
推导公式

已知: n 等比数列 { n}, 1,q,

a a

求:Sn 解:Sn=a1+a2 + a3 +a4 + …+an 2 3 … a1qn-1 =a1+a1q + a1q + a1q + + q n=a1q ? a1q ? a1q ? ??? ? a1q

s

2

3

n ?1

? a1q n

错 位 相 减 法

(1-q)Sn=

a -a qn
1 1

若q=1,

S n ? na1
1

a1 (1 ? q n ) Sn ? 1? q
注意:此时q≠1

∴ Sn=

{

a (1-q )
1-q

n

(q=1)
(q=1)

n· 1 a

?na ? 1 ? ? S n ? ? a (1 ? q n ) a ? a q ? 1 n ? 1 ? 1? q 1? q ?

(q ? 1) (q ? 1) 增强思维的
严谨性.

推导方法: (乘公比)错位相减法 看看练习吧!

例 1 已知等比数列{an}
1 1 1 (1) , , ,. .求 s8 . 2 4 8 1 (2) a1=27, a9= ,q<0, s8 . 243
(3)已知 s n =189,q=2, an ? 96 ,求 a1 和 n.

第一年为5万吨, 例2 某制糖厂今年制糖5万吨,如果平均每年的产量比 第二年为 5+5×10%= 上一年增加10%,那么从今年起,几年内可以使总产量达到 5(1+10%) 30万吨(保留到个位). 解: 由题意可知,这个糖厂从今年起,平均每年的产量(万 吨)组成一个等比数列, 记为 a

? a1 ? 5, q ? 1 ? 10% ? 1.1, S n ? 30
5(1 ? 1.1n ) ? 30. 1 ? 1.1

? n?

于是得到

a1 (1 ? q n ) Sn ? 1? q
? lg 1.1n ? lg 1.6 ? n lg 1.1 ? lg 1.6

整理后,得

1.1 ? 1.6
n

lg 1.6 0.2041 n? ? ?5 lg 1.1 0.0414
答:5年内可以使总产量达到30万吨.

练习:已知 {a n } 是等比数列,请完成下表: 题号 (1) (2) (3) a1
1 2

q
1 2
2 3

n
8

an
1 256

Sn
255 256

27

4

8
? 96

65
? 63

3

?2

6

a1、q、n、an、Sn中 知三求二

例3. 求等比数列 1,2,4,…从第5项到第10项

的和.
解: a1 ? 1, q ? 2, ?
1? (1 ? 2 ) ?S 4 ? ? 15. 1? 2
4

1? (1 ? 210 ) S10 ? ? 1023 . 1? 2

从第5项到第10项的和:

S10 ? S 4 ? 1023 ? 15 ? 1008 .

例4 、求和

(1)1 ? a ? a ? a ? ??? ? a
2 3

n ?1

?a

n

课堂小结
1.等比数列求和公式及公式的应用.

?na1 , ( q ? 1), ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? , ( q ? 1). ? 1? q 1? q ?
2.等比数列前n 项和公式推导中蕴含的 思想方法:错位相减法.

3.利用方程的思想,解决“知三求二型”的问题, 求和时注意公比q及项数。

小试牛刀
1.( 2011北京, , 11 5) 1 在等比数列{an }中, 若a1 ? , a4 ? ?4, 则公比q ? 2 a1 ? a2 ? ? ? an ? .
2.(2010 新课标,理,17 题,12 分) 设数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 3 · 22 n?1 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ? nan ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .

;

1 1 1 1 求数列1 , 2 , 3 , 4 ,? 的前n项的和. 2 4 8 16
1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (n ? n ) 解: 2 4 8 16 2 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? (2 ? ) ? (3 ? ) ? ? ? (n ? n ) 2 4 8 2 1 1 1 1 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ( ? ? ? ? ? n ) 2 4 8 2 1 1 n n(n ? 1) 2 [1 ? ( 2 ) ] ? ? 1 2 1? n2 ? n 1 2 ? ?1? n 2 2

拓展

反 思

分组求和


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