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③限时作业利用导数研究函数的极值

时间:2013-06-12


课后限时作业(十六)
A级
(时间:40 分钟 满分:90 分) 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分) 1. 函数 f ( x ) ? x ? 3 x ? 3 x ? a 的极值点的个数为
3 2

( D.3



A.0

B.1

>
C.2

2 2 【解析】 f ? ( x ) ? 3 x ? 6 x ? 3 ? 3( x ? 1) ? 0 恒成立.所以 f(x)在 R 上单调递增,故 f(x)

无极值. 【答案】A 2. 函数 f ( x ) ? x ? a x ? 3 x ? 9 ,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a=()
3 2

A.2

B.3

C.4

D.5

2 3 【解析】 f ? ( x ) ? 3 x ? 2 a x ? 3, 则 f ? ( ? 3) ? 3 ? 6 a ? 3 ? 0, 则 a=5,选 D.

【答案】D 3. 已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f(x)>0,f′(x)>0,那么函数 y=xf(x)() A.存在极大值 B.存在极小值 C.是增函数 D.是减函数 【解析】 y ? ? f ( x ) ? xf ? ( x ) ? 0, x∈(0,+∞),所以选 C. 【答案】C 4. 函数 f ( x ) ? a x ? x ? 1 有极值的充要条件是
3

( D.a≤0



A.a>0

B.a≥0
3

C.a<0

【解析】f′(x)=3ax2+1, f ( x ) ? a x ? x ? 1 有极值 ? f′(x)=0 有解 ? 关于 x 的方程
3 a x ? 1 ? 0 有解 ? a<0.
2

【答案】C 5.函数 f(x)在定义域 R 内可导,若 f(x)=f(2-x),且当 x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)<0,设 a=f(0),b= f ( ) ,c=f(3),则
2 1

( )

A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a 解析:由 f(x)=f(2-x)知 f(x)的图象关于 x=1 对称,又 x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)<0,所 以 f′(x)>0,所以 f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 所以 f(0)<f(
1 2

),f(3)=f(-1)<f(0),所以 c<a<b.

答案:B 6.已知函数 f(x)=ax3+bx2+c,其导数 f′(x)的图象如图所示,则函数 f(x)的极小值是(



A.a+b+c B.3a+4b+c C.3a+2b D.c 2 D 解析:依题意有 f′(x)=3ax +2bx,由图象可知,当 x<0 时,f′(x)<0,则函数单调递减;当 0<x<2 时,f′(x)>0,则函数单调递增;当 x>2 时,f′(x)<0,则函数单调递减.所以当 x=0 时, 函数取得极小值 f(0)=c,故选 D. 答案:D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 7. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 ln x ,则函数 f(x)的极小值为
2

.
.

【解析】定义域为{x|x>0}, f ? ( x ) ? 2 x ?

2 x

?

2 ( x ? 1)( x ? 1) x

当 x 变化时,f(x)、f′(x)的变化情况如下表: x (0,1) 1 0
f ?( x )

(1,+ ? ) + 递增

f ( x)
2

递减

极小值

所以 f(x)的极小值为 f (1) ? 1 ? 2 ln 1 ? 1 . 答案:1 8.(2011·广东)函数 f(x)=x -3x +1 在 x=处取得极小值
2 3 2

.

解析:f′(x)=3x -6x=3x(x-2),所以 f(x)的单调递增区间为: (-∞,0),(2,+∞) , 递减区间为(0,2),所以 f(x)在 x=2 处取得极小值. 答案:2 9.设函数 f(x)=ax +bx +cx 在 x=1 和 x=-1 处均有极值,且 f(-1)=-1,则 a+b+c= 解析:f′(x)=3ax +2bx+c,由题意 f′(1)=0,f′(-1)=0, 且 f(1)=0,即 3a+2b+c=0,3a-2b+c=0,-a+b-c=-1.得 a+b+c=1. 答案:1 10. 若 f ( x ) ? x ? 3 a x ? 3( a ? 2 ) x ? 1 既有极大值又有最小值, a 的取值范围是 则
3 2 2 【解析】 f ? ( x ) ? 3 x ? 6 b x ? 3( a ? 2 ), 因为 f(x)既有极大值又有极小值,

3

2

.

2

.

所以 3 x ? 6 b x ? 3( a ? 2 ) ? 0 有两个不同的实数解.
2

所以 ? ? 4 a ? 4 ( a ? 2 ) ? 0, 即 a ? a ? 2 ? 0, 所以 a>2 或 a<-1.
2 2

答案:(-∞,-1)∪(2,+∞) 三、解答题(本大题共 2 小题,每小题 12 分,共 24 分) 11. (2013 届·昆明质检)设 x=1 与 x=2 是函数 f ( x ) ? a ln x ? b x ? x 的两个极值点.
2

(1)试确定常数 a 和 b 的值. (2)试判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由. 【解】 (1) f ? ( x ) ?
a x ? 2 b x ? 1 . 因为 f′(1)=f′(2)=0,

? a ? 2 b ? 1 ? 0, ? 所以 ? a 解得 ? 4b ? 1 ? 0. ? ?2

2 ? a ? ? , ? ? 3 ? ?b ? ? 1 . ? 6 ?
2 3 ln x ? 1 6
2 x ? x , 所以 f ? ( x ) ? ?

(2)由(1)得 f ( x ) ? ?

2 3

x

?1

?

1 3

x ? 1.

当 x∈(0,1)时,f′(x)<0;当 x∈(1,2)时,f′(x)>0; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)<0. 故在 x=1 处函数 f(x)取得极小值
5 6
3 2

,在 x=2 处函数 f(x)取得极大值

4 3

?

2 3

ln 2 .

12.(2011·重庆)设 f(x)=2x +ax +bx+1 的导数为 f′(x) ,若函数 y=f′(x)的图象 关于直线 x=1 2

对称,且 f′(1)=0.

(1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的极值.
a a? ? 解: (1)f′(x)=6x +2ax+b=6 ? x ? ? +b, 6 6? ?
2
2

2

函数 y=f′(x)的图象关于直线 x=-

a 6

对称,

所以-

a 6

=-

1 2

? a=3,

又 f′(1)=0 ? 6+2a+b=0 ? b=-12. (2)由(1)知 f(x)=2x +3x -12x+1, f′(x)=6x +6x-12. 令 f′(x)=0 ? x1=-2,x2=1. 函数 f(x)在(-∞,-2)上递增,在(-2,1)上递减,在(1,+∞)上递增,所以函数 f(x) 在 x=-2 处取得极大值 f(-2)=21,在 x=1 处取得极小值 f(1)=-6.
2 3 2

B级
1. 已知函数 f ( x ) ? x ? b x ? 3 x ? 1 (b∈R)在 x ? x1 和 x ? x 2 ( x1 ? x 2 )处都取得极值,
3 2

且 x1 ? x 2 ? 2 ,则下列说法正确的是 A.f(x)在 x ? x1 处取极小值,在 x ? x 2 处取极小值 B.f(x)在 x ? x1 处取极小值,在 x ? x 2 处取极大值 C.f(x)在 x ? x1 处取极大值,在 x ? x 2 处取极小值 D.f(x)在 x ? x1 处取极大值,在 x ? x 2 处取极大值





3 2 2 ? 3 【 解 析 】 因 为 f ( x ) ? x ? b x ? 3 x ? 1 , 所 以 f ?( x ) ? 3 x ? 2 b x , 由 题 意 可 知

f ? ( x1 ) ? 0, f ? ( x 2 ) ? 0,

即 x1 , x 2

为 方 程 3x ?
2

2b ? x

3? 的 两 根 , 所 以 0

x1 ? x 2 ?

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

4b ? 36
2

,



3

x1 ? x 2 ? 2

,



b=0,





3 2 f ( x ) ? x ? 3 x ? 1, f ? ( x ) ? 3 x ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1). 由于 x1 ? x 2 , 所以 x1 ? 1, x 2 ? ? 1, 当

x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;当 x∈(-1,1)时,f′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.所以 f(x)在 x1 ? 1 处取极小值,极小值为 f(1)=-1,在 x 2 ? ? 1 处取极大值,极大值为 f(-1)=3. 【答案】B 2.(2013 届·山东济宁一模)已知函数 y=f(x),其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x) ( )

A.在(-∞,0)上为减函数 B.在 x=0 处取极小值 C.在(4,+∞)上为减函数 D.在 x=2 处取极大值 解析:使函数 y=f′(x)>0 的 x 的取值范围为增区间,使导函数 y=f′(x)<0 的 x 的取值范围 为减区间. 答案:C 3.若函数 f(x)=
x ? x
2

x ?1

在 x=1 处取极值,则 a=
2 x ( x ? 1) ? ( x ? a )
2

.
3?a 4

解析:求导可得 f ? ( x ) ?

? x ? 1?

2

,令 f′(1)=

=0,得 a=3.

答案:3 4.如果函数 f(x)=
1 3 x -a x(a>0)满足:对于任意的 x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤1
3

2

恒成立,则 a 的取值范围是 解析:f′(x)=x -a .
2 2

.

当 a≥1 时,f(x)在[0,1]上为减函数,f(x)max=f(0)=0, f(x)min=f(1)=
1 3

-a ,

2

所以 当 0<a<
3 3

时,f(x)在[0,a)上为减函数,在[a,1]上为增函数,
1 3
2

f(x)max=f(1)=

-a ,f(x)min=f(a)=-

2 3

a,

3

所以

≤1 恒成立.

答案: 5.设函数 f(x)=a ln x-x +ax,a>0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求所有实数 a,使 e-1≤f(x)≤e 对 x∈[1,e]恒成立. 解: (1)因为 f(x)=a ln x-x +ax,其中 a>0,
a
2

2

2

2

2

2

所以 f′(x)=

-2x+a=-

? x ? a??2x ? a?
x

.

x

因为 a>0,所以 f(x)的增区间为(0,a) ,减区间为(a,+∞). (2)由题意得,f(1)=a-1≥e-1,即 a≥e,由(1)知 f(x)在[1,e]内单调递增,要使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立,只要 ? 6.已知函数 f(x)=(x-1)-aln x. (1)讨论函数 f(x)的单调区间和极值;
? f (1) ? a ? 1 ? e ? 1, ? f (e) ? a ? e ? a e ? e ,
2 2 2

解得 a=e

(2)若 f(x)≥0 对 x∈[1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围. 解: (1)f′(x)=1a x

=

x?a x

(x>0).

当 a≤0 时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上递增,无极值. 当 a>0 时,f′(x)
x?a x

=0,即 x=a,f(x)在(0,a)上递减,

在(a,+∞)上增,有极小值 f(a)=(a-1)-aln a,无极大值. (2)f′(x)=1a x

=

x?a x

.

当 a≤1 时,f′(x)≥0 在[1,+∞)上恒成立,则 f(x)是单调递增的, 则 f(x)≥f(1)=0 恒成立,则 a≤1. 当 a>1 时,在(1,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增, 所以 x∈(1,a)时,f(x)≤f(1)=0, 这与 f(x)≥0 恒成立矛盾,故不成立. 综上:a≤1.