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广东省各地2014届高三11月模拟数学理试题分类汇编立体几何


广东省各地 2014 届高三 11 月模拟数学理试题分类汇编 立体几何
一、选择题 1、(广东省百所高中 2014 届高三 11 月联考)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积等于 A、2

2 3 4 C、 3
B、 D、4 答案:D 2、 (广东省宝安中学等七校 2014 届高三第二次联考)已知平面 ? 、 ? 和 直线 m ,给出

条件:① m // ? ;② m ? ? ;③ m ? ? ;④ ? ? ? ;⑤ ? // ? .能推导出 m // ? 的 是( ) B.①⑤ C.②⑤ D.③⑤

A.①④ 答案:D

3、(广州市培正中学 2014 届高三 11 月月考)如图, E 、 F 分别为棱长为 1 的正方体的棱 A1B1 、

B1C1 的中点,点 G 、H 分别为面对角线 AC 和棱 DD1 上的动点
(包括端点) ( )
A

D

G

C

H
D1

B
C1

A)此四面体体积既存在最大值,也存在最小值; B)此四面体的体积为定值;
A1

F
E
第 7 题图
B1

C)此四面体体积只存在最小值; D)此四面体体积只存在最大值。 答案:A 4、(广州增城市 2014 届高三上学期调研)已知两个平面垂直,下列命题中: (1)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线; (2)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线; (3)一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面; (4)过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数有 (A). 1 答案:A (B). 2 (C). 3 (D). 4

5、(惠州市 2014 届高三上学期第二次调研)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图 均为半径是 2 的圆,则这个几何体的体积是 ( )

A. 16?

B. 14? C. 12?
D. 8?
答案:D 6、(江门市 2014 届高三调研)
俯视图 正视图 左视图

如图 1, E 、 F 分别是正方体 ABCD? A B1C1D1 中 AD1 、 B1C 上的动点(不含端点),则四边形 1

B1FDE 的俯视图可能是

图1 答案:B 7、(珠海一中等六校 2014 届高三上学期第二次联考) 如图:正方体 ABCD ? A B1C1D1 ,棱长为 1,黑白二蚁都从点 A 出发,沿棱向前爬行,每走一条棱 1 称为“走完一段”.白蚁爬行的路线是 AA ? A D1 ??, 黑蚁爬行的路线是 AB ? BB1 ??. 它们 1 1
D1 C1 B1

都遵循如下规则: 所爬行的第 i ? 2 段所在直线与第 i 段所在直线必须是异
A1

面直线(其中 i ? N ).设黑白二蚁走完第 2014 段后,各停止在正方体
*

的某个顶点处,这时黑白蚁的距离是 A. 1 B.

( C. 3

) D. 0
A

D B

C

2

答案:B 8、(佛山市石门中学 2014 届高三第二次检测)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 A.①和② B.②和③ C.③和④ ( D.②和④ )

答案:A 二、填空题 1、 (广东省宝安中学等七校 2014 届高三第二次联考) 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图 3 所示(均为直角三角形),则该三棱锥的俯视图的面积为 答案:1 2、(广州市培正中学 2014 届高三 11 月月考) 如图:底面直径为 2 的圆柱被与底面成 30 0 二面角的平面所截, 截面是一个椭圆, 则此椭圆的焦距为 .
2 正视图 图3

.

3 1 侧视图

答案:

2 3 3
.

3、(广州增城市 2014 届高三上学期调研)图 3 是一个空间几何体的 三视图,则该几何体的体积为 答案:

4、(江门市 2014 届高三调研)若 ? 、 ? 是不重合的平面, a 、 b 、

2 3

c 是互不相同的空间直线,则下列命题中为真命题的是
① 若 a // ? , b // ? ,则 a // b ② 若 c // ? , b ? ? ,则 c ? b ③ 若 c ? ? , c // ? ,则 ? ? ? ④ 若 b ? ? , c ? ? 且 a ? b , a ? c ,则 a ? ? 答案:②③ 5、(佛山市石门中学 2014 届高三第二次检测) 下面为某一几何体的三视图,则该几何体的体积为

.(写出所有真命题的序号)

答案:

4? 3

三、解答题 1、(广东省百所高中 2014 届高三 11 月联考) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是正方形,PD⊥平面 ABCD,E 为 PB 上的点,且 2BE=EP。 (1)证明:AC⊥DE; (2)若 PC= 2 BC,求二面角 E-AC-P 的余弦值。

解:(1)∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥AC, ∵底面 ABCD 是正方形,∴BD⊥AC,∴AC⊥平面 PBD, ∵DE?平面 PBD,∴AC⊥DE.(5 分) (2)以 D 为原点,DP,DA,DC 所在的直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 设 BC=3,则 CP=3 2,DP=3,因为 2BE=EP, 易知 D(0,0,0),A(0,3,0),C(0,0,3),P(3,0,0),E(1,2,2). 所以=(0,3,-3),=(3,0,-3),=(1,2,-1), 设平面 ACP 的法向量为 u=(x,y,z),则 u· =0,u· =0,
?3y-3z=0, ? 即? 令 x=1,得 u=(1,1,1),同理可取平面 ACE 的法向量 v=(-1,1,1), ? ?3x-3z=0,

u· 1 v 1 所以 cos〈u,v〉= = ,所以二面角 E—AC—P 的余弦值为 .(14 分) |u||v| 3 3 2、(广东省宝安中学等七校 2014 届高三第二次联考) 如图 5 ,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 PAD ? 底面 ABCD ,

且 PA ? PD ?

2 AD , E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. 2 (Ⅰ) 求证: EF // 平面 PAD ; (Ⅱ) 求证:面 PAB ? 平面 PDC ;
(Ⅲ) 在线段 AB 上是否存在点 G ,使得二面角 C ? PD ? G 的余弦值为 P D F A
图5

1 ?说明理由. 3
E C

B

z 【解析】(Ⅰ)证明:连结 AC ? BD ? F , ABCD 为正方形, P F 为 AC 中点, E 为 PC 中点. E ?CPA 中, EF // PA .??2 分 所以在 D 又 PA ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD , O 所以 EF // 平面 PAD ?????3 分 F B A AD (Ⅱ)证明:因为平面 PAD ? 平面 ABCD , 平面 PAD ? 面 ABCD ? G x ABCD 为正方形, CD ? AD , CD ? 平面 ABCD ,所以 CD ? 平面 PAD . ?????4 分 又 PA ? 平面 PAD ,所以 CD ? PA .

C y

又 PA ? PD ? 分

? 2 AD ,所以 ?PAD 是等腰直角三角形,且 ?APD ? ,即 PA ? PD .???5 2 2

又 CD ? PD ? D ,且 CD 、 PD ? 面 PDC ,所以 PA ? 面 PDC .???6 分 又 PA ? 面 PAB , 所以面 PAB ? 面 PDC ????????7 分 (Ⅲ) 如图,取 AD 的中点 O ,连结 OP , OF ,因为 PA ? PD ,所以 PO ? AD . 又侧面 PAD ? 底面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , 所以 PO ? 平面 ABCD , 而 O, F 分别为 AD, BD 的中点,所以 OF // AB ,又 ABCD 是正方形,故 OF ? AD , 以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz 如图所示, ?????????????????8 分 则有 A(1, 0, 0) , C ? ?1, 2,0? , F (0,1, 0) , D(?1, 0, 0) , P(0, 0,1) ,??????????9 分 若 在 AB 上 存 在 点 G, 使 得 二 面 角 C ? PD ? G 的 余 弦 值 为

G(1, a,0)(0 ? a ? 2) , ??? ? ??? ? 则 DP ? (1,0,1), GD ? (?2, ?a,0) ??? ? PA ? (1,0, ?1) ,??????10 分

1 , ,连结 PG DG 设 , 3
的 法 向 量 为

, 由 (Ⅱ) 知 平 面

PDC

a ? ? ??? ? z? y ? ? ?n ? DP ? 0 ?x ? z ? 0 ? ? 2 设平面 PGD 的法向量为 n ? ( x, y, z) .则 ? ? ???? ,即 ? ,解得 ? ??2 x ? ay ? 0 ?n ? GD ? 0 ?x ? ? a y ? ? ? 2 ? 令 y ? ?2 ,得 n ? ? a, ?2, ?a ? ,??????????????????????????11 分

? ??? ? n ? PA ? ??? ? 1 1 2a 1 所以 cos ? n, PA ? ? ? ??? ? ? ,解得 a ? (舍去 ? ).??????13 分 ? 2 2 n PA 2 ? 4 ? 2a 2 3
所以,在线段 AB 上存在点 G ?1, , 0? (此时 AG ?

? 1 ? ? 2 ?

1 AB ),使得二面角 C ? PD ? G 的余弦值为 4

1 .?14 分 3
3、(广州市培正中学 2014 届高三 11 月月考) 17. (本题满分 12 分) 在直三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中, AC ? BC , D 为 AB 中点, CB ? 1 ,

1 AC ? 3 ,异面直线 C1D 与 A1B1 所成角大小为 arccos 。 4
(1)求三棱柱 A1B1C1 ? ABC 的体积; (2)求二面角 D ? BC1 ? C 的大小。

解:(1)如图建立空间直角坐标系---------------------------------------------------------------1’

? 3 1 ? 3, 0, 0 , B ? 0,1,0? , D ? ? 2 , 2 , 0 ? , C1 ? 0,0, a ? ---2’ ? ? ? ???? ??? ? ? ???? ? ? 3 1 ? ? A1 B1 ? AB ? ? 3,1, 0 , DC1 ? ? ? ? 2 , ? 2 , a ? ----------------------------3’ ? ? ?
设 AA ? a ,则 A 1

?

?

?

?

z

y
x

???? ???? ? ? ? cos A1 B1 , DC1 ?

3 1 ? 2 2 ? 1 ,解得 a ? 3 即 AA ? 3 -----------5’ 1 2 ? 1 ? a2 4 可得:三棱柱 A1B1C1 ? ABC 的体积为 1.5 -----------6’ ?? (2)显然 n1 ? ?1,0,0 ? 是平面 BCC1 的一个法向量,----------8’ ?? ? 设 n2 ? ? m, n,1? 为平面 BDC1 的一个法向量,

???? ? ??? ? 3 1 ? ? ? BC1 ? 0 ,? 1 , 3 BD ? ? , ? 2 , ? 2 , 0 ? ---------------9’ ? ? ?

?

?

? ? ? ?? ??? 3 1 ?? n2 ? BD ? m ? n ? 0 ?m ? 1 ? ? ?? ?? ? n1 ? 1, 3,1 ---------------------10’ 2 2 ?? ? ?n ? 3 ? ?n? ? ???? ? ?n ? 3 ? 0 BC1 ? 2 ?? ?? ? 1 5 --------------------------------------------------------------13’ cos n1 , n2 ? ? 5 1? 5

?

?

所以二面角 D ? BC1 ? C 的大小为 arccos

5 --------------------------------------14’ 5

4、(广州增城市 2014 届高三上学期调研) 如图 3,边长为 2 的正方形 ABCD,E,F 分别是 AB,BC 的中点,将△AED, △DCF 分别沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重合于 A? 。 (1)求证: A?D ⊥EF; (2)求二面角 A? ? EF ? D 的平面角的余弦值.
A B A/

E

E

D F B

D F C

图3
(1)证明:∵ABCD 是正方形, ∴DA⊥AE, DC⊥CF, ∴DA/⊥A/E, DA/⊥A/F, 又 A/E∩A/F=A/, ∴DA/⊥平面 A/EF, 又 EF ? 平面 A/EF, ∴DA/⊥EF。 (2)取 EF 的中点 M,连 A/M,DM,则在△A/EF 中, ∵A/E=AE=1,A/F=CF=1, ∴A/M ⊥EF, ∴DE=DF= 22 ?1 ? 5 , ∴DM ⊥EF 所以∠A/MD 是二面角 A? ? EF ? D 的平面角, 在△BEF 中,BE=BF=1,BE⊥BF, 9分 10 分 8分 2分 3分 4分 5分 6分 7分

∴EF= 2 ,∴A/M=

2 ,又 A/D=1, 2

11 分

∵DA/⊥平面 A/EF,∴A/D ⊥A/M,又 A/D=2,∴DM=

A/ M 2 ? A/ D2 =

3 2 , 2

12 分

∴cos∠A/MD=

A/ M 1 ? , DM 3
1 。 3

13 分

所以二面角 A? ? EF ? D 的平面角的余弦值是

14 分

方法 2:在△BEF 中,BE=BF=1,BE⊥BF,∴EF= 2 , ∵A/E= A/F=1,∴A/E2+ A/F2=EF2 ∴A/E⊥A/F,

7分

8分 9分

所以以 A/为坐标系的原点,A/E,A/D,A/F 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则 A/(0,0,0) ,D(0,2,0),E(1,0,0),F(0,0,1) ∴ ED ? (-1,2,0) EF ? (-1,0,1) , , 设平面 DEF 的法向量是 n ? ( x, y, z) ,则 n ● ED ? 0, n ● EF ? 0, 11 分 10 分

??? ?

??? ?

?

?

??? ?

?

??? ?

∴?

? ?? x ? 2 y ? 0 ,取 n =(2,1,2) , ? ?x ? z ? 0

12 分

又 A D ? (0,2,0)是平面 A/EF 的法向量,
/

???? ?

???? ? ? ? ? ???? A/ D?n 1 n 与 A/ D 夹角的余弦值是 cos ? ? ???? ? ? 。 ? A/ D n 3
所以二面角 A? ? EF ? D 的平面角的余弦值是

13 分

1 。 3

14 分

5、(海珠区 2014 届高三上学期综合测试(二)) 如图 5,已知矩形 ABCD 中, AB ? 10 , BC ? 6 , 将矩形沿对角线 BD 把 ?ABD 折起, A 移到 A 点, A1 使 且 1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上. (Ⅰ)求证: BC ? A1D ;

(Ⅱ)求证:平面 A BC ? 平面 A BD ; 1 1 (Ⅲ)求二面角 A1 ? BD ? C 的余弦值. 证明:(Ⅰ)∵ A1 在平面 BCD 上的射影 O 在 CD 上, ∴

AO ⊥平面 BCD , 1

?????????1 分 ?????????2 分

又 BC ? 平面 BCD ,∴ BC ? AO 1 又 BC ? CO, AO I CO ? O ,∴ 1 又 A D ? 平面ACD ,∴ 1 1 (Ⅱ)∵

BC ? 平面 ACD ,?????????3 分 1
??????????4 分 ??????????5 分

BC ? A1D . A1D ? A1B ,

ABCD 为矩形 ,∴

由(Ⅰ)知 A D ? BC, A B I BC ? B ∴ A1D ? 平面 A BC ,??????6 分 1 1 1 , 又 A1D ? 平面 A BD 1 ∴ 平面 A BC ? 平面 A BD 1 1 ????????7 分 ???????8 分

(Ⅲ)∵ A1D ? 平面 A BC ,∴ A1D ? AC ,在 Rt ?A BD 中,由 A D ? 6 , CD ? 10 , 1 1 1 1 得 AC ? 8 , A1O ? 1

24 . 5

????????9 分 ????????10 分

过点 O 作 OE ? BD ,垂足为 E ,连结 A E . 1 由 AO ⊥平面 BCD , AO ⊥ BD 1 1 ∴ BD ⊥平面 A EO , BD ⊥ A E , 1 1 ∴ ?A EO 为二面角 A1 ? BD ? C 的平面角. 1 又 Rt ?DEO : Rt ?DBC , EO = ∴ cos ?A1 EO ?

????????11 分 ????????12 分

BC ? OD 54 30 = , A1 E ? , ??13 分 BD 5 34 34
????????14 分

EO 9 ? . A1 E 25

另解:以点 D 为坐标原点,以 DA 方向为 x 轴,以 DC 方向为 y 轴,以平行 OA1 方向为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 知 D ? 0,0,0? , B ? 6,10,0? , A1 ? 0, ????9 分

???? ? 18 24 ? ? ??? ? ? 18 24 ? , ? ,得 DB= ? 6,10,0 ? , DA1 ? ? 0, , ? ? 5 5 ? ? 5 5 ?
????10 分

?6 x ? 10 y ? 0 ?? ?? ? 设平面 A BD 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ? ,由 ?18 ,得 n1 ? ? 20, ?12,9 ? 24 1 ? 5 y? 5 z ?0 ?
????11 分

而平面 BDC 的法向量为 n2 ? ? 0,0,1? ∴ cos n1 , n2 ?

?? ?

????????12 分

20 ? 0 ? 12 ? 0 ? 9 ?1 202 ? ? ?12 ? ? 92
2

?

9 25 ,
9 25 .

????13 分

由图可知,二面角 A1 ? BD ? C 的余弦值为

????????14 分

6、(惠州市 2014 届高三上学期第二次调研) 四棱锥 P ? ABCD 底面是平行四边形,面 PAB ? 面 ABCD ,

1 AD , ?BAD ? 60。, E,F 分别为 AD,PC 的中点. 2 P (1)求证: EF // 面PAB ; PA ? PB ? AB ?
F

(2)求二面角 D ? PA ? B 的余弦值.

B

C

A

E

D

解: (1) 取PB的中点,连FG,由题设FG / / BC , FG ?

1 BC -----2 分 2
P F

? AE / / BC , AE ?

1 BC ? FG / / AE 2

AEFG是平行四边形 ,所以 EF / / AG ---4 分

G
B C

AG ? 面PAB, EF ? 面PAB? EF // 面PAB ---6 分

A

E

D

(2)取 PA 的中点 N , 连BN , DN ---8 分

?PAB是等边三角形? BN ? PA

P F

? Rt?PBD~Rt?ABD ? PD ? AD
? AN ? PB ?ANB ? ? 是二面角 D ? PA ? B
的平面角 ----------------------------10 分 知 BD ? 面PAB, BD ? BN
A

N

B

C

E

D

在Rt?DBN中,BD ? 3AB ? 2BN --------------------12 分

tan ? ?

BD 5 5 即二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 ---------------14 分 ? 2, cos ? ? 5 BN 5

解法二 (1)

?ABD中,AD ? 2 AB, ?BAD ? 600 ,由余弦定理 BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD ? cos 600 ? AD 2 ? AB 2 ??ABD ? 900
面PAB ? 面ABCD, BD ? AB ? DB ? 面PAB ………………………………2 分
建系 {BA, BD, z} 令 AB ? 2 所以 BD ? AB

??? ??? ? ?

A ? 2, 0, 0 ? , D 0, 2 3, 0 , P 1, 0, 3 , C ?2, 2 3, 0

?

? ?

? ?

?

??? 1 ??? ???? 1 ? ? 3 EF ? AP ? DC ? ?3, 0, 3 ? ? 3, 0,1 2 2 2

?

? ?

?

?

?

……………………..4 分

因为平面 PAB 的法向量 n2 ? ? 0,1,0 ?

?? ?

??? ?? ? ? EF ? n2 ? 0? EF / /面PAB …………..6 分
(2) 设平面 PAD 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ?

z
P F B

??

??? ? ???? AP ? ?1, 0, 3 , AD ? ?2, 2 3, 0 …………8 分

?

?

?

?

C

?? ??? ? ? n1 ? AP ? ? x ? 3z ? 0 ? …………10 分 ? ?? ???? n1 ? AD ? ?2 x ? 2 3 y ? 0 ? ? ?? 令 x ? 3 所以 n1 ? 3,1,1 …………12 分

A

x

E

D

y

?

?

平面 PAB 的法向量 n2 ? ? 0,1,0 ? ……13 分

?? ?

?? ?? ? 1 5 cos ? n1 , n2 ?? ,即二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 5 5
说明:其他建系方法酌情给分

.................14 分

7、(江门市 2014 届高三调研) 如图 2,直三棱柱 ABC? A1 B1C1 中, CA ? CB , CA ? CB ? 1 ,棱

C1 A1
M

B1

AA1 ? 2 , M 、 N 分别是 A1 B1 、 A1 A 的中点.

N C
A

图2

B

⑴ 求证: C1 N ? 平面 BCN ; ⑵ 求直线 B1C 与平面 C1 MN 所成角 ? 的正弦值.

证明与求解:⑴ CA ? AN ? NA1 ? A1C1 ? 1 , AA1 ? 底面, ?ANC ? ?A1 NC1 ?

?
4

?CNC1 ? ??1 分,
BCN ??5 分

?
2

, 1 N ? NC ??2 分, 因为 CA ? CB , C BC ? CC1 ,AC ? CC1 ? C ,

所以 BC ? 平面 CAA C1 ??3 分, BC ? C1 N ??4 分,因为 BC ? NC ? C ,所以 C1 N ? 平面 1 ⑵ (方法一) C 为原点, 以 CA、 CB、 1 在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系?? CC 6 分, 则 C (0 , 0 , 0) 、 C1 (0 , 0 , 2) 、 B1 (0 , 1 , 2) ??7 分,

1 1 M ( , , 2) 、 N (1 , 0 , 1) ??8 分, 2 2 1 1 C1 M ? ( , , 0) 、 C1 N ? (1, 0 , ? 1) 、 CB1 ? (0 , 1 , 2) ??9 分, 2 2 ?n ? C1 M ? 0 ? 设平面 C1 MN 的一个法向为 n ? (a , b , c) ,则 ? ??10 分, ?n ? C1 N ? 0 ? ?a ? b ? 0 即? ,取 n ? (1 , ? 1 , 1) ??11 分, ?a ? c ? 0 | n ? CB1 | 15 所以 sin ? ?| cos ? n , CB1 ?|? ??12 分, ? ??13 分。 15 | n || CB1 |

A1 M AN ? 2 , ?BAN ? ?NA1 M ? , ?BAN ~ ?NA1 M ??6 分,所以 ? ? 2 A1 N AB 2 ? ?BNA ? ?A1 MN , ?MNB ? , BN ? MN ??7 分,由⑴知 BN ? C1 N , C1 N ? MN ? N , 2 所以 BN ? 平面 C1 MN ??8 分。 延长 B1 B 到 B2 ,延长 C1C 到 C 2 ,使 BB2 ? CC 2 ? 2 ,连接 BC2 、 NC 2 ??9 分,在 ?NBC2
(方法二) 中, BN ? 3 , BC2 ?
2

5 , NC2 ? 10 ??10 分,
2 2

BN ? BC2 ? NC 2 15 ??11 分, ? ? cos?NBC2 ? 15 2BN ? BC2
BN 是 平 面 C1 MN 的 法 向 量 , 由 所 作 知 BC2 // B1C , 从 而 ? ? ?NBC 2 ?

?
2

,所以

sin ? ? ? cos?NBC2 ?

15 ??13 分。 15

其他方法,例如将直三棱柱补成长方体,可参照给分。 8、(汕头市潮师高级中学 2014 届高三上学期期中) 如图所示,在三棱锥 P- 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥AC, ABC

PA=AB=2,AC=1. (1)证明 PC⊥AB;
(2)求二面角 A-PC-B 的余弦值。

(1)证明:∵PA⊥平面 ABC,AB ? 平面 ABC

∴AB⊥PA

∵AB⊥AC 且 AC 与 PA 是平面 PAC 的两条相交直线 ∴PC⊥AB -----------5 分

(2)建立如图所示的空间直角坐标系, A 则 (0,0,0) B(2,0,0), C (0,1,0), P(0,0,2)。 -------7 , 分 平面 PAC 的一个法向量 m=(1,0,0). -------8 分

??? ? ??? ? PC =(0,1,-2), CB =(2,-1,0).
??? ? ?n ? PC ? 0 ?y-2z=0, ? ? 则 ? ???? 即? ? ?n?CB ? 0 ?2x-y=0. ?

-------9 分

设 n=(x,y,z)是平面 PCD 的一个法向量, 不妨令 z=1,则 n=(1,2,1).-------12 分

于是 cos〈m,n〉=

1 6 m· n = = |m|· |n| 6 6

-----------13 分

sj.fjjy.org

∴二面角 A-PC-B 的余弦值为

6 。--------------14 分 6

9、(汕头四中 2014 届高三第二次月考)如图,已知三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA, OB, OC 两两垂直, 且 OA ? 1 , OB ? OC ? 2 , E 是 OC 的中点. (1)求 O 点到面 ABC 的距离; (2)求二面角 E ? AB ? C 的正弦值. 解: (1)取 BC 的中点 D ,连 AD 、 OD O A 、 B A E A C A A

? OB ? OC , 则OD ? BC
AD ? BC , ? BC ? 面OAD.过O点作OH ? AD于H ,
则 OH ? 面 ABC , OH 的长就是所要求的距离.

BC ? 2 2, OD ? OC 2 ? CD 2 ? 2.

?????????3 分

? OA ? OB 、 OA ? OC ,? OA ? 平面OBC , 则OA ? OD.
AD ? OA2 ? OD 2 ? 3 ,在直角三角形 OAD 中,有 OH ? OA ? OD ? 2 ? 6 . ?6 分
AD 3 3

(另解:由 V ?

1 1 2 6 S ?ABC ? OH ? OA ? OB ? OC ? 知, OH ? .) 3 6 3 3

(2)连结 CH 并延长交 AB 于 F ,连结 OF 、 EF .

? OC ? 面OAB,? OC ? AB.又 ? OH ? 面ABC ,? CF ? AB, EF ? AB,
则 ?EFC 就是所求二面角的平面角. 作 EG ? CF 于 G ,则 EG ? ?????9 分

1 6 OH ? . 2 6

在直角三角形 OAB 中, OF ?

OA ? OB 2 ? , AB 5
2 2

在直角三角形 OEF 中, EF ? OE ? OF ? 1 ?

4 3 ? , ?????12 分 5 5

6 EG 30 30 7 6 30 或表示为 arccos sin ?EFG ? ? 6 ? , ?EFG ? arcsin .( ) ?????14 分 3 EF 18 ,故所求的正弦值是18 18 18 5
方法二: (1)以 O 为原点, OB 、 OC 、 OA 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系. 则有 A(0, 0,1) 、 B (2, 0, 0) 、 C (0, 2, 0) 、 E (0,1, 0). ??2 分 设平面 ABC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ), 则由 n1 ? AB知 : n1 ? AB ? 2 x ? z ? 0; 由 n1 ? AC知 : n1 ? AC ? 2 y ? z ? 0.取 n1 ? (1,1, 2) ,??4 分

??

??

??? ?

?? ??? ?

??

????

?? ????

??

?? ??? ? n1 ? OA 2 6 则点 O 到面 ABC 的距离为 d ? ? . ??6 分 ?? ? 3 1?1? 4 n1

? ?? ? ?? n ? n1 1 ? 2 ? 4 7 7 6 ? ? 则 cos < n, n1 > ? ? ?? ? . 18 9? 6 3 6 n n1
结合图形可知,二面角 E ? AB ? C 的正弦值是

?????13 分

30 18

?????14 分

10、(佛山市石门中学 2014 届高三第二次检测) 已知多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1, F 为 CE 的中点。 (1)求证:AF⊥CD; (2)求直线 AC 与平面 CBE 所成角的大小的余弦值。

(1)证明:取 CD 的中点 G,连接 AG、GF,则 GF//DE ∵AC=AD,∴AG⊥CD ????2 分 ∵DE⊥平面 ACD ∴DE⊥CD ∴GF⊥CD ????4 分 ∵ AG ? GF ? G ∴CD⊥平面 AGF ∵AF ? 平面 AGF ∴AF⊥CD ????6 分 (2)解:分别以 GD 、 GF 、 GA 为 x 、 y 、 z 轴建立如图空间直 角坐标系 G ? xyz ,

????

??? ?

??? ?

则B(0,1, 3), C (?1, 0, 0), E (1, 2, 0) ??? ? ??? ? ??? ? CB ? (1,1, 3), CE ? (2, 2, 0), CA ? (1, 0, 3) ? ??? ? ? ?n ? CB ? x ? y ? 3z ? 0 ? 设平面CBE的法向量为n ? ( x, y, z ), 则 ? ? ??? ? ?n ? CE ? 2 x ? 2 y ? 0 ? ? 设x ? 1, 则n ? (1, ?1, 0) ????9分 ? ? ?? ? ? ? ?? ? C A? n 2 ????12 分 ? ? ? c o s? C A ,n ? ? ? ? ?? | C A |? | n | 4
设直线 AC 与平面 CBE 所成角为 ? ,则 cos? ? 1 ? cos ? CA, n ? ?
2

14 4

∴直线 AC 与平面 CBE 所成角的余弦值为

14 4

????14 分


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