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四川省绵阳南山中学2014-2015学年高二数学12月月考试题 理

时间:2015-01-04


数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共计 40 分.在每小题列出的四个选项中,只 有一项是最符合题目要求的. 1. 某企业共有职工 150 人,其中高级职称 15 人,中级职称 45 人,初级职称 90 人.现采用 分层抽样抽取容量为 30 的样本,则抽取的各职称的人数分别为( A. 5,10,15 B. 3,9,18 C. 3,10,17 D

5,9,16 ) )

2.抽查 10 件产品,设事件 A :至少有两件次品,则 A 的对立事件为( (A)至多两件次品 (B)至少两件正品 (C)至多两件正品 (D)至多一件次品 A. ? 1 4.设 P 是双曲线

3.若直线 ?a ? 1?x ? 2 y ? 0 与直线 x ? ay ? 1 互相垂直,则实数 a 的值等于( B. 0 C. 1 D. 2

)

x2 y2 ? ? 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 , F1 , F2 分别 9 a2
) D. 9 )

是双曲线的左,右焦点,若 PF 1 ? 3 ,则 PF2 ? ( A. 1或5 B. 6 C. 7

0 ? ? x ? ?1 ? t cos50 5.直线的参数方程为 ? ( t 为参数),则直线的倾斜角为( 0 ? ? y ? ?t sin 50

A. 50

?

B. 40

?

C. 140

?

D. 130

?

6.PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,一般情况下 PM2.5 的浓度越大, 大气环境质量越差.下边的茎叶图表示的是某市区甲乙两个监测站某 10 日 内每天的 PM2.5 浓度读数(单位: ? g / m ),则下列说法正确的是(
3



A、这 10 日内乙监测站读数的众数与中位数相等 B、这 10 日内甲、乙监测站读数的中位数中,乙的较大 C、这 10 日内甲、乙监测站读数的极差相等 D、这 10 日内甲、乙监测站读数的平均数相等 7 .设点 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点, I 为 a2 b2

?PF1 F2 的内心,若 S ?IPF1 ? S ?IPF2 ? 2S ?IF1F2 ,则该椭圆的离心率是( )

-1-

A.

1 4
2

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2

8.点 P 为抛物线: y ? 4 x 上一动点,定点 A(2,4 5 ) ,则 PA 与 P 到 y 轴的距离之和的最 小值为( A. 8 ) B. 10 C. 9 D. 5

9. 长为 3 的线段 AB 的端点 A, B 分别在 x 轴, y 轴上移动, AC ? 2CB ,则点 C 的轨迹是 ( ) A.线段 C.椭圆 B.圆 D.双曲线

10.在区间 ?1,5? 和 ?2,4? 上分别取一个数,记为 a , b ,则方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上 a2 b2

且离心率小于

3 的椭圆的概率为( 2
B.

)

A.

1 2
2 2

15 32

C.

17 32


D.

31 32

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共计 20 分. 11.椭圆 25x ? 9 y ? 225的长轴长为 12.已知圆 C 的参数方程为 ?

? x ? cos? ( ? 为参数),以原点为极点, x 轴的正半轴为极 ? y ? sin ? ? 2

轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? ? cos? ? 1,则直线 l 截圆 C 所得的弦长是 ________. 13. 执行下图的程序框图,若输入的 x ? 2 ,则输出的 y 的值为

-2-

开始

输入 x

x=y 否

y=2x+1

∣x-y∣>8 是 输出 y

结束 14.抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , M 是抛物线 C 上的点,若三角形 OFM 的外 接圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆的面积为 36? ,则 p 的值为_________ . 15.以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,PA ? PB ? k , 则 动 点 P 的 轨 迹 为 双 曲 线 ; ② 已 知 圆 C 上 一 定 点 A 和 一 动 点 B , O 为 坐 标 原 点 ,若

OP ?

1 x2 y2 ? OA ? OB 则动点 P 的轨迹为圆; ③0 ? ? ? , 则双曲线 C1 : ? ?1与 2 4 cos2 ? sin 2 ?

?

?

C2 :

y2 x2 ? ? 1 的离心率相同;④已知两定点 F1 (?1,0), F2 (1,0) 和一动点 P , sin 2 ? sin 2 ? tan 2 ?

2 P 的轨迹关于原点对称. 若 | PF 1 | ? | PF 2 |? a (a ? 0) ,则点

其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号). 三、解答题:本大题共 4 小题,合计 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.已知圆 C 经过点 A(2, ?1) ,和直线 x ? y ? 1 相切,且圆心在直线 y ? ?2 x 上. (1)求圆 C 的方程; (2)已知直线 l 经过原点,并且被圆 C 截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程.

17. (本题满分 12 分) 20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示.

-3-

(1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)分别求出成绩落在 ?50,60? 与 ?60,70? 中的学生人数; (3)从成绩在 ?50,70? 的学生中任选 2 人,求此 2 人的成绩都在 ?60,70? 中的概率. 18.一动圆与圆 O1 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 外切,与圆 O2 : ( x ? 2)2 ? y2 ? 27 内切. (I)求动圆圆心 M 的轨迹方程. (II)试探究圆心 M 的轨迹上是否存在点 P , 使直线 PO1 与 PO2 的斜率 kPO1 ? kPO2 ? 1?若存在, 请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)
2 19. 已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) , F 为抛物线 C 的焦点, A 为抛物线 C 上的动点,过

A 作抛物线准线 l 的垂线,垂足为 Q .
(1)若点 P(0,2) 与点 F 的连线恰好过点 A ,且 ?PQF ? 90 ,求抛物线方程;
?

(2)设点 M (m,0) 在 x 轴上,若要使 ?MAF 总为锐角,求 m 的取值范围.

绵阳南山中学高 2016 届 2014 年 12 月月考数学试题参考答案 1-5:BDCCD 6-10:ABACB 11.10 12. 2 13.23 14.8 15.②③④

【解析】对于①,由双曲线的定义可知,动点 P 的轨迹为双曲线的一支,所以①不正确;对 于 ②,由 OP ?

1 (OA ? OB) , 可知点 P 为 弦 AB 的 中点,连 结 CP ,则有 CP ? AB 即 2

CP ? PA ,而 A, C 均为定点,所以 P 点的轨迹是以 AC 为直径的圆,所以②正确;对于③,
设 C1 , C2

的 离 心 率 分 别 为

e1 , e2

cos2 ? ? sin 2 ? 1 , 则 有 e1 ? ? cos? cos ?


-4-

sin 2 ? (cos 2 ? ? sin 2 ? ) sin ? | | 2 1 sin ? ? sin ? tan ? cos ? cos ? ? ? e1 ,所以③正确; e2 ? ? ? cos ? sin ? sin ? sin ?
2 2 2




2











P ( x,

y ) 则 由 ,

| PF1 | ? | PF2 |? a2 (a ? 0)





(x ?

1 ) ? y2

?

x ( ?2 1 y ) ?2 , 将 a ?2 P?(? x ?,

代 y ) 入 等 式 左 边 可 得

(? x ? 1) 2 ? (? y ) 2 ? (? x ? 1) 2 ? (? y ) 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? a 2 ,所以动点 P
的轨迹关于原点对称,即④正确;综上可知,真命题的序号是②③④. 考点:1.双曲线的定义;2.动点的轨迹问题;3.双曲线的离心率. 16(1)设圆心的坐标为 C (a,?2a) , 则 (a ? 2) ? (?2a ? 1) ?
2 2

| a ? 2a ? 1 | 2

,化简得 a 2 ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1 . 2 分

? C (1,?2) ,半径 r ?| AC |? (1 ? 2) 2 ? (?2 ? 1) 2 ? 2 .

4分 5分

? 圆 C 的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 .

(2) ①当直线 l 的斜率不存在时, 直线 l 的方程为 x ? 0 , 此时直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2, 满足条件。 7分 ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ,由题得

|k ?2|
2

3 ? 1 ,解得 k ? ? , 4 1? k
9分

3 ? 直线 l 的方程为 y ? ? x . 4
综上所述:直线 l 的方程为 x ? 0 或 y ? ? 17. (1)据直方图知组距为 10 ,由 (2a ? 3a ? 7a ? 6a ? 2a) ?10 ? 1 , 解得 a ?

3 x. 4

10 分

1 ? 0.005 . 200

2分

(2)成绩落在 ?50,60? 中的学生人数为 2 ? 0.005 ?10 ? 20 ? 2 , 成绩落在 ?60,70? 中的学生人数为 3 ? 0.005 ?10 ? 20 ? 3 . 5分

(3)记成绩落在 ?50,60? 中的 2 人为 A1,A2,成绩落在 ?60,70? 中的 3 人为 B1,B2,B3,则从 成绩在[50,70)的学生中任选 2 人的基本事件共有 10 个, 即(A1,A2) , (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,B3) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A2,B3) , (B1,B2) , (B1,B3) ,

-5-

(B2,B3) .

8分

其中 2 人的成绩都在 ?60,70? 中的基本事件有 3 个,即(B1,B2) , (B1,B3) , (B2,B3) . 9分 故所求概率为 P ?

3 . 10

10 分

18 解: (1)设动圆圆心为 M ( x,y ) ,半径为 R . 由题意,得 MO1 ? 3 ? R , MO2 ? 3 3 ? R , (1 分) (3 分)

∴ MO1 ? MO2 ? 4 3 , 由椭圆定义知 M 在以 O1,O2 为焦点的椭圆上,
,c ? 2 ,∴b ? a ? c ? 12 ? 4 ? 8 . 且a ?2 3
2 2 2

(4 分)

∴ 动圆圆心 M 的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? 1. 12 8

(5 分)

(II) 由(I)知动圆圆心 M 的轨迹是椭圆,它的两个焦点坐标分别为 O1 (?2,0) 和 O2 (2,0) 设 P( x, y ) 是椭圆上的点,由 kPO1 ? kPO2 ? 1得
2 2

y y ? ? 1, ( x ? ?2) x?2 x?2

(8 分)

即 x ? y ? 4 ( x ? ?2) ,这是实轴在 x 轴,顶点是椭圆的两个焦点的双曲线,它与椭圆的交 点即为点 P。由于双曲线的两个顶点在椭圆内,根据椭圆和双曲线的对称性可知,它们必有四 个交点. 即圆心 M 的轨迹上存在四个点 P ,使直线 PO1 与 PO2 的斜率 kPO1 ? kPO2 ? 1. (10 分)

19.由题意知: | AQ |?| AF | ,? ?PQF ? 90 ,? A 为 PF 的中点,
?

p ? F ( ,0), 2

p p ? A( ,1) ,且点 A 在抛物线上,代入得 1 ? 2 p ? ? p ? 2 4 4
4分

所以抛物线方程为 y 2 ? 2 2x . (2)设 A( x, y ) , y ? 2 px ,
2

根据题意: ?MAF 为锐角 ? AM ? AF ? 0 且 m ?

p 2

AM ? (m ? x, ? y ), AF ? (

p ? x, ? y ) , 2 p p pm AM ? AF ? 0 ? ( x ? m)( x ? ) ? y 2 ? 0 ? x 2 ? ( ? m) x ? ? y2 ? 0 2 2 2

-6-

? y 2 ? 2 px , 所以得 x 2 ? (

3p pm ? m) x ? ? 0 对 x ? 0 都成立 6分 2 2 3p pm 3 p m 2 mp 3p m 2 2 ? m) x ? ? (x ? ? ) ? ?( ? ) ?0 令 f ( x) ? x ? ( 2 2 4 2 2 4 2 对 x ? 0 都成立 7分 m 3p 3p mp 3p m 2 ? 0 ,即 m ? ?( ? ) ? 0 成立, (1)若 ? 时,只要使 2 4 2 2 4 2 p 9p 3p 2 2 ?m? 整理得: 4m ? 20 mp ? 9 p ? 0 ? ,且 m ? , 2 2 2 3p 9p ?m? 所以 . 8分 2 2 m 3p 3p mp ? 0 ,即 m ? ? 0 成立,得 m ? 0 (2)若 ? ,只要使 2 4 2 2 3p 所以 0 ? m ? 9分 2 9p p 由(1) (2)得 m 的取值范围是 0 ? m ? 且 m ? . 10 分 2 2

-7-


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