nbhkdz.com冰点文库

2014届高三数学一轮复习《导数在研究函数中的应用》理 新人教B版


A

[第 14 讲

导数在研究函数中的应用]

(时间:45 分钟 分值:100 分)

基础热身 3 2 1.函数 f(x)=x -3x +1 的单调减区间为( ) A.(2,+∞) B.(-∞,2) C.(-∞,0) D.(0,2) x 2.函数 f(x)=(x-3)e 的单调递增区间是( )

A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 3.若函数 y=f(x)的导函数 在区间[a,b]上是增函数,则函数 y=f(x)在区间[a,b] ... 上的图象可能是( )

图 K14-1 3 2 4.[2013·潍坊模拟] 函数 f(x)=x +ax +3x-9,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值, 则 a=( ) A.2 B.3 C.4 D.5

能力提升 ax 5.设 a∈R,若函数 f(x)=e +3x,x∈R 有大于零的极值点 ,则( ) A.a>-3 B.a<-3 1 1 C.a>- D.a<- 3 3 x 6.[2013·陕西卷] 设函数 f(x)=xe ,则( ) A.x=1 为 f(x)的极大值点 B.x=1 为 f(x)的极小值点 C.x=-1 为 f(x)的极大值点 D.x=-1 为 f(x)的极小值点 7.[2013·重庆卷] 设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 y=(1- x)f′(x)的图象如图 K14-2 所示,则下列结论中一定成立的是( )

图 K14-2 A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)

B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 2x+1 8.对函数 f(x)= 2 ,下列选项正确的是( ) x +2 1 A.函数有极小值 f(-2)=- ,极大值 f(1)=1 2 1 B.函数有极大值 f(-2)=- ,极小值 f(1)=1 2 1 C.函数有极小值 f(-2)=- ,无极大值 2 D.函数有极大值 f(1)=1,无极小值 3 2 2 2 9.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,若 f(x)在区间(-1,0)上单调递减,则 a +b 的 取值范围为( ) ?9 ? ? 9? A.? ,+∞? B.?0, ? 4 ? ? ? 4? ?9 ? ? 9? C.? ,+∞? D.?0, ? 5 ? ? ? 5? 3 2 10.函数 f(x)=x -15x -33x+6 的单调减区间为________. 2 x +a 11.若函数 f(x)= 在 x=1 处取极值,则 a=________. x+1 12.函数 f(x)=xlnx 的单调递增区间是________. sinx 13.函数 f(x)= 的单调递增区间是________. 2+cosx 2 14.(10 分)[2013·昌平二模] 已知函数 f(x)=4lnx+ax -6x+b(a,b 为常数),且 x =2 为 f(x)的一个极值点. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)若函数 y=f(x)有 3 个不同的零点,求实数 b 的取值范围.

15.(13 分)设 a>0,求函数 f(x)= x-ln(x+a),x∈(0,+∞)的单调区间.

难点突破 2 2 2 x 16.(12 分)已知函数 f(x)=(x +ax-2a +3a)e (x∈R),其中 a∈R 且 a≠ ,求函数 3 f(x)的单调区间与极值.

课时作业(十四)B

[第 14 讲 导数在研究函数中的应用]

(时间:45 分钟 分值:100 分)

基础热身 1.[2013·合肥质检] 已知函数 f(x)的导函数的图象如图 K14-3 所示,若△ABC 为锐 角三角形,则一定成立的是( )

图 K14-3 A.f(sinA)>f(cosB) B.f(sinA)<f(cosB) C.f(s inA)>f(sinB) D.f(cosA)<f(cosB) 2.对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( ) A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1) 1 2 3.若 f(x)=- (x-2) +blnx 在(1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( 2 A.[-1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1) 1 4.设函数 f(x)= x-lnx(x>0),则 y=f(x)( ) 3 ?1 ? A.在区间? ,1?,(1,e)内均有零点 ?e ? ?1 ? B.在区间? ,1?,(1,e)内均无零点 ?e ? ?1 ? C.在区间? ,1?内有零点,在区间(1,e)内无零点 ?e ? ?1 ? D.在区间? ,1?内无零点,在区间(1,e)内有零点 ?e ?

)

能力提升 5.[2013·瑞安质检] 已知函数 f′(x),g′(x)分别是二次函数 f(x)和三次函数 g(x) 的导函数,它们在同一坐标系下的图象如图 K14-4 所示,设函数 h(x)=f(x)-g(x),则 ( )

图 K14-4 A.h(1)<h(0)<h(-1) B.h(1)<h(-1)<h(0) C.h(0)<h(-1)<h(1) D.h(0)<h(1)<h(-1) 6.函数 f(x)=x +bx +cx+d 的大致图象如图 K14-5 所示,则 x1+x2等于(
3 2 2 2

)

图 K14-5 8 10 B. 9 9 16 4 C. D. 9 5 3 2 2 7.[2013·吉林质检] 已知函数 f(x)=x +ax +bx-a -7a 在 x=1 处取得极大值 10, A. 则 的值为(

a b

)

2 A.- B.-2 3 2 C.-2 或- D.不存在 3 8.[2013·绥化一模] 已知函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且当 x∈(-∞, 0.3 0.3 0)时, f(x)+xf′(x)<0 成立(其中 f′(x)是 f(x)的导函数), 若 a=(3 )·f(3 ), b=(log 1 1 ? ? ? ? ) π 3)·f(logπ 3),c=?log3 ?·f?log3 ?,则 a,b,c 的大小关系是 ( 9? ? 9? ? A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.a>c>b 9.[2013·太原 三模 ] 已知函数 f(x+1)是偶函数,且 x>1 时,f′(x)<0 恒成立,又 f(4)=0, 则(x+3)f(x+4)<0 的解集为( ) A.(-∞,-2)∪(4,+∞) B.(-6,-3)∪(0,4) C.(-∞,-6)∪(4,+∞) D.(-6,-3)∪(0,+∞) 10.已知函数 f(x)的自变量取值区间为 A,若其值域也为 A,则称区间 A 为 f(x)的保值 区间.若 g(x)=x+m-lnx 的保值区间是[2,+∞),则 m 的值为________. 3 2 11.[2013·安徽示范高中联考] 若函数 f(x)=x +x +mx+1 对任意 x1,x2∈R 满足(x1 -x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则实数 m 的取值范围是________. 12.函数 f(x)= 的单调递减区间是________. lnx 2 13. 若函数 f(x)=mx +lnx-2x 在定义域内是增函数, 则实数 m 的取值范围是________. ? 2 2 1? ax 14.(10 分)[2013·邯郸一模] 已知函数 f(x)=?x - x+ ?e (a>0).

x

?

a

a?

(1)当 a=1 时,求函数 f(x)的图象在点 A(0,f(0))处的切线方程;

(2)讨论函数 f(x)的单调性.

15.(13 分)[2013·朝阳二模] 设函数 f(x)=alnx+

2a

2

x

(a≠0).

(1)已知曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线 l 的斜率为 2-3a,求实数 a 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调性; (3)在(1)的条件下,求证:对于定义域内的任意一个 x,都有 f(x)≥3-x.

难点突破 2 16.(12 分)[2013·吉林质检] 设函数 f(x)=(x-1) +mlnx,其中 m 为常数.

1 (1)当 m> 时,判断函数 f(x)在定义域上的单调性; 2 (2)若函数 f(x)有极值点,求实数 m 的取值范围及 f(x)的极值点; 1 1 (3)当 n≥3,n∈N 时,证明不等式 2<ln(n+1)-lnn< .

n

n

课时作业(十四)A 【基础热身】 2 1.D [解析] 令 f′(x)=3x -6x<0,解得 0<x<2,故选 D. x x x 2.D [解析] f′(x)=(x-3)′e +(x-3)(e )′=(x-2)e , 令 f′(x)>0,解得 x>2, 3.A [解析] 因为函数 y=f(x)的导函数 ...y′=f′(x)在区间[a,b]上是增函数,即在 区间[a,b]上各点处的斜率 k 是递增的,由图易知选 A. 2 4.D [解析] 因为 f′(x)=3x +2ax+3,且 f(x)在 x=-3 时取得极值,所以 f′(- 3)=3×9+2a×(-3)+3=0,解得 a=5,故选 D. 【能力提升】 ax 5.B [解析] f′(x)=3+ae ,若函数在 x∈R 上有大于零的极值点,即 f′(x)=3+ 1 ? 3? ax ax aeax=0 有正根. 当有 f′(x)=3+ae =0 成立时, 由于 e >0, 显然有 a<0, 此时 x= ln?- ?.

a ? a?

由 x>0 得到参数 a 的范围为 a<-3. x x x x 6.D [解析] f′(x)=e +xe =e (x+1),因为 e >0 恒成立,当 f′(x)>0 时,x>-1, 函数 f(x)为单调增函数;当 f′(x)<0 时,x<-1,函数 f(x)为单调减函数.所以 x=-1 为极小值点.故选 D. 7.D [解析] 在 x=-2 左侧附近时,由图象知,y=(1-x)·f′(x)>0,则 f′(x) >0,在 x=-2 右侧附近时,由图象知,y=(1-x)f′(x)<0,则 f′(x)<0,所以函数在 x=-2 处取得极大值;在 x=1 左侧附近时,由图象知,y=(1-x)f′(x)<0,f′(x)<0, 在 x=1 右侧附近时,由图象知,y=(1-x)f′(x)>0,则 f′(x)<0,所以函数在 x=1 处 没有极值;在 x=2 左侧附近时,由图象知,y=(1-x)f′(x)>0,则 f′(x)<0,在 x=2 右侧附近时,由图象知,y=(1-x)f′(x)<0,则 f′(x)>0,所以函数在 x=2 处取得极 小值. ?2x+1?′=-2(x+2)(x-1)=0,得 x=-2 或 x=1. 8.A [解析] 令 f′(x)=? 2 ? 2 2 (x +2) ? x +2 ? 当 x<-2 时 f′(x)<0,当-2<x<1 时 f′(x)>0,当 x>1 时 f′(x)<0,故 x=-2 是函数的极 1 小值点且 f(-2)=- ,x=1 是函数的极大值点且 f(1)=1. 2 9.C [解析] 根据三次函数的特点,函数 f(x)在(-1,0)上单调递减等价于函数 f(x) 2 的导数 f′(x)=3x +2ax+b 在区间(-1,0)上小于或等于零恒成立,即 3-2a+b≤0 且 b≤0,把点(a,b)看作点的坐标,则上述不等式组表示的区域如图.

根据 a +b 的几何意义得,最小值就是坐标原点到直线 3-2a+b=0 的距离的平方,即 9 2 2 (a +b )min= . 5

2

2

10.(-1,11) [解析] f′(x)=3x -30x-33=3(x-11)(x+1), 由(x-11)(x+1)<0 得 f(x)的单调减区间为(-1,11). 2 2x(x+1)-(x +a) 3-a 11.3 [解析] f′(x)= ,f′(1)= =0? a=3. 2 (x+1) 4 1 ?1 ? ?1 ? 12.? ,+∞? [解析] 由 f′(x)=lnx+1>0 得 x> ,故 f(x)的增区间为? ,+∞?. e e ? ? ?e ? 2 π 2 π ? ? (k∈Z) 13. ?2kπ - ,2kπ + ? [ 解 析 ] f′(x) = 3 3 ? ? (2+cosx)cosx-sinx(-sinx) 2cosx+1 1 = 2 2>0,即 cosx>- ,结合三角函数图象或 (2+cosx) (2+cosx) 2 2π 2π 单位圆中的三角函数线知道,2kπ - <x<2kπ + (k∈Z),即函数 f(x)的单调递增区间 3 3 2 π 2 π ? ? 是?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z). 3 3 ? ? 14.解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞). 4 ∵f′(x)= +2ax-6,

2

x

∴f′(2)=2+4a-6=0,则 a=1. 2 (2)由(1)知 f(x)=4lnx+x -6x+b, 2 4 2x -6x+4 2(x-2)(x-1) ∴f′(x)= +2x-6= = ,

x x 由 f′(x)>0 可得 x>2 或 0<x<1,由 f′(x)<0 可得 1<x<2. ∴函数 f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2,+∞),

x

单调递减区间为(1,2). (3)由(2)可知,函数 f(x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,在(2,+∞)单调递 增,且当 x=1 或 x=2 时,f′(x)=0. ∴f(x)的极大值为 f(1)=4ln1+1-6+b=b-5, f(x)的极小值为 f(2)=4ln2+4-12+b=4ln2-8+b, ? ?f(1)=b-5>0, 由题意可知? ?f(2)=4ln2-8+b<0. ? 则 5<b<8-4ln2. 1 1 15.解:f′(x)= - (x>0). x + a 2 x 当 a>0,x>0 时,f′(x)>0?x +(2a-4)x+a >0,f′(x)<0?x +(2a-4)x+a <0. 2 2 2 2 (1)当 a>1 时,Δ =(2a-4) -4a =16-16a<0,对? x>0,有 x +(2a-4)x+a >0,即 f′(x)>0,此时 f(x)在(0,+∞)内单调递增. 2 2 (2)当 a=1 时,对 x≠1,有 x +(2a-4)x+a >0,即 f′(x)>0,仅仅在 x=1 处导数等 于零,故函数 f(x)在(0,+∞)内单调递增. 2 2 (3)当 0<a<1 时,令 f′(x)>0,即 x +(2a-4)x+a >0,解得 x<2-a-2 1-a或 x>2 -a+2 1-a.而在 0<a<1 时, 2-a-2 1-a>0, 因此, 函数 f(x)在区间(0, 2-a-2 1-a) 内单调递增,在区间(2-a+2 1-a,+∞)内也单调递增,在区间(2-a-2 1-a,2-a +2 1-a)内单调递减. 综上,当 a≥1 时,函数 f(x)的单调递增区间是(0,+∞);当 0<a<1 时,函数的单调 递增区间是(0, 2-a-2 1-a)和(2-a+2 1-a, +∞), 单调递减区间是(2-a-2 1-a, 2-a+2 1-a). 【难点突破】 2 2 x 16.解:f′(x)=[x +(a+2)x-2a +4a]e , 2 令 f′(x)=0 解得 x=-2a 或 x=a-2.由 a≠ 知-2a≠a-2. 3
2 2 2 2

以下分两种情况讨论. 2 (1)若 a> ,则-2a<a-2. 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-2a) -2a (-2a,a-2) a-2 (a-2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以 f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)是增函数,在(-2a,a-2)内是减函数,所 -2a 以函数 f(x)在 x=-2a 处取得极大值 f(-2a),且 f(-2a)=3ae ,函数 f(x)在 x=a-2 a-2 处取得极小值 f(a-2),且 f(a-2)=(4-3a)e . 2 (2)若 a< ,则-2a>a-2, 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,a-2) a-2 (a-2,-2a) -2a (-2a,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以 f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)内是增函数,在(a-2,-2a)内是减函数, a-2 所以函数 f(x)在 x=a-2 处取得极大值 f(a-2),且 f(a-2)=(4-3a)e ;在 x=-2a 处 -2a 取得极小值 f(-2a),且 f(-2a)=3ae . 课时作业(十四)B 【基础热身】 1.A [解析] 由导函数图象可知,x>0 时,f′(x)>0,即 f(x)单调递增,又△ABC 为 π π π ?π ? 锐角三角形,则 A+B> ,即 >A> -B>0,故 sinA>sin? -B?>0,即 sinA>cosB>0,故 2 2 2 ?2 ? f(sinA)>f(cosB),选 A. 2.C [解析] 依题意,当 x>1 时,f′(x)≥0,函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数(或 常数函数);当 x<1 时,f′(x)≤0,f(x)在(-∞,1)上是减函数(或常数函数),故 f(0)≥ f(1),f(2)≥f(1),故 f(0)+f(2)≥2f(1). 3. C [解析] 由题意可知 f′(x)=-(x-2)+ ≤0 在 x∈(1, +∞)上恒成立, 即 b≤x(x
2

b x

-2)在 x∈(1, +∞)上恒成立, 由于φ (x)=x(x-2)=x -2x 在(1, +∞)上的值域是(-1, +∞),故只要 b≤-1 即可. 1 1 x-3 4. D [解析] 由题得 f′(x)= - = , 令 f′(x)>0 得 x>3; 令 f′(x)<0 得 0<x< 3; 3 x 3x f′(x)=0 得 x=3,故函数 f(x)在区间(0,3)上为减函数,在(3,+∞)上为增函数,在点 1 e ?1? 1 x=3 处有极小值 1-ln3<0.又 f(1)= ,f(e)= -1<0,f? ?= +1>0.故选 D. 3 3 ?e? 3e 【能力提升】 1 2 1 3 5.D [解析] 取特殊值,令 f(x)= x ,g(x)= x ,则 h(0)<h(1)<h(-1). 2 3 6.C [解析] 从函数图象上可知 x1,x2 为函数 f(x)的极值点,根据函数图象经过的三 个特殊点求出 b,c,d.根据函数图象 d=0,且 f(-1)=-1+b-c=0,f(2)=8+4b+2c 2 2 =0,解得 b=-1,c=-2,故 f′(x)=3x -2x-2.x1,x2 是 f′(x)=0 的两个根,则 x1+ 4 4 16 2 x2 . 2=(x1+x2) -2x1x2= + = 9 3 9 ? ? ?3+2a+b=0, ?a=-2, 2 ? 7. A [解析] 由题 f′(x)=3x +2ax+b, 则? 解得 或 2 ?1+a+b-a -7a=10, ?b=1 ? ? ? ? ?a=-6, ?a=-6, a 2 ? 经检验? 满足题意,故 =- ,选 A. b 3 ?b=9, ?b=9 ? ?

8.B [解析] 因为函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以 f(x)关于(0,0) 中心对称,为奇函数,所以 xf(x)为偶函数.又当 x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0 成立, 故 xf(x)在(-∞,0)上为减函数.由偶函数的性质得函数 xf(x)在(0,+∞)上为增函数, 1? 0 .3 ? 又?log3 ?>3 >logπ 3>0,所以 c>a>b. 9? ? 9.D [解析] 函数 f(x+1)是偶函数,其图象关于 y 轴对称,这个函数图象向右平移 1 个单位得函数 y=f(x)的图象,可得函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,x>1 时, f′(x)<0 恒成立,说明函数在(1,+∞)上单调递减,根据对称性可得函数在(-∞,1)上 单调递增.根据 f(4)=0 可得当 x>4 时,f(x)<0,根据对称性可得当 x<-2 时,f(x)<0,当 ?x+3>0, ?x+3<0, ? ? -2<x<1 或 1<x<4 时, f(x)>0.不等式(x+3)f(x+4)<0 等价于? 或? ? ?f(x+4)<0 ? ?f(x+4)>0. ?x+3>0, ?x>-3, ? ? 当? 时,? ?f(x+4)<0 ?x+4>4或x+4<-2, ? ? ?x+3<0, ?x<-3, ? ? 解得 x>0;当? 时,? ?f(x+4)>0 ?-2<x+4<1或1<x+4<4, ? ? 解得-6<x<-3.故不等式(x+3)f(x+4)<0 的解集为(-6,-3)∪(0,+∞). 1 x-1 10.ln2 [解析] g′(x)=1- = ,当 x≥2 时,函数 g(x)为增函数,因此 g(x)

x 的值域为[2+m-ln2,+∞),因此 2+m-ln2=2,故 m=ln2.

x

1 2 11. ,+∞ [解析] 由题意知,函数 f(x)是 R 上的单调增函数,∴f′(x)=3x +2x 3 1 +m≥0 在 R 上恒成立,即 Δ =4-12m≤0,∴m≥ . 3 lnx-1 12.(0,1),(1,e) [解析] 令 f′(x)= <0,解得 0<x<e,但函数的定义域是 2 ln x

x>0 且 x≠1,故函数 f(x)=

的单调递减区间是(0,1),(1,e). lnx 1 ?1 ? 13.? ,+∞? [解析] f′(x)=2mx+ -2,函数 f(x)在其定义域(0,+∞)内为增函 x ?2 ? 1 1 2 数的充要条件是 2mx+ -2≥0 在(0, +∞)内恒成立, 即 2m≥- 2+ 在(0, +∞)内恒成立,

x

x

x

x

2 1 2 1 ?1 ? 由于函数 φ (x)=- 2+ =-? -1? +1≤1,故只要 2m≥1 即可,即 m≥ . x x x 2 ? ? 2 x 14.解:(1)a=1 时,f(x)=(x -2x+1)e , f′(x)=(x2-1)ex, 于是 f(0)=1,f′(0)=-1, 所以函数 f(x)的图象在点 A(0,f(0))处的切线方程为 y-1=-(x-0),即 x+y-1= 0. 2? ax ? 2 2 1? ? ax (2)f′(x)=?2x- ?e +?x - x+ ?·a·e

a? 2 2 ? ? ax ? 2 a-2?eax, =?2x- +ax -2x+1?e =?ax + a a ? ? ? ? ? a - 2 ax 2 ∵a>0,e >0,∴只需讨论 ax + 的符号. a a-2 2 ①当 a>2 时,ax + >0,这时 f′(x)>0,所以函数 f(x)在(-∞,+∞)上为增 a a

?

a?

?

函数. 2 2x ②当 a=2 时,f′(x)=2x e ≥0,函数 f(x)在 (-∞,+∞)上为增函数.

③当 0<a<2 时,令 f′(x)=0,解得 x1=- 2-a

2-a 2-a ,x2= .

a

a

当 x 变化时,f′(x)和 f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

错误! + ↗



a

错误! - ↘

2-a

a
0 极小值

? 2-a ? ? ,+∞? ? a ?
+ ↗

0 极大值

∴f(x)在?-∞,-

? ?

2-a? ? 2-a 2-a 2-a? ? ? ?,? ,+∞?上为增函数,在?- , ?上为减

a

? ?

a

?

?

a

a

?

函数. 15.解:(1)f(x)的定义域为{x|x>0}, a 2a2 f′(x)= - 2 .

x

x

x x ①a<0 时,因为 x>0,所以 x-2a>0,a(x-2a)<0, 所以 f′(x)<0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减. ②当 a>0 时, 若 0<x<2a,则 a(x-2a)<0,f′(x)<0,函数 f(x)在(0,2a)上单调递减; 若 x>2a,则 a(x-2a)>0,f′(x)>0,函数 f(x)在(2a,+∞)上单调递增. 综上所述,当 a<0 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减;当 a>0 时,函数 f(x)在(0, 2a)上单调递减,在(2a,+∞)上单调递增.
2 (3)由(1)可知 f(x)=lnx+ .

根据题意,f′(1)=2-3a,所以 a-2a =2-3a, 2 即 a -2a+1=0, 解得 a=1. a 2a2 a(x-2a) (2)f′(x)= - 2 = . 2

2

x

x

2 设 g(x)=f(x)-(3-x),即 g(x)=lnx+ +x-3.

x

1 2 x +x-2 (x-1)(x+2) g′(x)= - 2+1= = (x>0). x x x2 x2 当 x 变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表: x (0,1) 1 (1,+∞) g′(x) - 0 + g(x) ↘ 极小值 ↗ x=1 是 g(x)在(0,+∞)上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是 g(x)的最小值点. 可见 g(x)最小值=g(1)=0, 所以 g(x)≥0,即 f(x)-(3-x)≥0,所以对于定义域内的每一个 x,都有 f(x)≥3-x. 【难点突破】 16.解:(1)函数的定义域为(0,+∞), 2 1 ? 1? 2?x- ? +m- 2 2 ? ? m 2x -2x+m f′(x)=2(x-1)+ = = (x>0).
2

2

x

x

x

1 当 m> 时,f′(x)>0 对 x∈(0,+∞)恒成立, 2 ∴函数 f(x)在(0,+∞)上是单调增函数. 1 (2)由(1)知,当 m> 时,函数 f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,没有极值点. 2

2 ? 1? 2?x- ? 1 ? 2? 当 m= 时,f′(x)= ≥0,函数 f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,没有极值 2 x 点. 1 1- 1-2m 1+ 1- 2m 当 m< 时,令 f′(x)=0 得,x1= ,x2= . 2 2 2 1- 1-2m ①当 m≤0 时,x1= ≤0?(0,+∞), 2 1+ 1-2m 则 x2= ≥1∈(0,+∞), 2 当 x 变化时,f(x),f′(x)变化情 况如下表: x (0,x2) x2 f′(x) - 0 f(x) ↘ 极小值

(x2,+∞) + ↗

1+ 1-2m 由此看出,当 m≤0 时,f(x)有唯一极小值点 x2= . 2 1 ②当 0<m< 时,0<x1<x2<1, 2 列表: (0,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 1 1- 1-2m 1+ 1-2m 由此看出,当 0<m< 时,f(x)有极大值点 x1= 和极小值点 x2= . 2 2 2 1+ 1-2m 综上,当 m≤0 时,f(x)有唯一极小值点 x2= ; 2 1 1- 1-2m 1+ 1-2m 当 0<m< 时,f(x)有极大值点 x1= 和极小值点 x2= . 2 2 2 2 (3)证明:由(2)知,m=-1 时,函数 f(x)=(x-1) -lnx, 1+ 1-2m 1+ 3 此时,函数 f(x)有唯一极小值点 x= = , 2 2

x

? 1+ 3? ? 1+ 3? 当 x∈?0, ?时,f′(x)<0,f(x)在?0, ?上是减函数, 2 ? 2 ? ? ?
1 4 1+ 3 ∵n≥3 时,0<1<1+ ≤ < , n 3 2 ? 1? ∴f?1+ ?<f(1),

?

n?

1 ? 1? 即 2-ln?1+ ?<0,

n

?

n?

1 ∴n≥3 时, 2<ln(n+1)-lnn.

n

1 x-1 令函数 h(x)=(x-1)-lnx(x>0),则 h′(x)=1- = ,

x

x

当 x>1 时,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上是增函数, 1 ? 1? ∵n≥3 时,1<1+ ,∴h?1+ ?>h(1),

n

?

n?

1 ? 1? 即 -ln?1+ ?>0,

n

?

n?

1 ∴n≥3 时,ln(n+1)-lnn< .

n

1 1 综上,当 n≥3,n∈N 时,不等式 2<ln(n+1)-lnn< 恒成立.

n

n


高三一轮复习《导数在研究函数中的应用》

高三一轮复习《导数在研究函数中的应用》_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三一轮复习《 导数概念及其几何意义》 考纲要求:1、了解导数概念的实际背景 2、理解...

2014届高三人教A版数学(理)一轮复习课后作业(15)导数在研究函数中的应用 Word版含解析]

2014届高三人教A版数学(理)一轮复习课后作业(15)导数在研究函数中的应用 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2014届高三人教A版数学(理)一轮复习课后作业(15)导...

(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《导数在研究函数中的应用》理 新人教B版

A [第 14 讲 导数在研究函数中的应用] (时间:45 分钟 分值:100 分) 基础热身 3 2 1.函数 f(x)=x -3x +1 的单调减区间为( ) A.(2,+∞) B.(...

【导与练】2014届高三数学一轮总复习 第11节 导数在研究函数中的应用检测试题 理 新人教A版

【导与练】2014届高三数学一轮总复习 第11节 导数在研究函数中的应用检测试题 理 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。第 节 导数在研究函数中的应用 【选题明...

2014届高三数学(理)一轮总复习:第二篇 函数、导数及其应用 第11节导数在研究函数中的应用 Word版含解析

2014届高三数学(理)一轮总复习:第二篇 函数、导数及其应用 第11节导数在研究函数中的应用 Word版含解析_理学_高等教育_教育专区。第 节 导数在研究函数中的应用...

2014届高三数学总复习 2.12导数在研究函数中的应用教案 新人教A版

2014届高三数学总复习 2.12导数在研究函数中的应用教案 新人教A版_高三数学_数学...性与导数 在区间(a,b)内,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 1 如果...

导数、定积分--2014届高三数学一轮复习必备精品(新课标版)

导数、定积分--2014届高三数学一轮复习必备精品(新课标版)_数学_高中教育_教育...(ax+b) )的导数; ③ 会使用导数公式表 (3)导数在研究函数中的应用 ① ...

2016届高考数学一轮复习 2.13导数在研究函数中的应用(一)练习 理

2016届高考数学一轮复习 2.13导数在研究函数中的应用(一)练习 理_数学_高中...2014年全国各地高考...专题 2014年高考语文新课标I卷... 2014年高考语文北京卷...

2013届高三人教B版理科数学一轮复习课时作业(14)导数在研究函数中的应用A)

2013届高三人教B版理科数学一轮复习课时作业(14)导数在研究函数中的应用A)_高中教育_教育专区。2013届高三人教B版理科数学一轮复习课时作业(14)导数在研究函数中的...