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二面角


一、平面与平面的垂直关系 1.判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 例 1.在空间四边形 ABCD 中,AB=CB,AD=CD,E、F、G 分别是 AD、DC、CA 的中点。 求证: 平面BEF ^ 平面BDG 。
A
E A

F E B
G D F

D
B

r />
C

C

例 2. AB ^ 平面BCD,BC = CD , ? BCD 求证: 平面BEF ^ 平面ABC 。

90° ,E、F 分别是 AC、AD 的中点。
D1 C1 A1 B1

2.性质定理:若两个平面互相垂直,则在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面。 例 3.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.。

D A
D1 B1

C B
C1

二、二面角的基本求法 1.定义法:在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直。 例 4.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 求(1)二面角 A - B1C - A1 的大小; (2)平面 A1 DC1 与平面 ADD1 A1 所成角的正切值。

A1

D A
P

C B

练习:过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA ^ 平面ABCD ,设 PA=AB= a , 求二面角 B - PC - D 的大小。
A D

2.三垂线法 例 5 . 平面ABCD ^ 平面ABEF,ABCD 是 正 方 形 , ABEF 是 矩 形 且 AF=
1 AD= a ,G 是 EF 的中点, 2

B

C

D

C

(1)求证: 平面AGC ^ 平面BGC ; (2)求 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值; (3)求二面角 B - AC - G 的大小。
A B

G

E

1

例 6. 点 P 在平面 ABC 外, ABC 是等腰直角三角形,? ABC (1)求证: 平面PA B ^ 平面A B C ; (2)求二面角 P - AC - B 的大小。

90° , PAB 是正三角形,PA ^ BC 。
P

A

B

C

练习:正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,P 是 AD 的中点,求二面角 A - BD1 - P 的大小。
C1 B1 D1 A1

C D P A

B

S

3.垂面法 例 7. SA ^ 平面ABC,AB ^ BC,SA = AB = BC , (1)求证: SB ^ BC ; (2)求二面角 C - SA - B 的大小; (3)求异面直线 SC 与 AB 所成角的余弦值。

A

C

4.无棱二面角的处理方法 (1)找棱 例 8.过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA ^ 平面ABCD ,设 PA=AB= a , 求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的大小。
A P

B

D

(2)射影面积法( cos q =

s射影 S

B

C



例 9.正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,P 是棱 AA1 的中点, 求平面 PB1C1 与平面 ABCD 所成二面角的大小。

2


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