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【优化方案】2014-2015学年高中数学 第二章 推理与证明(第2课时)课时作业 新人教A版选修1-2

时间:2017-03-18


【优化方案】2014-2015 学年高中数学 第二章 推理与证明(第 2 课 时)课时作业 新人教 A 版选修 1-2
[学业水平训练] 1.下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A.两条直线平行,同旁内角互补,因为∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角,所以∠A +∠B=π B.我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似,而中亚细亚有丰富 的石油,由此,他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油 C.由 6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7,14=7+7,…,得出结论:一个偶数(大于 4)可 以写成两个素数的和 1 1 D.在数列{an}中,a1=1,an= ?an-1+an-1?(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式 2? ? 答案:A 2.“∵四边形 ABCD 是矩形,∴四边形 ABCD 的对角线相等.”以上推理的大前提是( ) A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 答案:B 3. 命题“正弦函数是奇函数, f(x)=sin(x2+1)是正弦函数, 因此, f(x)=sin(x2+1)是奇函数”, 结论是错误的,其原因是( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.以上都不是 解析:选 B.∵正弦函数为 f(x)=sin x, 由 sin(-x)=-sin x, 即 f(-x)=-f(x), 得正弦函数是奇函数, 因此大前提正确. 小前提 f(x) =sin(x2+1)是正弦函数是错误的,故结论错误. 4.某西方国家流传这样一个政治笑话:“鹅吃白菜,参议员先生也吃白菜,所以参议员先生 是鹅”,结论显然是错误的,是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 解析:选 C.因为大前提的形式:“鹅吃白菜”不是全称命题,大前提本身正确,小前提“参议 员先生也吃白菜”本身也正确,但是不是大前提下的特殊情况,鹅与人不能类比,所以不符 合三段论推理形式,所以推理形式错误. 5. 在 R 上定义运算?: x?y=x(1-y). 若不等式(x-a)?(x+a)<1 对任意实数 x 都成立, 则( ) A.-1<a<1 B.0<a<2 1 3 C.- <a< 2 2 3 1 D.- <a< 2 2

解析:选 C.因为 x?y=x(1-y),所以(x-a)?(x+a)=(x-a)(1-x-a),即原不等式等价于(x -a)(1-x-a)<1,即 x2-x-(a2-a-1)>0. 所以 Δ=1+4(a2-a-1)<0,即 4a2-4a-3<0. 1 3 解得- <a< . 2 2

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6.下列表述正确的是________. ①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一 般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. 解析:由归纳推理、类比推理、演绎推理的性质可知②④错误,①③⑤正确. 答案:①③⑤ 7.(2014· 武威高二检测)某一三段论推理,其前提之一为肯定判断,结论为否定判断,由此 可以推断,该三段论的另一前提必为________判断. 解析:根据三段论的特点,三段论的另一前提必为否定判断. 答案:否定 8.(2014· 聊城高二检测)已知 f(1,1)=1,f(m,n)∈N*,且对任意 m,n∈N*都有: ①f(m,n+1)=f(m,n)+2;②f(m+1,1)=2f(m,1). 给出以下三个结论: (1)f(1,5)=9;(2)f(5,1)=16;(3)f(5,6)=26. 其中正确结论为________. 解析:由条件可知, 因为 f(m,n+1)=f(m,n)+2,且 f(1,1)=1, 所以 f(1,5)=f(1,4)+2 =f(1,3)+4=f(1,2)+6 =f(1,1)+8=9. 又因为 f(m+1,1)=2f(m,1), 所以 f(5,1)=2f(4,1)=22f(3,1) =23f(2,1)=24f(1,1)=16, 所以 f(5,6)=f(5,1)+10=24f(1,1)+10=26. 故(1)(2)(3)均正确. 答案:(1)(2)(3) 9.将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)一切不能被 2 整除的数都是奇数,75 不能被 2 整除,所以 75 是奇数; (2)三角形的内角和为 180° ,钝角三角形 ABC 的内角和为 180° . 解:(1)大前提:一切不能被 2 整除的数都是奇数; 小前提:75 不能被 2 整除; 结论:75 是奇数. (2)大前提:三角形的内角和为 180° ; 小前提:钝角三角形 ABC 是三角形; 结论:钝角三角形 ABC 的内角和为 180° . 10.如图所示,在空间四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AB,AD 的中点,求证:EF∥平 面 BCD.

证明:三角形的中位线平行于底边.大前提 点 E,F 分别是 AB,AD 的中点,小前提
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所以 EF∥BD.结论 若平面外一条直线平行于平面内一条直线,则直线与此平面平行,大前提 EF?平面 BCD,BD?平面 BCD,EF∥BD,… 小前提 EF∥平面 BCD.结论 [高考水平训练] 1.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题, 推理错误的原因是( ) A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但大前提使用错误 D.使用了“三段论”,但小前提使用错误 解析:选 D.应用了“三段论”推理,小前提与大前提不对应,小前提使用错误导致结论错误. f? 2? f? 4? 2.(2014· 西城高二检测)若 f(a+b)=f(a)f(b)(a,b∈N*),且 f(1)=2,则 + +… f? 1? f? 3? f? 2 014? + =________. f? 2 013? 解析:∵f(a+b)=f(a)f(b)(a,b∈N*)(大前提). f? a +1? 令 b=1,则 =f(1)=2(小前提). f? a? f? 2? f? 4? f? 2 014? ∴ = =…= =2(结论), f? 1? f? 3? f? 2 013? ∴原式=2+2+…+1 007 2 个=2 014. 答案:2 014 3.已知在梯形 ABCD 中(如图所示),AB=DC=AD,AC 和 BD 是它的对角线.求证:CA 平分∠BCD,BD 平分∠CBA.

证明:(1)等腰三角形两底角相等,(大前提) △DAC 是等腰三角形,(小前提) ∠1=∠2.(结论) (2)两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,(大前提) ∠1 和∠3 是平行线 AD、BC 被 AC 所截的内错角,(小前提) ∠1=∠3.(结论) (3)等于同一个量的两个量相等,(大前提) ∠2 和∠3 都等于∠1,(小前提) ∠2 和∠3 相等,(结论) 即 CA 平分∠BCD. (4)同理 BD 平分∠CBA. 4.已知 y=f(x)在(0,+∞)上有意义,单调递增且满足 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y). (1)求证:f(x2)=2f(x); (2)求 f(1)的值; (3)若 f(x)+f(x+3)≤2,求 x 的取值范围.
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解:(1)证明:∵f(xy)=f(x)+f(y). ∴f(x2)=f(x· x) =f(x)+f(x)=2f(x). (2)∵f(1)=f(12)=2f(1), ∴f(1)=0. (3)∵f(x)+f(x+3)=f(x(x+3)) ≤2=2f(2)=f(4), 且函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增, x>0, ? ? ∴?x+3>0, ? , ?x? x+3? ≤4

解得 0<x≤1.

∴x 的取值范围为(0,1].

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