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高中数学讲座 立体几何中的垂直问题

时间:2016-05-13


高中数学专题讲座

垂直问题

1、空间的垂直关系总论................................................................................................................. 2 2、直线与直线垂直......................................................................................................................... 2 3、直线与平面垂直......................................................................................................................... 4 (1)直线与平面垂直的定义 ................................................................................................. 4 (2)直线与平面垂直的判定定理 ......................................................................................... 4 4.平面与平面垂直......................................................................................................................... 5 (1)平面与平面垂直的判定定理 ......................................................................................... 5 练习........................................................................................................................................... 6 (2)平面与平面垂直的性质定理 ......................................................................................... 6 5、 空间向量法............................................................................................................................... 7 练习 .................................................................................................................................................. 8

专题

空间的垂直问题

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1、空间的垂直关系总论
空间的垂直关系:线⊥线
判定 ?判定 ?? ? ?线⊥面 ??? ??? ? 面⊥面 ? ? ? ? 性质 性质

可见垂直关系的基础是线线垂直

2、直线与直线垂直
空间两条直线垂直包括两种情况——相交(共面)垂直和异面垂直,均可用 a ? b 表示. 要证明空间两条直线(线段)垂直,首先判断两直线是相交还是异面: 1、若两直线是相交的,往往借助平面几何的一些性质,如: (1)等腰三角形底边上的中线与底边垂直; (2)直角三角形; 法 1:勾股定理, 法 2:若一个三角形一边上的中线长等于该边的一半则为直角三角形; (3)矩形,正方形,菱形自身的属性; (4)直径所对的圆周角为直角; (5)一些特殊平面图形的几何特征:

:2 的长方形 模型 1: 长宽比为 1
例 矩形 ABCD 中, AD ? 1, DC ? 2 ,E 是 DC 的中点, 下面证明 AE⊥BD:

tan ?EAD ?

DE 2 BC 2 ? , tan ?BDC ? ? , AD 2 DC 2

所以 ?EAD ? ?BDC ,故 AE ? BD 模型 2:长宽比为 1:2 的长方形 模型 3:边长为 112 的直角梯形 模型 4:内角为 60°的菱形

专题

空间的垂直问题

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2、若两条直线是异面的,则需要利用空间的一些特殊方法; (1) a ? b , b / / c ? a ? c ; (2) a ⊥( b 所在的一个平面) ? a ? b ; 两个重要模型: (1) 三垂线定理 直线 b 是平面的一条斜线,即与平面α 相交但不垂直,直线 c 在平面α 内, 因为 a⊥平面α ,则 a⊥c;若 m⊥c,则因为 a,m 是相交直线,则 c⊥平面β , 于是 c⊥b (这个定理最重要的应用在于,证明平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直,尤其是二 者是异面直线时)

应用举例: 正方体中,求证: BD1 ? AC

(2) 双等腰模型

已知: AM ? AN , BM ? BN , 求证: AB ? MN 证明:取 MN 的中点为 O,连接 AO,BO,在因为 AM ? AN , BM ? BN ,则 AO⊥MN,

专题

空间的垂直问题

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BO⊥MN,又 AO∩BO=O,则 MN⊥平面 AOB,于是 AB ? MN 例 (2014 辽宁文)如图, ?ABC 和 ?BCD 所在平面互相垂直,且 AB ? BC ? BD ? 2 ,

?ABC ? ?DBC ? 1200 ,E、F、G 分别为 AC、DC、AD 的中点.
求证: EF ? 平面 BCG;

A E G B F D C

3、直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义
是指直线与平面任何一条(所有)直线垂直,

a ? 平面?内任意直线 ? a ? 平面?
? 知道下面两个事实:

过一点有且只有一条直线和一个平面垂直, 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.

(2)直线与平面垂直的判定定理
法 1:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.

? ? 即 a , b ? 平面? ? ? l ? 平面? ? a?b ?O ?
简记为“线线垂直 ? 线面垂直”

l ? b, l ? a

专题

空间的垂直问题

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法 2:如果平行线中一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. 例 1 已知 PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙ O 上任意一点(不同于 A, B ) , (1)求证: BC ⊥平面 PAC. (2)过 A 点作 AE⊥PC 于点 E,求证:AE⊥平面 PBC.

证明: (1)∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC. 又∵AB 是⊙O 的直径,∴BC⊥AC. 而 PA∩AC= A , ∴BC⊥平面 PAC. (2)在(1)中已证 BC⊥平面 PAC. 又∵AE 在平面 PAC 内,∴BC⊥AE. ∵PC⊥AE,且 PC∩BC=C, ∴AE⊥平面 PBC.

4.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定定理
若一个平面内有一条直线与另一个平面垂直,则这两个平面互相垂直

l ? 平面? ? ??a ?? l ? 平面? ?
可见,证明面面垂直的关键还是线面垂直,归根结底是线线垂直! 例 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为菱形,PD⊥平面 ABCD,PD=AB=2,角 BAD=60°, E,F 分别为 BC,PA 的中点, (1) 求证:平面 DEF⊥平面 PAD (2) 求平面 PDE 与平面 PAB 所成二面角的正弦值 解: (1)连接 BD,在△BDC 中,BD=DC=BC,又 E 为 BC 的中 点,故 DE⊥BC,而 AD∥BC,于是 AD⊥DE; 又 PD⊥平面 ABCD,于是 PD⊥DE;PD∩DA=D,所以 DE⊥平 面 PAD,
专题 空间的垂直问题 5 / 13

则 PD⊥DE, PD=AD,F 为 PA 的中点,则 PA⊥FD,于是 PA⊥平面 FDE, PA 在平面 PAD 内,所以平面 PDE⊥平面 PAD

【技巧总结】 要证明面面垂直,关键是在一个面内找到另一个面的垂线,注意到此时两个 平面一定是相交的,所以,我们先找到交线,然后,先逐条扫描每个面内的线是否可能垂直 交线, 我们遇到的问题中, 平面多用三角形或四边形表示, 因此这个扫描的工作量是不大的, 如果现成的线中没有,就考虑做辅助线。

练习
(2008 陕西) 三棱锥被 平行于底面 ABC 的平面所截 得的几何体如图所示, 截面为 A1 B1 A B D

A1B1C1 , ?BAC ? 90 , A1 A ? 平 面 ABC , A1 A ? 3 , AB ? 2 ,
?

C1

AC ? 2 , AC 1 1 ?1,

BD 1 ? . DC 2

C

证明:平面 A1 AD ? 平面 BCC1B1 ; 解:? A1 A ? 平面 ABC,BC ? 平面 ABC ,

? BC ? 6 , ? A1 A ? BC .在 Rt△ ABC 中, AB ? 2,AC ? 2,
? BD : DC ? 1: 2 ,? BD ?
6 BD 3 AB ,又 , ? ? 3 AB 3 BC

?△DBA ∽△ ABC ,??ADB ? ?BAC ? 90? ,即 AD ? BC .
又 A1 A ? AD ? A ,? BC ? 平面 A 1 AD ,

? BC ? 平面 BCC1B1 ,? 平面 A1 AD ? 平面 BCC1B1 .

(2)平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面. (这个也是证明线面垂直的一种重要手段)
专题 空间的垂直问题 6 / 13

例 如图所示,已知平面 PAB ⊥矩形 ABCD 所在平面, 求证:平面 PBC ⊥平面 PAB ; 证明:平面 PAB ⊥矩形 ABCD 所在平面, 又由题意可知, BC ⊥ AB , ∴ BC ⊥平面 PAB

BC ? 平面 PBC ;
∴平面 PBC ⊥平面 PAB ;

5、空间向量法
设空间两条直线 l1 , l 2 的方向向量分别为 e1 , e2 ,两个平面 ? 1 , ? 2 的法向量分别为 n1 , n2 ,则 由如下结论 平 行 垂 直

l1 与 l 2 l1 与 ? 1

e1 // e2

e1 ? e2

e1 ? n1
n1 // n2

e1 // n1
n1 ? n2
P

? 1 与?2

例 (2012 大纲理) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 A B C D 为 菱 形 , PA ? 底 面

A B C, D AC ? 2 2 , PA ? 2, E 是 PC 上的一点, PE ? 2 EC .
证明: PC ? 平面 BED ; 解:设 AC ? BD ? O ,以 O 为原点, OC 为 x 轴, OD 为 y 轴建立空间直角坐标 系,则 A(? 2,0,0), C( 2,0,0), P(? 2,0,2), 设 B(0, ?a,0), D(0, a,0), E( x, y, z) . ( 1 ) E(
B C

E

A D

??? ? ? ??? ? 2 2 2 2 ??? ,) ?, 2 , 0, ) , 所 以 PC ? ( 2 2 , 0 BE ? ( , a, ) , BD ? (0,2a,0) , 所 以 3 3 3 3

??? ????? 2 2 PC?BE ? (2 2, 0, ?2) ? ( , a, ) ? 0 , 3 3
专题 空间的垂直问题 7 / 13

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PC ? BD ? (2 2,0, ?2) ? (0,2a,0) ? 0 .所以 PC ? BE , PC ? BD ,所以 PC ? 平面 BED ;
( Ⅱ ) 设 平 面 PAB 的 法 向 量 为 n ? ( x, y, z) , 又 AP ? (0,0,2), AB ? ( 2, ?a,0) , 由

?

??? ?

??? ?

? ??? ? ? ??? ? ?? ? 2 n ? AP ? 0, n ? AB ? 0 得 n ? (1, , 0) , 设 平 面 PBC 的 法 向 量 为 m ? ( x, y, z) , 又 a ??? ? ??? ? ?? ??? ? ?? ??? ? ?? 2 BC ? ( 2, a,0), CP ? (?2 2,0,2) ,由 m ? BC ? 0, m ? CP ? 0 ,得 m ? (1, ? , 2) ,由于二 a
面 角 A ? PB ? C 为 90? ,所以 m ? n ? 0 ,解得 a ? 2 . 所以 PD ? ( 2, 2, ?2) ,平面 PBC 的法向量为 m ? (1, ?1, 2) ,所以 PD 与平面 PBC 所成

?? ?

??? ?

??

???? ? ??? | PD ? m | 1 ? ? ??? ? ? ,所以 PD 与平面 PBC 所成角为 角的正弦值为 ???? 6 | PD | ?| m | 2
思考:用传统方法解决第一问?

练习
?ABC ? 120? , 1、 (2015?新课标 I 卷理科) 如图, 四边形 ABCD 为菱形, E , F 是平面 ABCD
同一侧的两点, BE ? 平面 ABCD , DF ? 平面 ABCD , BE ? 2 DF , AE ? EC . (Ⅰ)证明:平面 AEC ? 平面 AFC ; (Ⅱ)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.

解析:(Ⅰ)连结 BD,设 BD∩AC=G,连结 EG、FG、EF. 在菱形 ABCD 中,不妨设 GB=1,由∠ABC=120° ,可得 AG=GC= 3 , 由 BE⊥平面 ABCD,AB=BC,可知 AE=EC,又 AE⊥EC,所以 EG= 3 ,且 EG⊥AC.

专题

空间的垂直问题

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在 Rt△EBG 中,可得 BE= 2 ,故 DF=

2 6 ;在 Rt△FDG 中,可得 FG= . 2 2

在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE= 2 ,DF= 从而 EG 2 ? FG 2 ? EF 2 ,所以 EG⊥FG.

2 3 2 ,可得 EF= . 2 2

又 AC∩FG=G,可得 EG⊥平面 AFC,因为 EG ? 平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 AFC. (Ⅱ) 如图, 以 G 为坐标原点, 分别以 GB, GC 的方向为 x 轴, y 轴正方向, GB 为单位长,建立空间直角坐标系 G-xyz,由 (Ⅰ)可得

??? ? ??? ?

??? ?

A(0, ? 3, 0), E (1, 0, 2), F (?1, 0,

2 ), C (0, 3, 0) ,所以 2

??? ? ??? ? 2 ) AE ? (1, 3, 2) , CF ? (?1, ? 3, 2 . ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AE ? CF 3 3 . cos ? AE , CF ?? ??? ? ??? ? ?? 故 ,故直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 3 3 AE CF
2、 (2014?新课标 I 卷理科) 如图三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧面 BB1C1C 为菱形,AB ? B1C . (I) 证明: AC ? AB1 ; (II)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o ,AB=BC 求二面角 A ? A1B1 ? C1 的余弦值. 解析:(Ⅰ)连结 BC1 ,交 B1C 于 O,连结 AO.因为侧面

BB1C1C 为菱形,
所以 B1C ? BC1 ,且 O 为 B1C 与 BC1 的中点.又 AB ? B1C ,所以 B1C ? 平面 ABO ,故

B1C ? AO ?又 B1O ? CO ,故 AC ? AB1 .
(Ⅱ)因为 AC ? AB1 且 O 为 B1C 的中点,所以 AO=CO,又因为 AB=BC?,所以

?BOA ? ?BOC 故 OA⊥OB?,从而 OA,OB, OB1 两两互相垂直.

专题

空间的垂直问题

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以 O 为坐标原点,OB 的方向为 x 轴正方向,OB 为单位长,建立如图所示空间直角坐标系 O- xyz .因为 ?CBB1 ? 600 , 所以 ?CBB1 为等边三角形.又 AB=BC?, 则 A ? 0, 0,

? ? ?

? 3? 3 ? , B ?1,0,0 ? , B1 ? 0, ? ? 3 ,0? ?, 3 ? ? ? ?

? 3 ? ???? ? 3 3? , AB1 ? ? 0, , ? C? 0, ? , 0 ?, ? ? ? ? 3 3 ? 3 ? ? ? ?

???? ? ??? ? ? ? ??? ? ? 3 ? ???? 3 ? A1 B1 ? AB ? ? 1, 0, ? , B C ? BC ?? ?1, ? ,0? ? 1 1 ? ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? ? 设 n ? ? x, y, z ? 是平面的法向量,则

? 3 3 ? ???? y? z?0 ? ?n ? AB1 ? 0 ? ? ? 3 3 ,即 ? 所以可取 n ? 1, 3, 3 ? ? ? ???? ? ?x ? 3 z ? 0 ?n ? A1 B1 ? 0 ? 3 ? ?? ???? ? ?? ? ?? ? m ? A1 B1 ? 0 设 m 是平面的法向量,则 ? ? ????? ,同理可取 m ? 1, ? 3, 3 ? ? n ? B1C1 ? 0 ? ?? ? ?? n?m 1 1 则 cos n, m ? ? ?? ? ,所以二面角 A ? A1B1 ? C1 的余弦值为 . 7 n?m 7

?

?

?

?

3、 (2013?新课标 I 卷理科) 如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, CA=CB, AB=A A1, (I)证明 AB⊥A1C;

∠BAA1=60° .

(II) 若平面 ABC⊥平面 AA1B1B, AB=CB=2, 求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.

解析: (I)取 AB 中点 E,连结 CE, A1 B , A1 E , ∵AB= AA1 , ?BAA1 = 60 ,∴ ?BAA1 是正三角形,
0

∴ A1 E ⊥AB,∵CA=CB,∴CE⊥AB, ∵ CE ? A1E =E,∴AB⊥面 CEA1 , AB⊥ A1C ;

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空间的垂直问题

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∴ (II)由(I)知 EC⊥AB, EA1 ⊥AB, 又∵面 ABC⊥面 ABB1 A1 ,面 ABC∩面 ABB1 A1 =AB,∴EC⊥面 ABB1 A1 ,∴EC⊥ EA1 , ∴EA,EC, EA1 两两相互垂直,以 E 为坐标原点, EA 的方向为 x 轴正方向,| EA |为单位 长度,建立如图所示空间直角坐标系 O ? xyz , 有题设知 A(1,0,0), A1 (0, 3 ,0),C(0,0, 3 ),B(-1,0,0),则 BC =(1,0, 3 ),

??? ?

??? ?

??? ?

???? ???? ???? BB1 = AA1 =(-1,0, 3 ), A1C =(0,- 3 , 3 ), 设 n = ( x, y, z ) 是平面 CBB1C1 的法向量, ??? ? ? ? n ? BC ?0 ? x ? 3z ? 0 ? 则 ? ???? ,即 ? ,可取 n =( 3 ,1,-1) , n ? BB ? 0 x ? 3 y ? 0 ? ? ? ? 1 ???? ???? n ? AC 10 1 ???? ∴ cos n, A1C = = , 5 | n || AC | 1
∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为

10 . 5

点评:本题主要考查空间线面、线线垂直 的判定与性质及线面角的计算,考查空间想象能 力、逻辑推论证能力,属于中档题. 4、 (2012?新课标卷 I 理科)如图,直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AC ? BC ?

1 AA1 , 2

D 是棱 AA1 的中点, DC1 ? BD
(1)证明: DC1 ? BC (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小. 解析:(1)在 Rt ?DAC 中, AD ? AC , 得: ?ADC ? 45? ,
? ? 同理: ?A 1DC1 ? 45 ? ?CDC1 ? 90 .

得: DC1 ? DC, DC1 ? BD ? DC1 ? 面 BCD ? DC1 ? BC (2) DC1 ? BC, CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A 1 ? BC ? AC 取 A1B1 的中点 O ,过点 O 作 OH ? BD 于点 H ,连接 C1O, C1H

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空间的垂直问题

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AC 1BD ? C1O ? 面 A 1BD 1 B1C1 ? 面 A 1 1 ?B 1C1 ? C1O ? A 1B 1 ,面 A OH ? BD ? C1H ? BD 得:点 H 与点 D 重合
且 ?C1DO 是二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角 设 AC ? a ,则 C1O ?

2a , C1D ? 2a ? 2C1O ? ?C1DO ? 30? 2

即二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30? . 点评:本题主要考查线线垂直关系和二面角的求法,除了解析中是方法外,也可以利用空间 向量求解垂直关系二面角的大小. → → 5、如图所示,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,BA=BC=2,BA· BC=0,异面直线 A1B 与 AC 成 60° 的角, 点 O、 E 分别是棱 AC 和 BB1 的中点, 点 F 是棱 B1C1 上的动点. 求证:A1E⊥OF;

解析:设棱柱的高为 h,以 B 为坐标原点,以 BA、BC、BB1 所在直线分别为 x、y、z 轴建 立空间直角坐标系,则 B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),O(1,1,0),A1(2,0,h), → → ∴BA1=(2,0,h),CA=(2,-2,0), → → BA1· CA 4 → → ∴cos〈BA1,CA〉= = , → → 2 |BA1||CA| 2 2× 4+h 1 4 即 cos 60° = = ,解得 h=2. 2 2 2× 4+h2 → ∴E(0,0,1),A1(2,0,2),∴A1E=(-2,0,-1). ∵F 是 B1C1 上的动点, → ∴设 F(0,y,2),∴OF=(-1,y-1,2), → → ∴A1E· OF=(-2,0,-1)· (-1,y-1,2)=0, → → ∴A1E⊥OF, 即 A1E⊥OF.

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6、如图,在斜三棱柱 ??C ? ?1?1C1 中,侧面 ?CC1?1 与侧面 C??1C1 都是菱形,

? ? ? 求证: ??1 ? CC1 ; ? ?? ? 若 ??1 ?

??CC1 ? ?CC1?1 ? 60? , ?C ? 2 .

6 ,求二面角 C ? ??1 ? ?1

6、解: (Ⅰ)证明:连 AC1,CB1,则 △ACC1 和△B1CC1 皆为正三角形. 取 CC1 中点 O,连 OA,OB1,则 CC1⊥OA,CC1⊥OB1,则 CC1⊥平面 OAB1,则 CC1⊥AB1. …4 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,OA=OB1= 3,又 AB1 = 6, 所以 OA⊥OB1.如图所示,分别以 OB1,OC1,OA 为正方向建立空间直角坐标系, 则 C(0,-1,0),B1( 3,0,0),A(0,0, 3),

z

A

A1

O C B x B1 C1

y

…6 分

→ 设平面 CAB1 的法向量为 m=(x1, y1, z1), 因为→ AB1 =( 3, 0, - 3), AC =(0, -1, - 3), ? ? 3×x1+0×y1- 3×z1=0, 所以? 取 m=(1,- 3,1). …8 分 ? ?0×x1-1×y1- 3×z1=0,
设平面 A1AB1 的法向量为 n=(x2,y2,z2), 因为→ AB1 =( 3,0,- 3),→ AA1 = (0,2,0), ? 3×x2+0×y2- 3×z2=0, 所以? 取 n=(1,0,1). …10 分 ?0×x1+2×y1+0×z1=0, m·n 2 10 则 cos ?m,n?= = = ,因为二面角 C-AB1-A1 为钝角, 5 |m||n| 5× 2 10 所以二面角 C-AB1-A1 的余弦值为- . …12 分 5

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