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专题3 平面向量与三角函数结合

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专题 3 平面向量与三角函数结合 考点动向:向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点.自从新教材实施以来, 在高考中, 不时考查平面向量与三角有关知识的结合。 这些题实际上是以向量为载体考查三 角函数的知识, 解题的关键是利用向量的数量积等知识将问题转化为三角函数的问题, 转化 时不要把向量与实数搞混淆,一般来说向量与三角函数结合的题目难度不大。 向量与三角函数结合,题目新颖而精巧,既符合在知识的“交汇处”构题,又加强了对 双基的考查。这类题目常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的交汇、向量与三角函数 的图象与性质的交汇等几个方面.可以预测到,明年仍至今后的高考中,还会继续出现向量 与三角函数结合的题目。 方法范例 例 1、 (2005 年,天津卷)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A (0,1)和点 B ( ? 3,4),若 ???? ???? 点 C 在∠AOB 的平分线上且| OC | = 2,则 OC ? __________。 [分析] 题设中已知向量的模,设 OC ? ? 2cos? ,2sin? ? ,结合角平分线和反三角形函数 等知识求 sin ? , cos ? ,进一步得到结果。 [答案]解:设 OC ? ? 2cos? ,2sin? ? ,则 ? 的终边在第 2 象限,即 sin ? ? 0 且 cos ? ? 0 , 又? ? ??? ? ??? ? 1 ?? ? 4 ? ? 1 ? 3? 4? ? ? ? ? arctan ? ? ? ? ? arctan ? ,由 cos 2? ? 2cos2 ? ? 1 ,得 ? 2?2 ? 3 ?? 2 ? 2 3? 4? 4? 4 1 ? 3? ? 2cos 2 ? ? 1 ? cos ? ? arctan ? ? 1 ? sin ? arctan ? ? 1 ? ? , 3? 3? 5 5 ? 2 ? 故 cos2 ? ? 1 3 9 1 ,sin ? ? , sin 2 ? ? ,得 cos ? ? ? , 10 10 10 10 所以 ???? ? 2 2 ? 3 ? ? 10 3 10 ? . OC ? ? 2cos? ,2sin ? ? ? ? ? , ? ? ?? 5 , 5 ? ? ? 10 10 ? ? ? ? 例 2、 (2005 年,山东卷)已知向量 m ? (cos? ,sin? ) 和 n ? 且 m?n ? ?? ? ? 2 ? sin ? ,cos? ,? ? ?? , 2? ? , ? ?? ? 8 2 ?? ? ? , 求 cos ? ? ? 的值. 5 ?2 8? [分析]本题是以向量的模为背景,利用模,结合三角函数恒等变换、化简求值等有关知 识进行求解。 [答案]解: ∵ m ? n ? cos? ? sin ? ? 2,cos? ? sin ? , ∴ m?n ? ?? ? ? ? ?? ? ? cos? ? sin ? ? 2 ? 2 ? (cos ? ? sin ? ) 2 = 4 ? 2 2(cos? ? sin ? ) ?? ?? ? = 4 ? 4 cos ? ? ? ? ? = 2 1 ? cos ? ? ? ? , 4? 4? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? 7 2 ? 由已知 m ? n ? 8 2 ,得 cos ? ? ? ? ? ,又 cos ? ? ? ? ? 2cos ( ? ) ? 1 , ? 5 4? 2 8 4 ? 25 ? ? ? ? 16

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