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1[1].2.2空间中的平行关系1


空间中的平行关系
人教B版必修二

复习引入
问题:

1.初中平面几何中的平行公理 和平行线的传递性的内容是什么?

形成新知

观 察 思 考

2.观察三棱柱、四棱柱的侧棱有 什么关系?图片中的直线间的位 置关系是什么?观察教室,哪些 直线是平行?

r />四棱柱

三棱柱

形成新知 动 手 实 验

3.把一张长方形的纸对折几次, 打开,观察折痕,这些折痕之间 有什么关系?

形成新知

基本性质4:平行于同一条直线的两条直 线互相平行(通常称为平行线的传递性)
公理4是判断证明空 间中两直线平行的重 要依据。

a

b
c

若a// b,b// c,则a//c

形成新知
D1
C1
E

练习1

在长方体ABCD-A1B1C1D1, E 、F 分别为B1D1和D1B 的中 点,长方体的各棱中与EF 平 行的直线的条数有___条.

A1
D

B1
F

C A B

练习2 判断

1.空间四条直线,如果a∥b,c∥d,且 a∥d, 那么b∥c. 2.一条直线和两条平行中的一条不平行,那么 也和另一条不平行. 3.空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直, 那么这两条直线平行.

性质应用

4.在平面几何中我们学过等角定理 “如 问题5 果一个角的两边与另一个角的两边分别 如果一个角的两边与另一个角的两边分别 对应平行,并且方向相同,那么这两个 对应平行,并且方向相同,那么这两个角 角相等。” 在空间中是否成立?

相等。

性质应用

5

如何对结论进行证明?
B1

证明两角相等 的常用方法有 哪些? 证明三角形全 等的方法有哪 些? 证明线段相等 的方法有哪些? 判断平行四边 形的方法有哪 些?

D1 A1

.

.C E
1

1

D A

.

B

.C E

性质应用
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应 平行,并且方向相同,那么这两个角相等。

已知:∠BAC和∠B1A1C1的边 AB//A1B1,AC//A1C1,且射线
D1 A1 B B1 C1 E1 D

AB与A1B1同向,
射线AC与A1C1同向 求证:∠BAC=∠B1A1C1
A

E

C

性质应用
证明:对于∠BAC和∠B1A1C1在同一个平面内的情形,在初中 几何中已经证明, 下面证明两个角不在同一平面内的情形。

分别在∠BAC的两边和∠B1A1C1的两边上截取线段AD=A1D1 和AE=A1E1.
因为,AD // A1D1所以AA1D1D 是平行四边形, //
// 所以AA1 // DD1

等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分 别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等。

D1

B1 C1 E1

同理可得AA1 // EE1 // 所以DD1E1E是平行四边形。 在△ADE和△A1D1E1中, AD=A1D1,AE=A1E1,DE=D1E1, 于是△ADE≌△A1D1E1, 所以∠BAC=∠B1A1C1

A1 B

D
A

E

C

性质应用 思考 6.如果一个角的两边与另一个角 讨论 的两边分别对应平行,那么这两个 角的关系又如何呢? 推论1 若一个角的两边与另一 个角的两边分别对应平行,且方 向都相反,则这两个角相等。 推论2 若一个角的两边与另一 个角的两边分别对应平行,且一 组对应边方向相同,另一组对应 边方向相反,则这两个角互补。

性质应用

D1 A1

.

B1

. E
D

C1

1

.

B

A

. E

C

性质应用

空间四边形:顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所构成的图形。各个点叫做空间四边形的顶点; 连接相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边;连 接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线。
A

B

C D

α

教学过程

性质应用

如下图中的两种空间四边形ABCD。

A

A
D

α

C B C

α

B

D

教学过程

性质应用

例题

在空间四边形ABCD中,E、F、G、H 分别是棱AB 、BC、CD、DA的中点 1.求证:四边形EFGH是平行四边形。 2.若对角线AC=BD,四边形EFGH什 么图形?
A

E

H

B
F C G

D

闯关演练

1、判断 (☆) ①过直线外一点,有且只有一条直线与已知 直线平行 .( ) ②若一个角的两边分别与另一个角的两边平 行,那么这两个角相等.( ) ③若两相交直线和另两条相交直线分别平行, 则两相交直线所成的锐角(或直角)相 等.( )

闯关演练

2. 证明题(☆)
如右图,已知E、E1 是正方体AC1的棱AD、 A1D1 的中点. D1 C1 E 1 求证: ∠C1E1B1= ∠CEB
A1 B1

D
E A B

C

闯关演练

3. 证明题(☆) 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,O,F分别 为 D1B和AB 的中点. 求证:OF∥C1B D1
B1
A1 O D

C

1

C

A

F

B


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