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2016届高考数学二轮复习 第二部分 思想方法专题部分专题跟踪训练29 文


专题跟踪训练(二十九)
一、选择题 1.(2015·济南模拟)函数 f(x)=mx +(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在 原点的右侧,则实数 m 的取值范围为( A.[0,+∞) C.(0,1] ) B.(-∞,1] D.(0,1)
2

?1 ? [解析] 当 m=0 时,f(x)=-3x+1,其图象与 x 轴交点为?

,0?,满足题意; ?3 ?
当 m≠0 时,再分 m>0,m<0 两种情形,由题意得

m>0, ? ?Δ ≥0, ? m-3 ? ?- 2m >0,

m<0, ? ?Δ ≥0, 或? 1 x x = <0, ? ? m
1 2

解得 0<m≤1 或 m<0.

综上可知 m=0 或 m<0 或 0<m≤1,∴m≤1.故选 B. [答案] B 1 ? ?log x,x>0, 2.(2015·合肥模拟)设函数 f(x)=? 2 ?log2?-x?,x<0. ?

若 f(m)>f(-m),则实数

m 的取值范围是(

) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞)

1 [解析] 当 m>0 时,log m>log2m,解得 0<m<1. 2 1 当 m<0 时,log2(-m)>log (-m),解得 m<-1. 2 故 m 的取值范围为(-∞,-1)∪(0,1),故选 D. [答案] D 3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=p -1(p 是常数),则数列{an}是( A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.以上都不对 [解析] ∵Sn=p -1, ∴a1=p-1,an=Sn-Sn-1=(p-1)p
n-1 n n

)

(n≥2),

当 p≠1 且 p≠0 时,{an}是等比数列;
1

当 p=1 时,{an}是等差数列; 当 p=0 时,a1=-1,an=0(n≥2),此时{an}既不是等差数列也不是等比数列,故选 D. [答案] D

x2 y2 ?1 ? 4.设 e 是椭圆 + =1 的离心率,且 e∈? ,1?,则实数 k 的取值范围是( 4 k ?2 ?
A.(0,3) C.(0,3)∪?

)

? 16? B.?3, ? 3? ? ?16,+∞? ? ?3 ?
D.(0,2)

1 k-4 16 [解析] 当 k>4 时,c= k-4,由条件知 < <1,解得 k> ; 4 k 3 1 4-k 当 0<k<4 时,c= 4-k,由条件知 < <1, 4 4 解得 0<k<3,综上知选 C. [答案] C 5.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的 等比数列的个数为( A.5 C.6 ) B.4 D.8

[解析] 分类考虑,当公比为 2 时,等比数列可为:1,2,4;2,4,8,当公比为 3 时,可 3 为:1,3,9,当公比为 时,可为 4,6,9,将以上各数列颠倒顺序时,也是符合题意的,因此, 2 共有 4×2=8 个,故选 D. [答案] D 3 6.若 a>0 且 a≠1,且 loga <1,则实数 a 的取值范围是( 4 A.0<a<1 3 3 C.a> 或 0<a< 4 4 3 B.0<a< 4 3 D.0<a< 或 a>1 4 )

3 3 3 [解析] 当 a>1 时,loga <1=logaa,所以 a> ,即 a>1;当 0<a<1 时,loga <1=logaa, 4 4 4 3 3 所以 0<a< ,从而得 0<a< 或 a>1.故选 D. 4 4 [答案] D 二、填空题 7 . (2015· 郑 州 模 拟 ) 过 点 P(3,4) 与 圆 x - 2x + y - 3 = 0 相 切 的 直 线 方 程 为
2 2

2

______________. [解析] 圆的标准方程为(x-1) +y =4. 当直线的斜率不存在时,直线 x=3 适合; 当直线的斜率存在时,不妨设直线的方程为
2 2

y-4=k(x-3),即 kx-y+4-3k=0.
由 |k-0+4-3k| 3 =2,得 k= . 2 4 k +1

3 此时直线方程为 y-4= (x-3),即 3x-4y+7=0. 4 综上所述,所求切线的方程为 x=3 或 3x-4y+7=0. [答案] x=3 或 3x-4y+7=0 3 5 8. (2015·西安五校联考)在△ABC 中, sin A= , cos B= , 则 cos C 的值是________. 5 13 5 [解析] 在△ABC 中,cos B= , 13 12 ∴sin B= .∴sin B>sin A.∴B>A. 13 4 ∴A 为锐角.∴cos A= . 5 ∴cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B 4 5 3 12 16 =- × + × = . 5 13 5 13 65 [答案] 16 65

1 2 9. 若函数 f(x)=ln x- ax -2x 存在单调递减区间, 则实数 a 的取值范围为________. 2 1 ax +2x-1 [解析] 由题知, f′(x)= -ax-2=- , 因为函数 f(x)存在单调递减区间,
2

x

x

所以 f′(x)=-

ax2+2x-1 2 <0 有解.又因为函数的定义域为(0,+∞),则应有 ax +2x- x

1>0 在(0,+∞)上有实数解. (1)当 a>0 时,y=ax +2x-1 为开口向上的抛物线,所以 ax +2x-1>0 在(0,+∞)上 恒有解; (2)当 a<0 时,y=ax +2x-1 为开口向下的抛物线,要使 ax +2x-1>0 在(0,+∞)上 有实数解,则
2 2 2 2

3

Δ =4+4a>0, ? ? ? 2 - >0, ? ? 2a

此时-1<a<0;

(3)当 a=0 时,显然符合题意. 综上所述,实数 a 的取值范围是(-1,+∞). [答案] (-1,+∞) 三、解答题 10.(2015·洛阳统一考试)已知圆心为 F1 的圆的方程为(x+2) +y =32,F2(2,0),C 是圆 F1 上的动点,F2C 的垂直平分线交 F1C 于 M. (1)求动点 M 的轨迹方程; (2)设 N(0,2),过点 P(-1,-2)作直线 l,交 M 的轨迹于不同于 N 的 A,B 两点,直线
2 2

NA,NB 的斜率分别为 k1,k2,证明:k1+k2 为定值.
[解] (1)由线段的垂直平分线的性质得|MF2|=|MC|. 又|F1C|=4 2,∴|MF1|+|MC|=4 2, ∴|MF2|+|MF1|=4 2>4. ∴M 点的轨迹是以 F1,F2 为焦点,以 4 2为长轴长的椭圆. 由 c=2,a=2 2,得 b=2. 故动点 M 的轨迹方程为 + =1. 8 4 (2)证明:当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y+2=k(x+1),

x2 y2

x y ? ? + =1, 由? 8 4 ? ?y+2=k?x+1?,

2

2

得(1+2k )x +4k(k-2)x+2k -8k=0.

2

2

2

4k?k-2? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- , 2 1+2k

x1x2=

2k -8k 2 . 1+2k

2

从而 k1+k2= =

y1-2 y2-2 + x1 x2 x1x2

2kx1x2+?k-4??x1+x2?

4k?k-2? =2k-(k-4)× =4. 2 2k -8k 当直线 l 的斜率不存在时,得 A?-1,

? ?

14? ?, 2 ?

4

B?-1,-

? ?

14? ?,得 k1+k2=4. 2 ?

综上,恒有 k1+k2=4. 11.设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和 Sn>0(n=1,2,…). (1)求 q 的取值范围; 3 (2)设 bn=an+2- an+1,记{bn}的前 n 项和为 Tn,试比较 Sn 与 Tn 的大小. 2 [解] (1)因为{an}是等比数列,Sn>0,可得 a1=S1>0,q≠0. 当 q=1 时,Sn=na1>0;
n a1?1-qn? 1-q 当 q≠1 时,Sn= >0,即 >0(n=1,2,…),上式等价于不等式组: 1-q 1-q

?1-q<0, ? ? n ? ?1-q <0 ? ?1-q>0, 或? n ?1-q >0 ?

(n=1,2,…),①

(n=1,2,…),②

解①式得 q>1;解②, 由于 n 可为奇数可为偶数, 得-1<q<1. 综上,q 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞). 3 (2)由 bn=an+2- an+1, 2

? 2 3 ? ? 2 3 ? 得 bn=an?q - q?,Tn=?q - q?Sn. 2 2 ? ? ? ? ? 2 3 ? ? 1? 于是 Tn-Sn=Sn?q - q-1?=Sn?q+ ?(q-2). 2 ? ? ? 2?
又因为 Sn>0 且-1<q<0 或 q>0. 1 ①当-1<q<- 或 q>2 时, 2

Tn-Sn>0,即 Tn>Sn;
1 ②当- <q<2 且 q≠0 时, 2

Tn-Sn<0,即 Tn<Sn;
1 ③当 q=- 或 q=2 时, 2

Tn-Sn=0,即 Tn=Sn.
1 综上,-1<q<- 或 q>2 时,Tn>Sn; 2
5

1 - <q<2 且 q≠0 时,Tn<Sn; 2

q=- 或 q=2 时,Tn=Sn.
12.已知函数 f(x)=(a+1)ln x+ax +1,试讨论函数 f(x)的单调性. [解] 由题意知 f(x)的定义域为(0,+∞),
2 a+1 2ax +a+1 f′(x)= +2ax= . x x 2

1 2

①当 a≥0 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②当 a≤-1 时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递减. ③当-1<a<0 时,令 f′(x)=0,解得 x= 则当 x∈?0, 当 x∈? -

a+1 , 2a

? ?



a+1? ?时,f′(x)>0; 2a ?

? ? ? ?



a+1 ? ,+∞?时,f′(x)<0. 2a ?


故 f(x)在?0, 在?

a+1? ?上单调递增, 2a ?

? ?



a+1 ? ,+∞?上单调递减. 2a ?

综上,当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当 a≤-1 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当-1<a<0 时,f(x)在?0, 在?

? ?



a+1? ?上单调递增, 2a ?

? ?



a+1 ? ,+∞?上单调递减. 2a ?

6


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