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1.3函数的基本性质——奇偶性

时间:2016-03-11


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1.3 函数的基本性质 ——奇偶性

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复习回顾
1. 在初中学习的轴对称图形和中心对称 图形的定义是什么?

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复习回顾
1. 在初中学习的轴对称图形和中心对称 图形的定义是什么? 2. 请分别画出函数f (x)=x3与g(x)=x2的 图象.

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讲授新课

1. 奇函数、偶函数的定义

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讲授新课

1. 奇函数、偶函数的定义 奇函数:设函数y=f (x)的定义域为D,如 果对D内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x), 则这个函数叫奇函数.

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讲授新课

1. 奇函数、偶函数的定义 奇函数:设函数y=f (x)的定义域为D,如 果对D内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x), 则这个函数叫奇函数. 偶函数:设函数y=g (x)的定义域为D,如 果对D内的任意一个x,都有g(-x)=g(x), 则这个函数叫做偶函数.

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问题1:奇函数、偶函数的定义中有“任 意”二字,说明函数的奇偶性是怎样的 一个性质?与单调性有何区别?

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问题1:奇函数、偶函数的定义中有“任 意”二字,说明函数的奇偶性是怎样的 一个性质?与单调性有何区别?
强调定义中“任意”二字,说明函

数的奇偶性在定义域上的一个整体性质,
它不同于函数的单调性 .

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问题2:-x与x在几何上有何关系?具有 奇偶性的函数的定义域有何特征?

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问题2:-x与x在几何上有何关系?具有 奇偶性的函数的定义域有何特征?

奇函数与偶函数的定义域的特征是 关于原点对称.

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问题3:结合函数f (x)=x3的图象回答以 下问题: (1)对于任意一个奇函数f (x),图象上的 点P (x,f (x))关于原点对称点P'的坐标 是什么?点P'是否也在函数f (x)的图象 上?由此可得到怎样的结论. (2)如果一个函数的图象是以坐标原点为 对称中心的中心对称图形,能否判断它 的奇偶性?

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2. 奇函数与偶函数图象的对称性

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2. 奇函数与偶函数图象的对称性 如果一个函数是奇函数,则这个函 数的图象以坐标原点为对称中心的中心 对称图形. 反之,如果一个函数的图象是 以坐标原点为对称中心的中心对称图形, 则这个函数是奇函数. 如果一个函数是偶函数,则它的图 形是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之, 如果一个函数的图象关于y轴对称,则这 个函数是偶函数.

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例1 判断下列函数的奇偶性;
(1) f (x)=x+x3+x5;

(2) f (x)=x2+1;
(3) f (x)=x+1; (4) f (x)=x2,x∈[-1, 3]; (5) f (x)=0.

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例1 判断下列函数的奇偶性;
(1) f (x)=x+x3+x5; (奇函数)

(2) f (x)=x2+1;
(3) f (x)=x+1; (4) f (x)=x2,x∈[-1, 3]; (5) f (x)=0.

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例1 判断下列函数的奇偶性;
(1) f (x)=x+x3+x5; (奇函数)

(2) f (x)=x2+1;
(3) f (x)=x+1; (4) f (x)=x2,x∈[-1, 3]; (5) f (x)=0.

(偶函数)

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例1 判断下列函数的奇偶性;
(1) f (x)=x+x3+x5; (奇函数)

(2) f (x)=x2+1;
(3) f (x)=x+1; (5) f (x)=0. (4) f (x)=x2,x∈[-1, 3];

(偶函数)
(非奇非偶函数)

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例1 判断下列函数的奇偶性;
(1) f (x)=x+x3+x5; (奇函数)

(2) f (x)=x2+1;
(3) f (x)=x+1; (5) f (x)=0.

(偶函数)
(非奇非偶函数)

(4) f (x)=x2,x∈[-1, 3];(非奇非偶函数)

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例1 判断下列函数的奇偶性;
(1) f (x)=x+x3+x5; (奇函数)

(2) f (x)=x2+1;
(3) f (x)=x+1; (5) f (x)=0.

(偶函数)
(非奇非偶函数) (既是奇函数又是偶函数)

(4) f (x)=x2,x∈[-1, 3];(非奇非偶函数)

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例1 判断下列函数的奇偶性;
(1) f (x)=x+x3+x5; (奇函数)

(2) f (x)=x2+1;
(3) f (x)=x+1; (5) f (x)=0.

(偶函数)
(非奇非偶函数) (既是奇函数又是偶函数)

(4) f (x)=x2,x∈[-1, 3];(非奇非偶函数) 既是奇函数又是偶函数的函数是函 数值为0的常值函数. 前提是定义域关于 原点对称.

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归 纳:
(1)根据定义判断一个函数是奇函数 还是偶函数的方法和步骤是: 第一步先判断函数的定义域是否关

于原点对称;
第二步判断f (-x)=f (x)还是判断

f (-x)=-f (x).

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归 纳:
(2)对于一个函数来说,它的奇偶性

有四种可能:
是奇函数但不是偶函数;

是偶函数但不是奇函数;
既是奇函数又是偶函数;

既不是奇函数也不是偶函数.

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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)=x+x3;(奇) (2) f (x)=-x2; (3) h (x)=x3+1; 1 (4) k ( x ) ? 2 x ? [?1, 2]; x ?1 (5) f (x)=(x+1) (x-1); (6) g (x)=x (x+1);
(7) h( x ) ? x ?
3

x;

1 (8) k ( x ) ? 2 . x ?1

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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)=x+x3;(奇) (2) f (x)=-x2; (3) h (x)=x3+1; 1 (4) k ( x ) ? 2 x ? [?1, 2]; x ?1 (5) f (x)=(x+1) (x-1); (6) g (x)=x (x+1);
(7) h( x ) ? x ?
3

x;

1 (8) k ( x ) ? 2 . x ?1

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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)=x+x3;(奇) (2) f (x)=-x2;(偶) (3) h (x)=x3+1; 1 (4) k ( x ) ? 2 x ? [?1, 2]; x ?1 (5) f (x)=(x+1) (x-1); (6) g (x)=x (x+1);
(7) h( x ) ? x ?
3

x;

1 (8) k ( x ) ? 2 . x ?1

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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)=x+x3;(奇) (2) f (x)=-x2;(偶) (3) h (x)=x3+1; (非奇非偶) 1 (4) k ( x ) ? 2 x ? [?1, 2]; x ?1 (5) f (x)=(x+1) (x-1); (6) g (x)=x (x+1);
(7) h( x ) ? x ?
3

x;

1 (8) k ( x ) ? 2 . x ?1

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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)=x+x3;(奇) (2) f (x)=-x2;(偶) (3) h (x)=x3+1; (非奇非偶) 1 (4) k ( x ) ? 2 x ? [?1, 2]; (非奇非偶) x ?1 (5) f (x)=(x+1) (x-1); (6) g (x)=x (x+1);
(7) h( x ) ? x ?
3

x;

1 (8) k ( x ) ? 2 . x ?1

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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)=x+x3;(奇) (2) f (x)=-x2;(偶) (3) h (x)=x3+1; (非奇非偶) 1 (4) k ( x ) ? 2 x ? [?1, 2]; (非奇非偶) x ?1 (5) f (x)=(x+1) (x-1); (偶 ) (6) g (x)=x (x+1);
(7) h( x ) ? x ?
3

x;

1 (8) k ( x ) ? 2 . x ?1

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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)=x+x3;(奇) (2) f (x)=-x2;(偶) (3) h (x)=x3+1; (非奇非偶) 1 (4) k ( x ) ? 2 x ? [?1, 2]; (非奇非偶) x ?1 (5) f (x)=(x+1) (x-1); (偶 ) (6) g (x)=x (x+1); (非奇非偶)
(7) h( x ) ? x ?
3

x;

1 (8) k ( x ) ? 2 . x ?1

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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)=x+x3;(奇) (2) f (x)=-x2;(偶) (3) h (x)=x3+1; (非奇非偶) 1 (4) k ( x ) ? 2 x ? [?1, 2]; (非奇非偶) x ?1 (5) f (x)=(x+1) (x-1); (偶 ) (6) g (x)=x (x+1); (非奇非偶)
(7) h( x ) ? x ?
3

x;

1 (8) k ( x ) ? 2 . x ?1

(奇 )

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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)=x+x3;(奇) (2) f (x)=-x2;(偶) (3) h (x)=x3+1; (非奇非偶) 1 (4) k ( x ) ? 2 x ? [?1, 2]; (非奇非偶) x ?1 (5) f (x)=(x+1) (x-1); (偶 ) (6) g (x)=x (x+1); (非奇非偶)
(7) h( x ) ? x ?
3

x;

1 (8) k ( x ) ? 2 . x ?1

(奇 )

(偶 )

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练 习 2. 判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称,则这个函数关于原点对称且这 个函数为奇函数; (2)如果一个函数为偶函数,则它的定义 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 称,则这个函数为偶函数; (4)如果一个函数的图象关于y轴对称,则 这个函数为偶函数.

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练 习 2. 判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称,则这个函数关于原点对称且这 (错 ) 个函数为奇函数; (2)如果一个函数为偶函数,则它的定义 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 称,则这个函数为偶函数; (4)如果一个函数的图象关于y轴对称,则 这个函数为偶函数.

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练 习 2. 判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称,则这个函数关于原点对称且这 (错 ) 个函数为奇函数; (2)如果一个函数为偶函数,则它的定义 (对 ) 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 称,则这个函数为偶函数; (4)如果一个函数的图象关于y轴对称,则 这个函数为偶函数.

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练 习 2. 判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称,则这个函数关于原点对称且这 (错 ) 个函数为奇函数; (2)如果一个函数为偶函数,则它的定义 (对 ) 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 (错 ) 称,则这个函数为偶函数; (4)如果一个函数的图象关于y轴对称,则 这个函数为偶函数.

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练 习 2. 判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称,则这个函数关于原点对称且这 (错 ) 个函数为奇函数; (2)如果一个函数为偶函数,则它的定义 (对 ) 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 (错 ) 称,则这个函数为偶函数; (4)如果一个函数的图象关于y轴对称,则 这个函数为偶函数. (对 )

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练 习

3. 如果f (0)=a≠0,函数f (x)可以是奇函 数吗?可以是偶函数吗?为什么?

4. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数,试问F (x)=f (x)+g (x)是不是 偶函数?是不是奇函数?为什么?

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练 习

3. 如果f (0)=a≠0,函数f (x)可以是奇函 数吗?可以是偶函数吗?为什么? (不能为奇函数但可以是偶函数)

4. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数,试问F (x)=f (x)+g (x)是不是 偶函数?是不是奇函数?为什么?

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练 习

3. 如果f (0)=a≠0,函数f (x)可以是奇函 数吗?可以是偶函数吗?为什么? (不能为奇函数但可以是偶函数)

4. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数,试问F (x)=f (x)+g (x)是不是 偶函数?是不是奇函数?为什么?
(是偶函数)

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练 习

5. 如图⑴,给出了奇函数y=f (x)的局部 图象,求f (-4). y y 2 2
O ⑴ 4 x –3 –1 O ⑵ x

6. 如图⑵,给出了偶函数y=f (x)的局部 图象,试比较f (1)与 f (3) 的大小.

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例2 (1)设f (x)是偶函数,g (x)是奇函数, 1 且 f ( x ) ? g( x ) ? 求函数f (x),g(x) , x ?1 的解析式;
(2)设函数f (x)是定义在(-∞, 0)∪(0,+∞)

上的奇函数,又f (x)在(0, +∞)上是减函 1 数,且f (x)<0,试判断函数 F ( x ) ? f ( x) 在(-∞,0)上的单调性,并给出证明.

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课堂小结
1. 奇函数、偶函数的定义; 2. 奇函数、偶函数图象的对称性;

3. 判断函数奇偶性的步骤和方法.

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课后作业
1.阅读教材P.33 -P.36; 2.《习案》:作业11.


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