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高中数学必修四三角函数检测题


高中数学必修四三角函数检测题
一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1.下列不等式中,正确的是( ) 13? ? A.tan 13? B.sin ?
4 ? tan 5

C.sin(π -1)<sin1o

2. 函数 y ? sin

(?2 x ? ) 的单调递减区间是( ) 6 A. [? ? ? 2k? , ? ? 2k? ]( k ? Z ) B. [ ? ? 2k? , 5? ? 2k? ]( k ? Z )
6

?

? cos(? ) 7 7? 2? D.cos ? cos(? ) 5 5 5

C. [ ?

?
6

? k? ,

?

3

3.函数 y ?| tan x | 的周期和对称轴分别为( A. ? , x ? k? (k ? Z ) 2 C. ? , x ? k? (k ? Z )
2

3

? k? ]( k ? Z )

D. [ ? ? k? , 5? ? k? ]( k ? Z )
6 6

6

6



B. ? , x ? k? (k ? Z ) D.
?
,x ?

k? (k ? Z ) 2 2 4.要得到函数 y ? sin 2 x 的图象,可由函数 y ? cos(2 x ? ? ) ( 4



? 个长度单位 8 ? C. 向左平移 个长度单位 4
A. 向左平移

? 个长度单位 8 ? D. 向右平移 个长度单位 4
B. 向右平移

5.三角形 ABC 中角 C 为钝角,则有 ( ) A.sinA>cosB B. sinA<cosB C. sinA=cosB D. sinA 与 cosB 大小不 确定 ? ? 3? cos x(? ? x ? 0) , 6. 设 f ( x) 是定义域为 R, 最小正周期为 的函数, 若 f ( x) ? ? 2 ? 2 ? 则 f (? 15? ) 的值等于(
4
?sin x(0 ? x ? ? )


2

A. 1

B. 2

C.0

D. ? 2
2

y

7.函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,则 y ? f ( x) 的解析式为( A. y sin 2 x ? 2 B. y ? 2 cos 3x ? 1 C. y ? sin(2 x ? ) ? 1 5

)2 1
o
?
10
7? 20

?

D. y ? 1 ? sin(2 x ? ) 5

?

x

8.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ( a 、 b 为常数, a ? 0 , x ? R )在 x ? 得最小值,则函数 y ? f (
3? ? x) 是( 4

?
4

处取



A.偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 3? B.偶函数且它的图象关于点 ( ,0) 对称 2 3? C.奇函数且它的图象关于点 ( ,0) 对称 2 D.奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 9.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x, x ? [?? ,0] 的单调递增区间是( ) 5? 5? ? ? ? A. [?? ,? ] B. [? C. [ ? ,0 ] D. [ ? ,0] ,? ] 6 6 6 3 6 ? ? ? ? ? ? 10. 已知函数 y ? sin ? x ? ? cos ? x ? ? ,则下列判断正确的是( ) 12 ? 12 ? ? ? ?? ? A.此函数的最小周期为 2? ,其图像的一个对称中心是 ? , 0 ? ? 12 ? ?? ? B.此函数的最小周期为 ? ,其图像的一个对称中心是 ? , 0 ? ? 12 ? ?? ? C.此函数的最小周期为 2? ,其图像的一个对称中心是 ? ,0 ? ?6 ? ?? ? D.此函数的最小周期为 ? ,其图像的一个对称中心是 ? ,0 ? ?6 ? cos 2? 2 11. 若 ,则 cos? ? sin? 的值为( ) ?? ? 2 sin(? ? ) 4 7 7 1 1 A. ? B. ? C. D. 2 2 2 2 3 ? 12. . 函数 y ? cos x(sin x ? 3 cos x) ? 在区间 [? , ? ] 的简图是( ) 2 2

y
? ? 3

1
? 6

1
?
? ? ?? O 3 2

y
? 6

? ? 2

O

? x

?1

?1

A.

B.

y
1
? O ? ? ? 6 2
? 3

y
?
? ? 6

1
? 3

x

?

?1

? 2

O

?

x

?1
D.

C.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。

1 ,则 sin ? cos? 的取值范围是_______________; 3 1 14..已知 sin(700+α)= ,则 cos(2α -40? )= . 3

13.若 sin ? cos ? ?

15. 已知函数 f ( x) ? sin( x ? ) , 若对任意 x ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立, 2 5 则 | x1 ? x2 | 的最小值是____________. 16. 2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代 数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角 形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图) .如果小正方 第 16 题 形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直角三角形中较小的锐 角为 ? ,那么 cos 2? 的值等于 _____. 三、解答题:本大题共 3 小题,共 41 分,解答题应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。 x ? 17. (本小题 13 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin( ? ) ? 3 2 6 (1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象; (2)指出 f ( x) 的周期、振幅、初相、对称轴; (3)说明此函数图象可由 y ? sin x在[0,2? ] 上的图象经怎样的变换得到.
y

?

?

?

? O 2

? 2

?

3? 2

2?

5? 2

3?

7? 2

4?

x

18. (本小题 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? 2 cos(2 x ? sin(x ?

?

?
2

) 4 .

)
3 ,求 f (? ) 的值. 5

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)若角 ? 在第一象限且 cos? ?

19. 设函数 f ( x) ? 3 cos2 ?x ? sin ?x cos?x ? a (其中 ? >0, a ? R ),且 f ( x) 的图象 ? 在 y 轴右侧的第一个高点的横坐标为 . 6 (1)求 ? 的值;

? ? 5? ? (2)如果 f ( x) 在区间 ?? , ? 上的最小值为 3 ,求 a 的值. ? 3 6 ?

20. (本小题 14 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ?? ? 0, | ? |?

?
2

) 在一个周

期内的图象 下图所示。 (1)求函数的解析式; (2)设 0 ? x ? ? ,且方程 f ( x) ? m 有两个不同的实数根,求实数 m 的取值范 围和这两个根的和。
y 2 1 O -2
11? 12

x

21.已知 0 ? ? ? ? ,0 ? ? ? 求: y ?
1 ? cos( ? ? 2? ) cot

?
4

,且 ? ? ? ?

?
2

? tan

?
2

? cos2 (

?
4

2? . 3

? ? ) 的最大值,并求出相应的 ?、? 的值.

22 . 设 函 数 f ( x) 是 定 义 在 区 间 (??,??) 上 以 2 为 周 期 的 函 数 , 记 I k ? ?2k ? 1,2k ? 1?(k ? Z ) .已知当 x ? I ? 时, f ( x) ? x 2 ,如图.
6

8

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)对于 k ? N * ,求集合 M k ? {a |使方程f ( x) ? ax在I k 上有两个不相等的实数根} .
4

y 2
2

.
-10 -5

-4

-2

O -2
-2

2

4

5

x

10

-4

-6

-8

2009-2010 学年度下学期

高一数学必修四三角函数检测题
参考答案
一、选择题: (本大题共 12 个小题;每小题 5 分,共 60 分。 ) 题 号 答 案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 B 6 B 7 D 8 D 9 D 10 B 11 C 12 A

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 ) 7 7 2 2 13、 [? , ] ; 14、 ? ; 15、2; 16、 9 25 3 3 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.
17.解: (1)列表 x

?

x ? ? 2 6
y y

? 3
0 3

2? 3 ? 2
6

5? 3

?
3

8? 3 3? 2
0

11? 3
2?
3

6 x ? ? 2? 由 ? ? k? ? ,得 x ? 2k? ? (k ? Z ) 即为对称轴; 2 6 2 3
(3)①由 y ? sin x 的图象上各点向左平移 ? ? ②由 y ? s in ( x?

? 3? 2? ? 2 2? (2)周期 T= 4? ,振幅 A=3,初相 ? ? ,
?

? O 2

5? 2

3?

7? 2

4?

x

?

?
6

6

个长度单位,得 y ? sin(x ?

?
6

) 的图象;

,得 ) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)

x ? y ? sin( ? ) 的图象; 2 6 x ? ③由 y ? s in ( ? ) 的图象上各点的纵坐标伸长为原来的 3 倍(横坐标不变) ,得 2 6

x ? y ? 3 sin( ? ) 的图象; 2 6 x ? x ? ④由 y ? 3 sin( ? ) 的图象上各点向上平移 3 个长度单位, 得 y ? 3 sin( ? ) +3 的图 2 6 2 6
象。 18.解: (1) f ( x) ? =

3 cos2 ?x ? sin ?x cos?x ? a

3 1 3 ? 3 cos 2?x ? sin 2?x ? ? a = sin(2?x ? ) ? ? a, 2 2 2 3 2

∵ f ( x) 的图象在 y 轴右侧的第一个高点的横坐标为

? 2? ?

?
6

?

?
3

?

?
2

? , 6

,? ? ?

1 ; 2
)?

(2)由(1)的 f ( x) ? sin(x ?

3 ?a, 3 2 ? ? 7? ? ? ? 5? ? ? x ? ?? , ? ,? x ? ? ?0, ? , 3 ? 6 ? ? 3 6 ? ? 7? ? 1 ∴当 x ? ? 时, sin(x ? ) 取最小值 ? , 3 6 3 2 1 3 ? ? 5? ? ?a, ∴ f ( x) 在区间 ?? , 的最小值为 ? ? ? 2 2 ? 3 6 ? 1 3 3 ?1 ?? ? ? a ? 3 ,? a ? 2 2 2

?

19.解: (1)由 sin(x ?

?

2

) ? 0 ,得 cos x ? 0 ,? x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ;

故 f ( x) 的定义域为 {x | x ? k? ?
2

?
2

, k ? Z}
3 5
2

(2)由已知条件得 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ( ) ?

1 ? 2 cos(2? ? ) 1 ? 2 (cos 2? cos ? sin 2? sin ) 4 = 4 4 从而 f (? ) ? ? cos? sin(? ? ) 2 1 ? cos 2? ? sin 2? 2 cos2 ? ? 2 sin ? cos? 14 ? = = 2(cos? ? sin ? ) = cos? cos? 5 . 20. 解: (1)显然 A=2, 1 ? ? 又图象过(0,1)点,? f (0) ? 1 , ? sin ? ? ,? | ? |? ,?? ? ; 2 2 6 11? 由图象结合“五点法”可知, ( ,0) 对应函数 y ? sin x 图象的点( 2? ,0 ), 12 11? ? ?? ? ? ? 2? ,得 ? ? 2 . 12 6

?

?

4 ; 5

?

所以所求的函数的解析式为: f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?
6

).
y 2 1 O ? 5? -2 6 12
2? 3

( 2 ) 如图 所示 ,在 同 一坐 标 系中 画出

y ? 2 sin(2 x ?

?
6

) 和 y ? m ( m ? R )的图象,

由图可知, 当 ? 2 ? m ? 1或1 ? m ? 2 时, 直线 y ? m 与曲线有两个不同的交点,即原方程有两个不同的实 数根。

?

x

?m 的取值范围为: ? 2 ? m ? 1或1 ? m ? 2 ; ? 2? 当 ? 2 ? m ? 1时,两根和为 ;当 1 ? m ? 2 时,两根和为 . 6 3 1 ? cos( ? ? 2? ) ? 21.解: y ? ? cos2 ( ? ? ) ? ? 4 cot ? tan 2 2 ? 1 ? cos( ? 2? ) 2 cos2 ? 1 ? sin 2? 1 ? cos 2? 2 = = ? ? ? ? ? ? 2 2 cos2 ? sin 2 cos sin 2 2 2 ? 2 ? ? ? ? sin cos sin cos 2 2 2 2 2 sin ? cos ? 1 ? sin 2? sin 2? sin 2? 1 ? = = ? ? cos? 2 2 2 2 sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] 1 = ? ? 2 2 2 1 = cos( ? ? ? ) sin(? ? ? ) ? 2 2? 2? 1 ? ? ?) ? ? , ?? ? ? ? , ?? ? ? ? , cos( 2 3 3 1 2? 1 y ? ? sin( ? 2? ) ? ; 2 3 2 ? ? 2? 2? , ? 0 ? ? ? ,? ? ? 2? ? 4 6 3 3 1 2? 2? 1 1 1 1 3 ? sin( ? 2? ) ? 1 ;当 sin( ? 2? ) ? 时,y 取最大值 ? ? ? ? ? , 2 3 3 2 2 2 2 4 ? ? 2? ? 2? ? ? 5? ? 5? ? 3 ? 3 6 这时 ? ,得 ? ? , ? ? ;即当 ? ? , ? ? 时, y max ? . 12 4 12 4 4 ?? ? ? ? 2? ? 3 ?
8 6

22. 解: (1)? f ( x) 是以 2 为周期的函数,

4

y 2
2

-10

-5

-4

-2

O -2
-2

2

4

5

x

10

? f ( x ? 2k ) ? f ( x)(k ? Z ) ,
当 x ? I k 时, ( x ? 2k ) ? I ? ,

? f ( x) ? f ( x ? 2k ) ? ( x ? 2k ) 2

? f ( x) 的解析式为:? f ( x) ? ( x ? 2k ) 2 , x ? I k .
(2)当 k ? N 且 x ? I k 时, 方程f ( x) ? ax 化为 x ? (4k ? a) x ? 4k ? 0 ,
*
2 2

令 g ( x ) ? x ? ( 4k ? a ) x ? 4 k
2

2

使方程f ( x) ? ax在I k 上有两个不相等的实数根 ,

? ? ? a ( a ? 8k ) ? 0 ? 4k ? a ? ? 2k ? 1 ?2 k ? 1 ? 则? 2 ? g (2k ? 1) ? 1 ? 2ak ? a ? 0 ? ? ? g (2k ? 1) ? 1 ? 2ak ? a ? 0

y

?
O 2k-1 2k+1 x

?a ? 0或a ? ?8k ? ?? 1 ? a ? 1 1 ? 即 ?0 ? a ? 1 ?0 ? a ? 2k ? 1 2k ? 1 ? ? 1 ?0 ? a ? 2k ? 1 ?

? M k ? {a | 0 ? a ?

1 } 2k ? 1


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