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深入研究教材,探明赛题考向——溯源与评析2013年安徽省高中数学竞赛中的数列题




南 

2 0 1 4年 3月  

深入研究教材, 探明赛题考向 
— —

溯 源 与评 析 2 0 1 3 年 安 徽 省 高 中数 学 竞 赛 中的数 列题 
⑩ 中 国科 技 大 学 附 中  黄 严 生 

数列是高 中数学 的主 干知识 ,

是中学数学 中典 型的  离散数学模 型 , 是 一种特 殊 的函数模 型 , 也是进 一步学 

1 3 . … …② 由① 和② , 得%= _ 1[ 7  ̄ 3  + l 3 × ( 一 1 )  ] . 以上虽 
4 

习高 等数学 的基 础. 因此 , 数列 是每 年高 中数学 竞赛 必  考 内容 ,且 考查深刻. 2 0 1 3 年全 国高 中数学竞 赛安徽 初  赛试题 中第4 题 和第 1 2 题 ,分别从不 同角度 和深 度考查  了数 列知识 . 经过 仔细分 析 , 这 两道 题与新 课标 人教 版  教材 的习题 有密切 的联系. 其实 , 通过对 教材 中例题 、 习  题进 行改编 、 改造而 形成 的考 题 , 在 高 中数学 竞赛 和高 
考试 卷 中屡屡 出现. 为此 , 高 中数 学教师 应积 极 引导学  生对教材 中有价值 的问题进行研究 , 让学 生在 自主探究 

然能 求 出数 列 { %} 的通 项公 式 , 但 这 样 的配凑 , 技 巧性  强, 学生不易发 现 , 对学生思维 品质要求 较高 , 但对那些  基础薄弱 、 缺乏探 究精神 、 创新意识不强 的学生来说 , 就 
很难发现其 中规 律 , 也就不能有效地构 造 出两个等 比数  列, 更谈不 上对问题进行 解答. 另外 , 本题 中 、 %小%   之 

间关系简单 , 其规 律易于发现 , 但 在很 多情况下 , 所 给出 
的关 系式 往往是不能一 眼看 出其 中的规律 的 , 就 不能有  效地 配凑 , 因此 , 必须另辟 蹊径 , 寻求一般规律.  
2 . 待 定 系数 法 

中体 会数学 的奥妙 , 感悟数学 思想方法 , 发现其 中规律 ,  
感 受到学 习数学 的乐趣. 从 而能有效地激 发学生 自主学 

上面的配凑法 , 实质 是 将 二 阶线 性 递 推 关 系 a n =  
2  一 】 + 3  - 2 中的2 a n - 】 、 3  _ 2 进行适 当拆分 , 化 成 +  一   =   3 ( % 一   + ‰   ) 和%一 3 a .  一 ( a n _ 厂 3 a . _ 2 ) 来构造 新数 列. 该 数列 

习数 学的积极性 , 更好地培养学 生的 自主探究精神 和创 
新意识.  


是典型的文 1 中研究 的 

型数列 ,从而可利用 



深入研究 , 开 发 教 材 资 源 

待定系数法 得到上 面两种构造. 设a n — o t a . 一 。  (  - 厂 O t a n _ 2 ) ,   将其进行变形与题设 中递推公式进行 比较 , 便可求得O l =  
3 ,  = 一 1 或O r = 一 1 , 卢 = 3 , 从 而得 到a . + a n — l = 7 × 3 一,  一 3 a  ̄ 一 1 =  

人教 版必修5 第 二章复 习参考题 B 组第 6 题: 已知数 
列{ %} 中, a l : 5 , a z = 2 ,  = 2  一   + 3   ( n ≥3 ) , 对这个 数列 的  通项公式作 一研究 , 能否写出它的通项公 式?  
1 . 配 凑 法 

( 一 1 )   ̄ 1 3 . 利用待定 系数法求解 , 不但避免 了观察 配凑 ,  
淡 化 了特 殊技 巧 , 而且 还体现 了转化 与化归 、 方程 等数 

学思想方法 , 是解 决二阶线性递 推数列的一般方法.  
3 . 特 征 根 法 

此题 是一道典型 的数列题 , 它既不是等差数列也不  是等 比数列 ,没有现成 的公 式能求 出数列 的通项 公式 ,   解决起来有一定难度 ,但通 过对题 目的条件进行 观察 、  
分析 , 可以发现一些规律.  = 2  + 3  2 可以变形 为% +  一 。 =  

对于二 阶线性递推数列 {  } , 根据递推关 系 =   %一 。 +   得 到特征方 程 = k x + t 的根.若 、 X 2 是 特征方 程 的两 

根, 则0 , I : A?   l , 卜   + / x ?   ( 其 中A   由0 1 、 确 定) .  
由  = 2   一   + 3 %   , 可知数 列 {  } 的特征方 程 为  。 =  +  

3 ( % 一   +  一 : ) , 从 而就 可 以构 造 出数 列 {  +  一   } , 显然 数列  { a n + a ,  } 是 一个 以3 为公 比 , a z + a 1 = 7 为首项 的等 比数列 ,  
从而可 以求 出 +  。 = 7 x 3   ……①.  

3 , 从而 求得 其 特征 根 为  。 = 3 , X 2 : 一 1 , 进 而设 %= A? 3  +  
?

( 一 1 )   ’ , 将 眈 的值代入, 求得A = ÷,   =  , 所以, % =  

虽然如此 , 但 还是没有解决数列 { %} 的通项公式. 还 
可 以将a . = 2 a   l + 3 0   形为  3 % _ 1 = 一 (  l 一 3 a . _ 2 ) ,又能构  造 出数 列 {  一 3 a . 一 , } , 数列{ %一 3  一   } 是 以一 1 为公 比 ,  一  

{ [ 7  + 1 3 × ( _ 1 )   ] .  
4 . 反 思 与整 合 

3 0 。 = 2 — 1 5 = 一 1 3 为首项的等 比数列 , 所 以, % 一 3  


( 一 1 )  ×  

配凑 法 、 待 定 系数法 、 特征 根法 , 三种 方法 本 质相 

?敷 - ? 高中版 

2 0 1 4年 3月 
同, 待 定系 数法是 利用 设参 数 , 根 据条 件 , 得剑 结果. 特 

备考指南 

试  究 

解法1 :由 条 件 得 特 征 方 程 =x /3  一 1 ,解 得  =  

征根法 是待定系数法 的进 一步延伸 , 总结和提炼得 到求 
该类数 列通项公式的通法.  


—— 2  
— 一

X /  ̄  

+ i  
=COS  

— — 十— — ,   , = ——  2   \ ( l   一   — 6 — ) / }   +  


+l 。 。   sl n 

= —

V  ' - 3 -i


- . - C OS

6  

6  

般地 , 在 数列 { a n } 中, a l = p,  = g , 且 

+ f  ( p、  

q 、  、   为常数 ,且都不等于0 ) ,  、 X 2 是特 征方程 = k x + t 的  两个根 ( 若 、  是共 轭复数 , 其辐角0 ∈( 一 叮 r , 耵 ] ) .   ( 1 ) 若  l ≠   则% = A?  ̄ g l n - I + r e ? X 2 n ~ , 将a 1  , a 2 = q 代人 ,  
可得A   4 a ( 可 以用待定 系数法证 明 )  
1 k 2 = - 4 t , a . = k   一   k 2 ( 2 ) 若  : =   k  ̄ %之, %一
,.

i s i n   ) .  

故 设  =A‘( c 。 s 詈 + i s i n 詈 )  +  
1 一 ( 2 一  
— — _  一

‘  

[ c 。 s ( 一 詈 ) + i s i n ( 一 詈 ) ] 一 1 . 将 。   =   =   代 入, 得 A =  

告  

) i  

1 + ( 2 一  

) i  
‘  

,   —— ■   一

k/ l  一 k   a、  
n - 2

) ’  



所 以%

=  

' r r + i s i n"


① 当 一   k。   = o t  ̄
列;  

a " )  +  

数 列 {   } 是 公 比 为 告 的 等 比 数  1 + ( 2 - X / - 3 ) i [ c o s  ) + i s i n  


② 当   一 告   ≠ o 时 , 数 列 { % 一   k  ) 是 以   为 公 比 ,  
令 6   = ÷
/ 旦 \  
\2 /  

1 - ( 2 -
。∞  一


V ' 3 - i ) ( c 。 s 詈 + i s i n 詈 ) ∞   2 +   — ±   .   二   ?  
f c 。 s — 2 0 1 — 2 w + i s i n  ̄ 2 0 1 21 +  
\   6   6   /  

c o s ( 一 詈 ) + i s i n   啦 一   a 。 为 首 项 的 等 比 数 列 , 则 % 一  。 = (  )  ( q 一   ) .  [
, 所以 , b n - 6   = g — k p   , 因 此, 数 列{ b   } 是 等 差  

\2 /  
: —

1 - ( 2 -  ̄ / 3 - ) i  


2  

+ ( n _ 1 )  

_ 1 ) ’  

k p  

— — — — —   — 一【 。 。   I 一 —   J 卜 + i   s i n “   I 一 —   川 ) ]  
一  





1 - ( 2 - V' 3) i   f — c o s  一 i s i  


1 + — 1 + ( 2 - X — / 3) i .  
2  

2  

\  

3  

3 /  

_ 一 f  \    =   2+ ( n — 1 )  ( \   g 一   2 ) ,   所以,   % 。 “   =  



詈 劬詈  

.  

解 法2: 。 1 =  =1 ,  

[   + c n 一   , ( q -   (  )  
上 面的结 论能有效地解 决二 阶线性递 推数列 问题 ,   利用特征方程 , 就不难求出文 1 例3 中数列 的通项公式.  

a 3 =x /3。 2 一。 l =x /3—1,  
a4 =

、 / 了 一  = 、 / 了( 、 / 了一 1 ) 一 1 = 2 一 、 / 了,  
( 2 一   ) 一 (   一 1 ) =   一 2 ,  

妈=  

二、 赛 题 溯 源 与 分 析 
2 0 1 3 年全 国高 中数学 竞 赛 安徽 赛 区初赛 试 题 第4   题: 设 数列 { %} 满足 a   :  = 1 , % = 、 / 了a n _ 广%之 ( n >3 I ) , 则 
o2 0 1 3  
— — — — — — — — — — — — —

、 / 了( 、 / 了一 2 ) 一 ( 2 一 、 / 了) = 1 一 、 / 了,  
嘶=   ( 1 一   ) 一 (   一 2 ) = 一 1 ,  

魄=  

( 一 1 ) 一 ( 1 -  

) = 一 1 ,   ,  

( 一 1 ) 一 ( 一 1 ) = 1 -  



 

0   o = = 、 / 了( 1 一 、 / 了) 一 ( 一 1 ) = 、 / 了一 2 ,  
a l l =   (   一 2 ) 一 ( 1 一   ) = 2 一   ,  

此题与上 面讨论 的教材 中的习题类似 , 递 推公式 的  形 式结 构相 同 , 教 材习题 中的数 列递推 公式 为 = 2 % 一   +   3   m, 其特征方程有两个不等实 根 , 该 竞赛题的特征方程  没 有实 根 , 这两 道题 其本 质是 没有 区别 的. 下 面给 出两  种解 决方法.  

。   2 = 、 / 了( 2 一 、 / 了) 一 ( 、 / 了一 2 ) = 、 / 了一 1 ,  
0 ; 1 3 =  
a1 4 =

(  

一 1 ) 一 ( 2 一  

) = 1 ,  

、 / 了一 ( 、 / 了一 1 ) = 1 , %= % + 1 2 ,  

高 中 版十? 7 擞- 7  

萋 堂一南  
0 2 0 1 3 = a l 6 7 × l 2 + 9 = 口 9 = 1 一 V  3.  

6 x 一 1 , 解 得 = 3 — 2  

,   2 = 3 + 2  

, 所 以6   = A? ( 3 —  

解法 1 是用特征 根法求出数列 的通 项公式 , 解法 2 是  通 过计算前几项发 现该数列是周期 数列 ,要计算 1 2 项,  
即计算 到  , 才能 发现得  ̄ l l a .  =  , 进 而求 出a 2 o 。 , 如果 周  期 很大 , 利用解 法2 计 算量 更大 , 计算 的项数 就越多 , 在  这种情况下利用解法 2 是不现实 的 , 因此 , 利用特征 根法  求 解是解决 二 阶线性 递推数列 常用 的方法. 当特征 方程  没有实 根时 , 其特 征根 、 X 2 是共 轭复 数 , 三角形 式 分别  寸   I = r ( c o s O + i s i n O ) ,   2 = r [ c 0 s ( 一 O ) + i s i n ( 一 0 ) ] ( r > 0 , r 为  l 、   2   的模 , 0 ∈( 一 百, 1 T ] ) ,  = A?  一   [ C O S ( n 一 1 ) O + i s i n ( n 一 1 ) 0 ] +  
?  

2 、 /  )   ? ( 3 + 2 、 /  )  , 其中 A  为常数. 由 6   = ÷, 6   =  





/ 2 )  — ( 3 2X  ̄ -   %( 3 +2 ̄ / 2 ) " - ' 得A  =   1 所 以6

— — — — — — — 一



. 

+ 

( 3 - 2 x /2)  + ( 3 + 2 、 /2)  + 2  
= — — —   一 — — ’  

蚁  

( 2 ) 略.  

通过 以上 解答可知 ,解 决该题 的关键是第 一问 , 而 
发掘 、   、   之 间的关 系又是重 中之重 , 能 否构造新数 

{ C O S [ 一 ( n 一 1 ) O ] + i s i n [ 一 ( n 一 1 ) 0 ] } , 根 据复数 的运算 
1 0 1

列 { b   } ,取决 于将原题 中%、 a n . . 、  一   的关 系转 化 为 
6  一 a n . 厂2 , 一 旦顺 利转 化 , 数列 { b   } 的构 造也 就顺 理 成 

也能得 到数列 { %} 是 以 

为周期 的数 列? 在理论 上 ,  

章, 利 用特 征根法 求 { b   } 的通 项 公式 也就 水 到渠成 . 进  而也 就能顺 利地求出  } 的通项公式.  
笔者通过对考题 的研究 ,发现源 于教材 的高考题 、  

这种 方法 能解决 一切特 征方程有 两个 不等根 的数 列 的 

通项 公式 , 当特征 方程 的两根 比较 复杂时 , 尤其是 虚根 

时, 特征根 的 幅角不是 特殊值 , 这种 方法运 算量也 相 当 
大 ,不 论哪种 方法 ,解决 问题都是 一件不 容易 的事. 因 

竞 赛题 屡见不鲜 , 但 又不是 简单 的照搬 , 而是将 教材 中   的题 目进 行改 造 、 拓展 、 延 伸 而形 成 的 , 往往 是高 于 教  材 ,体现考题 与教材 的对接 和联系. 2 0 1 3 年全 国高 中数  学竞赛安徽赛 区初赛 试题 凸显 了这 种联系 , 有很好 的导 
向作用.  

此, 解题方法 的选择 , 要具体 问题具体分析 , 不能一概 而 
论.  

再 看2 0 1 3 年 全 国高 中数 学竞 赛安徽 赛 区初赛 试题 
第l 2 题: 设数 列{ %/  ̄ a i = 1 , a 2 = 2 ,  
6   2  

(  ≥3 ) .  

总之 , 在 日常数 学教学 中 , 要善 于发掘教 材 , 开发教 
材, 创 造性 地使用 好教材 , 有针 对性地 指导 一些学 生进  行探究 , 使学 生感受其 中的数 学思想方法 , 理解 、 掌握并  运用这些数学 思想方法分 析问题和解决 问题 , 一定能 收  到很好 的效果 . 但开 发利用教材必须 注意 以下几个 方面.   其一 , 对教 材的挖掘要有度 , 应 结合学生 的实际水平 , 在  学生有 能力的前提下 , 也 就是“ 跳一跳 能摘 到桃子 ” 的前 

( 1 ) 求 数列 { a n } 的通项公式 ;  

( 2 ) 求 证 : 对 任 意 正 整 数   ,   和 、 /  都 是 整 数 .  
此题与教材必修5 第二章复 习参考题 B 组第6 题 的 区  别是递 推关系 给出形 式不 同 ,实 际上是人教 版必 修5 第 

二章 习题第 6 题 的 拓 展 和 延 伸 ,只 要 递 推 关 系  =  
一  

提下 , 指导学 生进行研究 , 绝不是 一味地 加深和拔 高. 相  (  ≥3 ) 作一 些变形和适 当构造 , 就能得 到一个 
%_ 2  

反, 就会 削弱基 础知识 和主 干知识 的学 习 , 偏离 高 中数 
学 教学 的 方 向 , 抓 到芝 麻丢 掉西 瓜 , 得 不偿 失 , 适 得 其 

二阶线性递推 关系a n + 。 = 6  一 a n - 广2 . 因此 , 只要领悟 教材 中  的数学思想方 法 , 就能融会贯 通地运用这些 思想方法解 

反. 其二, 开发 教材资 源 , 在教师 的指导下让 学生 自主探  究和发 现 , 让 学生经 历探究 过程 , 在探究 过程 中感悟 教  材所蕴含 的数学 思想方法 、提升能力 和发展思 维 品质.  

决 问题 , 就 能看到 数学竞 赛题 的真 面 目, 问题就 能顺利  得到解决.  

解 : ( 1 ) 由   :   (   ≥ 3 ) , 得 』   + 2   l +   '   机械套用. 否则, 只会增 加学生 的负担 , 更 有悖 于新课 程  0 , 卜 2   l  1 a n + 1 :  + 2  + 1 ,  
两式相减 , 得:  
q P l ( 口 肿 l + c   卜 1 + 2) = (  1 2 + r 上   + 2 ) 0   .  

教师切忌将结论 简单地告知 给学生 ,让学生生搬 硬套 ,  
理念.  
参 考 文献 :  

1 . 王凡彪. 数 列 向递 推 寻根 构 造 回 归等 差 、 等 比『 J ] .  

结合。  9 , 得 

:  
c k — l  

: …:  

: 6 .  

中 学数 学 ( 上) , 2 0 1 3 ( 1 0 ) .  

从而‰ 1 = 6   一 a n _ 广 2 . 令6   = a n 一_ I, _ 得b   1 = 6 6   一 b  . 令 =  

2 . 普 通 高 中课 程 标 准 实验 教 科 书数 学A版 I 必修 5  

[ M ] . 北 京: 人民 教 育出 版 社, 2 0 1 0 . 圈 圈 
;  

十。 ? 擞? ? 高 中 版  


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