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北师大1-1-3§4导数的四则运算法则导学案

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第四章 数系的扩充与复数的引入 §2 复数的四则运算 基础自主预习
1.复数的加法与减法 (1)设 a ? bi 和 c ? di 是任意两个复数,则 (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i . (2)复数加法的运算律 复数加法满足交换律、 结合律, 即对任何 z1 , z 2 , z3 ? C, 有 z1 ? z 2 ? z

2 ? z1 ,z1 ? z 2 ? z3 ?

z1 ? ( z 2 ? z3 ) .
2.复数的乘法与除法 (1)设 a ? bi 与 c ? di 是任意两个复数,则 (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd) ? (ad ? bc)i . 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律,即对任何 z1 , z 2 , z3 ? C, 有

z1 ? z 2 ? z 2 ? z1 , ( z1 ? z 2 ) ? z3 ? z1 ? ( z 2 ? z3 ) , z1 ? ( z 2 ? z3 ) ? z1 z 2 ? z1 z 3
在复数范围内,正整数指数幂的运算律成立,即 z ? z ? z
m n m? n

,(z m ) n ? z

mn

, ( z1 z 2 ) n ?

z1 z 2 (n ? N ? )
( 2 ) 共 轭 复 数 : z ? a ? bi(a, b ? R) 的 共 轭 复 数 为 z ? a ? bi ; 在 复 平 面 内 , 复 数

n

n

z ? a ? bi(a, b ? R) 与其共轭复数为 z ? a ? bi 对应的点关于 x 轴对称; | z |?| z | 且 z ? z ? a 2 ? b 2 = | z |2 ?| z |2 .
(3)复数的除法

(a ? bi) ? (c ? di) ?

a ? bi (a ? bi)(c ? di) ac ? bd bc ? ad ? ? ? i c ? di (c ? di)(c ? di) c 2 ? d 2 c 2 ? d 2 1 1? i 1? i ? i, ? ?i (1 ? i)2 ? 2i,(1 ? i)2 ? ?2i , ? ?i , 1? i 1? i i

(1 ? 4i)+(7 ? 2i) (5 ? 2i)+(?1 ? 4i) ? (2 ? 3i)(3) (3 ? 2i)-[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] 练习: 计算 (1) (2)
【答案】 (1) 8 ? 2i ; (2) 2 ? 5i ; (3) 12 ? 4i

1 1? i 1? i ; (5) (6)(1 ? i )(1 ? i ) i 1? i 1? i 【答案】 (1)2i; (2) ? 2i; (3) ? i; (4)i; (5) ? i(6)2
练习:计算(1) (1)(1 ? i ) , (2)(1 ? i ) ; (3) ; (4)
2 2

练习:说出下列复数的共轭复数 3 ? 2i, ?4 ? 3i,5 ? i, ?5 ? 2i,7, 2i . 【答案】 3 ? 2i,?4 ? 3i;5 ? i;?5 ? 2i;7;?2i.

课堂互动探究
【疑难精讲点拨】 1.复数加、减法基本运算 例 1、已知 【即景活学巧用】 规律总结:复数加减法运算时注意实部与实部 相加,虚部与虚部相加. 1-1. 已 知 z1 ? 2 ? i, z 2 ? 1 ? 2i , 则 复 数

z1 ? (3x ? y) ? ( y ? 4 x)i, z 2 ? (4 y ? 2 x) ? (5x ? 3 y)i, ( x, y ? R),
设 z ? z1 ? z 2 ,且 z ? 13 ? 2i ,求 z1 , z 2 . 思路分析:要确定复数 z1 , z 2 , 即求出原式中的 x, y

z ? z 2 ? z1 对应的点所在的象限为(
A.一 B.二 【答案】B C.三 D.四

).

1-2.设 f ( z) ? z, z1 ? 3 ? 4i, z 2 ? ?2 ? i,

值 . 由复数的减法运算及复数相等的条件列出关于

则 f ( z1 ? z 2 ) 是(



x, y 的方程组,得出 x, y 值,从而写出 z1 , z 2 .
解:? z ? z1 ? z 2

A. 1 ? 3i B. ? 2 ? 11i C. ? 1 ? i D. 5 ? 5i 【答案】D ? z1 ? z 2 ? (3 ? 4i) ? (?2 ? i)

? (3x ? y) ? ( y ? 4 x)i ? [(4 y ? 2 x) ? (5x ? 3 y)i]

? 3 ? 4i ? 2 ? i ? 5 ? 5i

? [(3x ? y) ? (4 y ? 2 x)] ? [( y ? 4 x) ? (5 x ? 3 y)]i ? (5 x ? 3 y) ? ( x ? 4 y)i

? f ( z1 ? z2 ) ? f (5 ? 5i) ? 5 ? 5i ? 5 ? 5i.
故选项D. 1-3.( ? i ) ? (1 ? 【答案】

? z ? (5x ? 3 y) ? ( x ? 4 y)i ,又 z ? 13 ? 2i , ?5 x ? 3 y ? 13 ?x ? 2 ,解得 ? ?? ? x ? 4 y ? ?2 ? y ? ?1 ? z1 ? (3 ? 2 ? 1) ? (?1 ? 4 ? 2)i ? 5 ? 9i,

2 3

2 1 3 i ) ? ( ? i ) ? _______ . 3 2 4

7 5 ? i 6 12

. z 2 ? [4 ? (?1) ? 2 ? 2] ? [5 ? 2 ? 3 ? (?1)]i ? ?8 ? 7i. 1-4. | (2 ? 3i) ? (?1 ? 7i) |? _______ 【答案】 5 2.复数的乘、除法运算
例 2.计算(1) (2 ? i)(1 ? 2i)(2 ? i) ? 5i

规律总结:灵活运用复数的乘法法则及乘法运 算律,尤其是结合律来进行一些简单的复数运 (2) (1 ? i) 2 (1 ? i) 2 ? 4 算,为此,一些常用到的复数式的比值最好能 (1 ? 4i )(1 ? i ) ? 2 ? 4i 记住,下面提供了一部分. (3) 1 ? 2i 3 ? 4i 2-1. i 是虚数单位,若 ? a ? bi(a , b ? R) , 1? i 思路分析: 应用复数的乘法法则及乘法运算律可顺利 ) 求(1) (2)的值,对于(3) ,应用复数的除法运算, 则 a ? b 的值是( 1 1 分子分母同乘以 3 ? 4i ,将分母实数化即可. A. ? B. ?2 C. 2 D. 解: (1) (2 ? i)(1 ? 2i)(2 ? i) ? 5i 2 2 【答案】 C ? (2 ? i )(2 ? i )(1 ? 2i ) ? 5i 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? i) 3 ? i ? ? 【解析】 ,于是 ? (4 ? i 2 )(1 ? 2i ) ? 5i 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2 ? 5(1 ? 2i ) ? 5i 3 1 a?b ? ? ? 2 . ? 5 ? 10i ? 5i 2 2

? 5 ? 5i (2) (1 ? i) 2 (1 ? i) 2 ? 4 ? [(1 ? i )(1 ? i )]2 ? 4

2-2. 求值:(1) i ? _____, i ? _______ .
3 4

(2) i

4 n?1

? i 4n?2 ? i 4n?3 ? i 4n?4 ? ________ .

? (1 ? i 2 ) 2 ? 4 ? 22 ? 4 ?8 (1 ? 4i )(1 ? i ) ? 2 ? 4i (3) 3 ? 4i 1 ? i ? 4i ? 4i 2 ? 2 ? 4i ? 3 ? 4i 7?i (7 ? i )(3 ? 4i ) ? ? 3 ? 4i (3 ? 4i )(3 ? 4i ) 25 ? 25i ? ? 1 ? i. 25
(3) (

1 ? i 10 1 3 3 ) ? ____ . (4) ( ? i) ? _____. 1? i 2 2

【答案】 (1) ? i,1, (2)0, (3) ? 1, (4) ? 1 2-3.【2010·上海文数】若复数 z ? 1 ? 2i( i 为 虚数单位) ,则 z ? z ? z ? 【答案】 6 ? 2i .

z ? z ? z ? (1 ? 2i)(1 ? 2i) ? 1 ? 2i ? 6 ? 2i

3.复数的综合运算

规律总结:求复数表达式与复数中的参数等相

4 关问题时,应设出复数或据已知条件,并结合 例 3.已知 | z ? 2 |? 2 ,且 z ? ? R ,求 z . 复数的分类,得出相应的关系式,以求其解. z 思路分析:设复数 z ? a ? bi ,通过求模与实数关系 3-1.【2010·北京丰台区一模】
得两个方程,进而求出 a , b 的值,便得复数 z . 解:设 z ? a ? bi(a 、b ? R) ,则 | (a ? 2) ? bi |? 2 ① 依题意,得

1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 等于( ) 1 ? ai A. 0 B. ?1 C. 1 D. ?1 或 1 1 ? ai 【答案】D 由 z ? 得 1 ? ai
如果 z ?

4 4(a ? bi) ? (a ? bi) ? 2 a ? bi a ? b2 . 4a 4b ? (a ? 2 ) ? (b ? 2 )i a ? b2 a ? b2 a ? bi ?
4 4 z ? ? R ,? b(1 ? 2 ) ? 0 .② z a ? b2
由①、②,得 ?

1 ? a 2 ? 2ai 1 ? a 2 2a z? ? ? i 2 2 1? a 1? a 1? a2 2 为纯虚数,即有 1 ? a ? 0 ,且 a ? 0 故 a ? ?1 . 3-2.若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 2 ,则 z 的实部是
__________. 【答案】1 由 z (1 ? i) ? 2

? ?b ? 0, 或 2 2 ? ? (a ? 2) ? b ? 2;

2 2 ? ?a ? b ? 4, ? 2 2 ? ? (a ? 2) ? b ? 2.

解得 ?

? a ? 0, (舍) ; ?b ? 0

? ? a ? 1, ? ? ?b ? ? 3.

? a ? 1, ? a ? 4, ? 即 b 2 ? 22 ? 4 , 或 或 ? ? b ? 0; ?b ? 3; ? ? 解得 b ? ?2 3 , 于是 z ? ?2 3i

2 2 ? (1 ? i ) ? ? 1? i 1? i 1?1 3-3.已知 | z ? 2 |? 4 ,且 z 是纯虚数,求 z . 【解】由已知,设 z ? bi(b ? 0) 则由 | z ? 2 |? 4 知 | bi ? 2 |? 4 ,
得z ?

? z1 ? 4, z2 ? 1 ? 3i, z3 ? 1 ? 3i .
4.有关共轭复数问题 例 4.已知 x, y 为共轭复数,且

规律总结:在求有关共轭复数问题时,最好利 用共轭复数的性质对问题进行等价变形、化简, 使复杂问题简单化,如设 z ? a ? bi ,则常用到 的 有

z ? z ? 2a ,

z ? z ?| z |2 ?| z |2 ,

4-1.对任意复数 z ? x ? yi ? x, y ? R ? , i 为虚数 思路分析:设出共轭复数的代数形式,代人原等式, 利用复数相等得方程组求解即可,实质是化虚为实. 单位,则下列结论正确的是( ) 解:设 x ? a ? bi (a 、 b ? R) ,则 y ? a ? bi ,代入 原式,得 (2a) ? 3(a ? b )i ? 4 ? 6i ,
2 2 2

( x ? y)2 ? 3xyi ? 4 ? 6i ,求 x, y .

z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 等等.

A z ? z ? 2y C. z ? z ? 2 x 【答案】D

B. z ? x ? y
2 2

2

D. z ? x ? y

根据复数相等得 ?

?4a 2 ? 4, ? 2 2 ? ??3(a ? b ) ? ?6,

z ? z ? 2 y 故 A、C 错,

z 2 ? x 2 ? y 2 ? 2xyi ,故 B 错.

解得 ?

?a ? 1, ?a ? 1, 或? ?b ? 1; ?b ? ?1;

4-2.已知 z ? (2 ? i)3 , 则 z ? z ? _________ 【答案】 125 解法一:? z ? (2 ? i) 3 ? 2 ? 11 i , z ? 2 ? 11i

或?

?a ? ?1, ?a ? ?1, 或? ?b ? 1; ?b ? ?1;

? x ? 1 ? i, ? x ? 1 ? i , 或? ? 所求复数为 ? ? y ? 1 ? i; ? y ? 1 ? i;
或?

? z ? z ? (2 ? 11i)(2 ? 11i) ? 125
解法二:据复数的模的运算性质,

z ? z ?| z | 2 ?| (2 ? i ) 3 | 2 ?| 2 ? i | 6 ? ( 5 ) 6 ? 125

? x ? ?1 ? i, ? x ? ?1 ? i, 或? ? y ? ?1 ? i. ? y ? ?1 ? i;
知能达标训练

1.若复数 z 满足 z ? (3 ? 4i) ? 1 ,则 z 的虚部是(



A. ? 2 B. 4 C. 3 D. ? 4 【答案】B 【解析】有复数的加减法运算知 z ? ?2 ? 4i ,故虚部为 4 . 2 2.(1-i) · i =( ) A.2-2i B.2+2i C.2 D.-2 【答案】C 【解析】(1-i) · i (1 ? 2i ? 1) ? i ? ?2i 2 ? 2
2

(1 ? i ) 2 3.复数 的值为( ) ? 3 ?i 1 3 1 3 A. ?1 ? 3i B. ? i C. ? ? i 2 2 2 2
【答案】C

D. 1 ? 3i

(1 ? i) 2 2i( 3 ? i) ?2 ? 2 3i 1 3 【解析】 ? ? ?? ? i ,故选 C 4 2 2 3 ? i ( 3 ? i)( 3 ? i)
i b? , i 其中 a, b?R , i 为虚数单位,则 4. 【 2010· 辽 宁 抚 顺 市 一 模 】 若 (a ? 2 i ) ? a?b? . 【答案】3 【解析】 2 ? ai ? b ? i ? a ? 1, b ? 2 .

5. (

1 ? i 2006 ) =___________ 1? i

【答案】 ? 1

1? i 1 ? i 2006 ? i,? ( ) ? i 2006 ? (i 4 ) 501 ? i 2 ? i 2 ? ?1 1? i 1? i 智能提升作业 2 2 1.设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 ? z ? ( ) z
【解析】? A. ?1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i D. 1 ? i

【答案】 D 【解析】

2 2 2 ?z ? ? (1 ? i ) 2 ? 1 ? i ? 2i ? 1 ? i , 故选 D. z 1? i
) B. a 2 ? b2 ? 1 C. a 2 ? b2 ? 1 D. (a ? b)2 ? 1

2.复数 a ? bi(a,b ? R) 等于它共轭复数的倒数的充要条件是( A. (a ? b)2 ? 1 【答案】B

1 得 (a ? bi)(a ? bi) ? 1 ,即 a 2 ? b2 ? 1 .反之也成立,故只能选 B. a ? bi 2 ? bi 3.(浙江省桐乡一中 2011 届高三文)如果复数 (b∈R,i 为虚数单位)的实部和虚部互 1 ? 2i
【解析】由 a ? bi ? 为相反数,那么 b 等于 A. 2 【答案】C 【解析】 ( ) C. ?

2 B. 3

2 3

D.2

2 ? bi (2 ? bi)(1 ? 2i) 2 ? 2b ? (?4 ? b)i 2 ? ? . ? 2 ? 2b ? 4 ? b,即b ? ? , 选C. 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 5 3
a ? bi 为实数,则, ( c ? di B. bc ? ad ? 0 D. bc ? ad ? 0


4.设 a 、 b 、 c 、 d ? R ,若 A. bc ? ad ? 0 C. bc ? ad ? 0 【答案】C 【解析】由

a ? bi ac ? bd bc ? ad a ? bi bc ? ad ? 2 ? 2 i ,且因为 ? 0, 为实数,所以其虚部 2 2 2 c ? di c ? d c ?d c ? d2 c ? di 即 bc ? ad ? 0 故答案选 C.
)

5.设复数 z 的共轭复数是 z , 若复数 z1 ? 3 ? 4i, z 2 ? t ? i , 且 z1 ? z 2 是实数, 则实数 t 为( A.

3 4

B

4 3

C. ?

4 3

D. ?

3 4

【答案】A 【解析】 z1 ? z 2 ? (3 ? 4i)(t ? i) ? 3t ? 4 ? (4t ? 3)i ,若 z1 ? z 2 为实数,则 4t ? 3 ? 0 ,从而

t?

3 . 4

6.在复平面内,复数 A.第一象限 【答案】D 【解析】化简得

1 ? 3i 3 ?i

?

1 对应的点位于( 1? i
C.第三象限

) D.第四象限

B.第二象限

?1 ? 3i ?? 3 ? i ? ? 1 ? i ? 1 ? 1 i ,对应的点在第四象限. ? 3 ? i ?? 3 ? i ? ?1 ? i ??1 ? i ? 2 2

7.若 z1 ? 1 ? i , z2 ? a ? i ,其中 i 为虚数单位,且 z1 ? z2 ? R ,则实数 a ? 【答案】 ? 1 【解析】 z1 ? z 2 ? (1 ? i)(a ? i) ? (?1 ? a) ? (a ? 1)i ? R, 故 a ? 1 ? 0, a ? ?1. 8.若 z ?



2 100 50 ,那么 z ? z ? 1 的值是 1? i

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特级教师 王新敞
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【答案】 z ?

2 1 ? i 100 50 1 ? i 100 1 ? i 50 ? , z ? z ?1 ? ( ) ?( ) ?1 1? i 2 2 2

2i 2i ? ( )50 ? ( ) 25 ? 1 ? i 50 ? i 25 ? 1 ? i 2 ? i ? 1 ? i 2 2 【答案】 b ? 3 , c ? 0
9.设复数 z 满足 z ? 1,且 (3 ? 4i) ? z 是纯虚数,求 z
?
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【解析】设 z ? a ? bi,(a, b ? R) ,由 z ? 1得 a2 ? b2 ? 1 ;

( 3 ? 4i) ?zz? = (3 ? 4i)(a ? bi) ? 3a ? 4b ? (4a ? 3b)i 是纯虚数,则 3a ? 4b ? 0 (3

4 4 ? ? a? a?? 2 2 ? ? ? ? a ?b ?1 ? ? 5 5 ?? ,或 ? , ? ?3a ? 4b ? 0 ?b ? 3 ?b ? ? 3 ? ? ? 5 5 ? ? ? 4 3 4 3 z ? ? i, 或 ? ? i 所以 5 5 5 5
10.设复数 z 满足 | z |? 5 ,且 (3 ? 4i) ? z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上,

| 2z ? m |? 5 2, (m ? R) ,求 z 和 m 的值.
【解析】设出 z 的代数形式 z ? x ? yi( x, y ? R)
2 2 ∵ | z |? 5 ,∴ x ? y ? 25 .

(3 ? 4i) ? z ? (3 ? 4i) ? ( x ? yi) ? (3x ? 4 y) ? (4 x ? 3 y)i
又 (3 ? 4i) ? z 在复平面内对应的点在第二、四象限的角平分线上,则它的实部与虚部互 为相反数,∴ 3x ? 4 y ? 4 x ? 3 y ? 0.

? ?x ? ? 2 2 化简得 y ? 7 x ,将其代入 x ? y ? 25 ,得 ? ?y ? ? ?

? 2 2 ?x ? ? 2 或? 2 . ? 7 2 ? 7 2 y?? ? 2 2 ?

∴z ?

2 7 2 2 7 2 ? i ? i或z ? ? 2 2 2 2 2 7 2 ? i 时, | 2z ? m |?| 1 ? 7i ? m |? 5 2, 2 2

当z ?

即 (1 ? m) 2 ? 7 2 ? 50, 解得 m ? 0 或 m ? 2 . 当z ??

2 7 2 ? i 时,同理可得 m ? 0 或 m ? ?2 . 2 2 教学参考

本节主要学习和应用导数的四则运算法则,从而为导数的广泛应用“架桥铺路” ,所以 要使学生准确地掌握法则,并熟练应用。 一、教学内容分析 使学生经历导数概念推导四则运算法则的过程, 体会极限思想的应用, 据此掌握运算法 则的特征,并熟练应用解决相关的基本问题。 二、教学重点难点 教学重点: 掌握导数的四则运算法则, 能初步应用解决复杂函数的求导问题以及几何意 义的应用问题; 教学难点:导数的四则运算法则的准确、灵活应用。 三、教学建议 本节是一节典型的公式应用课,关键要抓住两点:公式的认识与应用。 1、认识公式:首先从来源认识,即了解公式的推导过程,联系与公式相关联的旧知, 明确推导过程中蕴含的数学思想、方法,能够同化到原有知识结构。导数的四则运算法则来 源于导函数的定义,其推导过程体现了导数概念的极限思想;其次从特征认识,即审视公式 的结构特点,把握共性与个性,能在问题解决中准确提取应用。要使学生认识到导数的四则 运算法则与实数、向量、三角等的运算法则是不同的,但是在一些运算技巧上又是相通的, 如结合律等;再次从意义认识,即公式蕴含的数与形的意义等。 2、应用公式:公式的应用可以从“正用、逆用、反用、活用”等方面入手,从而熟悉 公式特征、熟练相关题型。对本课时的四个运算法则公式而言, “正用”就是直接利用公式 求导、求曲线的切线方程; “逆用”就是利用导数求原函数(或解析式中的参数) 、利用切线 求曲线方程等;而“反用”则是对运算法则公式的特征进行辨析,从而引导学生防范错误记 忆、错误计算等; “活用”则是将导数与其它数学分支的知识进行融合,在不同背景下综合、 灵活应用,有效解决各种问题。 针对以上两点的教学,要分层依次实施,使学生的认识逐步深化,能力螺旋上升。


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