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初高中数学衔接教材 §2.1 一元二次方程(含答案)


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2.1 一元二次方程
2.1.1 根的判别式
{情境设置:可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法,如求方程的根: (1) x ? 2 x ? 3 ? 0 ;(2) x ? 2 x ? 1 ? 0 ;(3) x ? 2 x ? 3 ? 0 。}
2 2 2

用配方法可把一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)变为 ( x ?

b 2 b 2 ? 4ac ① ) ? 2a 4a 2

?a≠0,?4a2>0。于是
(1)当 b2-4ac>0 时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数

?b ? b 2 ? 4ac 根 x1,2= ; (2)当 b2-4ac=0 时,方程①的右端为零,因此,原方程有两 2a
个等的实数根 x1=x2=- 的左边 ( x ?

b ; (3)当 b2-4ac<0 时,方程①的右端是一个负数,而方程① 2a

b 2 ) 一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根。 2a

由此可知,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b2-4ac 来判定,我 们把 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表 示。 综上所述,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,有 (1)当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根,x1,2=

?b ? b 2 ? 4ac ; 2a

(2)当 Δ=0 时,方程有两个相等的实数根,x1=x2=- (3)当 Δ<0 时,方程没有实数根。

b ; 2a

例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数) ,如果方程有实数根,写出 方程的实数根。 (1)x2-3x+3=0; (2)x2-ax-1=0; (3) x2-ax+(a-1)=0; (4)x2-2x+a=0。 解: (1)∵Δ=32-4× 3=-3<0,∴方程没有实数根。 1× (2)该方程的根的判别式 Δ=a2-4× (-1)=a2+4>0,所以方程一定有两个不等的 1× 实数根 x1 ?

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 , x2 ? 。 2 2

(3)由于该方程的根的判别式为 Δ=a2-4× (a-1)=a2-4a+4=(a-2)2, 1×

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所以,①当 a=2 时,Δ=0,所以方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ②当 a≠2 时,Δ>0, 所以方程有两个不相等的实数根 x1=1,x2=a-1。 (4)由于该方程的根的判别式为 Δ=22-4× a=4-4a=4(1-a),所以 1× ①当 Δ>0,即 4(1-a) >0,即 a<1 时,方程有两个不相等的实数根 x1 ? 1 ? 1 ? a ,

x2 ? 1 ? 1 ? a ;
②当 Δ=0,即 a=1 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ③当 Δ<0,即 a>1 时,方程没有实数根。 说明: 在第 3,4 小题中,方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化,于是,在解 题过程中,需要对 a 的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论。 分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法, 在今后的解题中会经常地运 用这一方法来解决问题。

2.1.2
2

根与系数的关系(韦达定理)
? b ? b 2 ? 4ac ? 2a

若一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有两个实数根 x 1, 2 则有 x1 ? x2 ?

?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac ?2b b ? ? ?? ; 2a 2a 2a a

x1 x2 ?

?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac b 2 ? (b 2 ? 4ac) 4ac c ? ? ? 2 ? 。 2a 2a 4a 2 4a a

所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ? 一关系也被称为韦达定理。 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由 韦达定理可知,x1+x2=-p,x1·2=q,即 p=-(x1+x2),q=x1·2, x x 所以,方程 x2+px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)x+x1·2=0,由于 x1,x2 是一元二次方程 x x2+px+q=0 的两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x2-(x1+x2)x+x1·2=0。因此有以两 x 个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1·2=0。 x 所以,方程的另一个根为- 例 2 已知方程 5 x
2

b c ,x1·2= 。这 x a a

3 ,k 的值为-7。 5

? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值。
-2-

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分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出 k 的值,再由方程解 出另一个根。但由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程 的一个根及方程的二次项系数和常数项, 于是可以利用两根之积求出方程的另一个根, 再由 两根之和求出 k 的值。 解法一:∵2 是方程的一个根,∴5× 2+k× 2 2-6=0,∴k=-7。 所以,方程就为 5x2-7x-6=0,解得 x1=2,x2=- 解法二:设方程的另一个根为 x1,则 2x1=- 由(-

3 。 5

6 3 ,∴x1=- 。 5 5

3 k 3 )+2=- ,得 k=-7。所以,方程的另一个根为- ,k 的值为-7。 5 5 5

例 3 已知关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根,并且这两个实数根的 平方和比两个根的积大 21,求 m 的值。 分析: 本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的 方程,从而解得 m 的值。但在解题中需要特别注意的是,由于所给的方程有两个实数根, 因此,其根的判别式应大于零。 解:设 x1,x2 是方程的两根,由韦达定理,得 x1+x2=-2(m-2),x1·2=m2+4。 x ∵x12+x22-x1·2=21,∴(x1+x2)2-3 x1·2=21, x x 即[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21,化简,得 m2-16m-17=0,解得 m=-1,或 m=17。 当 m=-1 时,方程为 x2+6x+5=0,Δ>0,满足题意; 当 m=17 时,方程为 x2+30x+293=0,Δ=302-4× 293<0,不合题意,舍去。 1× 综上,m=17。 说明: (1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的 范围,然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值,取满足条件的 m 的 值即可。 (2)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式 Δ 是 否大于或大于零。因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根。 例 4 已知两个数的和为 4,积为-12,求这两个数。 分析:我们可以设出这两个数分别为 x,y,利用二元方程求解出这两个数。也可以利 用韦达定理转化出一元二次方程来求解。 解法一:设这两个数分别是 x,y,则 ?

?x ? y ? 4 ? xy ? -12

() 1 (2)

解得: ∴ ?

? x1 ? ?2, ? y1 ? 6,



? x2 ? 6, 因此,这两个数是-2 和 6。 ? ? y2 ? ?2.
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解法二:由韦达定理可知,这两个数是方程 x2-4x-12=0 的两个根。 解这个方程,得 x1=-2,x2=6。 所以,这两个数是-2 和 6。 说明: 从上面两种解法我们不难发现, 解法二 (直接利用韦达定理来解题) 要比解法一简捷。 例 5 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2+5x-3=0 的两根。 (1)求| x1-x2|的值; (2)求

1 1 ? 2 的值; 2 x1 x2

(3)x13+x23。

解:∵x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2+5x-3=0 的两根, ∴ x1 ? x2 ? ?

5 3 , x1 x2 ? ? 。 2 2 5 2
2

(1) x1-x2|2=x12+ x22-2 x1x2=(x1+x2)2-4 x1x2= (? ) ? 4 ? (? ) = ∵| ∴| x1-x2|=

3 2

49 25 +6= , 4 4

7 。 2

x 2 ? x 2 ( x ? x2 )2 ? 2 x1 x2 1 1 (2) 2 ? 2 ? 1 2 22 ? 1 ? x1 x2 x1 ? x2 ( x1 x2 )2

5 3 25 (? ) 2 ? 2 ? (? ) ?3 37 2 2 ? 4 。 ? 3 2 9 9 (? ) 2 4

(3)x13+x23=(x1+x2)( x12-x1x2+x22)=(x1+x2)[ ( x1+x2) 2-3x1x2] =(-

5 5 3 215 )× [(- )2-3× ? )]=- ( 。 2 2 2 8

说明: 一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量, 今后我们经常会遇到求这一 个量的问题,为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律: 设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) , 则 x1 ?

?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a

b 2 ? 4ac ? ?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac 2 b2 ? 4ac ? ? ∴| x1-x2|= 。 ? ? |a| |a| 2a 2a 2a
于是有下面的结论: 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) , 则| x1-x2|=

? (其中 Δ=b2-4ac) 。 |a|

今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论。 例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2-x+a-4=0 的一根大于零、另一根小于零,求实数 a 的取值范围。 解:设 x1,x2 是方程的两根,则 x1x2=a-4<0,且 Δ=(-1)2-4(a-4)>0。
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17 由①得 a<4,由②得 a< 。∴a 的取值范围是 a<4。 4 练 习 1.选择题: (1)方程 x ? 2 3kx ? 3k ? 0 的根的情况是(
2 2



(A)有一个实数根 (C)有两个相等的实数根

(B)有两个不相等的实数根 (D)没有实数根

(2)若关于 x 的方程 mx2+ (2m+1)x+m=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取 值范围是( (A)m< ) (B)m>-

1 4

1 4

(C)m<

1 ,且 m≠0 4

(D)m>-

1 ,且 m≠0 4


2.填空:(1)若方程 x2-3x-1=0 的两根分别是 x1 和 x2,则 (2)方程 mx2+x-2m=0(m≠0)的根的情况是 (3)以-3 和 1 为根的一元二次方程是
2

1 1 ? = x1 x2
。 。

3.若 a ? 8a ? 16 ? | b ? 1|? 0 ,当 k 取何值时,方程 kx2+ax+b=0 有两个不相等实数 根?

4.已知方程 x2-3x-1=0 的两根为 x1 和 x2,求(x1-3)( x2-3)的值。

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习题 2.1 A 组 1.选择题: (1)已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是( (A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2 )

(2)下列四个说法:其中正确说法的个数是( )个 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

①方程 x2+2x-7=0 的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程 x2-2x+7=0 的两根之和为-2,两根之积为 7; ③方程 3 x2-7=0 的两根之和为 0,两根之积为 ?

7 ; 3


④方程 3 x2+2x=0 的两根之和为-2,两根之积为 0。 (3)关于 x 的一元二次方程 ax2-5x+a2+a=0 的一个根是 0,则 a 的值是( (A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1 。 。 。

2.填空:(1)方程 kx2+4x-1=0 的两根之和为-2,则 k= (2)方程 2x2-x-4=0 的两根为 α,β,则 α2+β2=

(3) 已知关于 x 的方程 x2-ax-3a=0 的一个根是-2, 则它的另一个根是 (4)方程 2x2+2x-1=0 的两根为 x1 和 x2,则| x1-x2|= 。

3.试判定当 m 取何值时,关于 x 的一元二次方程 m2x2-(2m+1) x+1=0 有两个不相 等的实数根?有两个相等的实数根?没有实数根?

4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x2-7x-1=0 各根的相反数。

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B 组 1. 选择题:若关于 x 的方程 x2+(k2-1) x+k+1=0 的两根互为相反数, k 的值为 则 ( (A)1,或-1 (B)1 (C)-1 (D)0 )

2.填空:(1)若 m,n 是方程 x2+2005x-1=0 的两实数根,则 m2n+mn2-mn 的值等 于 。

(2)若 a,b 是方程 x2+x-1=0 的两个实数根,则代数式 a3+a2b+ab2+b3 的值 是 。

3.已知关于 x 的方程 x2-kx-2=0。 (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设 方程的两根为 x1 和 x2,如果 2(x1+x2)>x1x2,求实数 k 的取值范围。

4.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x1 和 x2。 求: (1)| x1-x2|和

x1 ? x2 ; (2)x13+x23。 2

5.关于 x 的方程 x2+4x+m=0 的两根为 x1,x2 满足| x1-x2|=2,求实数 m 的值。

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C 组 1.选择题: (1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x2-8x+7=0 的两根,则这个 直角三角形的斜边长等于( (A) 3 (B)3 ) (C)6 (D)9

(2)若 x1,x2 是方程 2x2-4x+1=0 的两个根,则

x1 x2 ? 的值为( x2 x1
(D)



(A)6

(B)4

(C)3

3 2

(3)如果关于 x 的方程 x2-2(1+m)x+m2=0 有两实数根 α,β,则 α+β 的取值范围为 ( )

(A)α+β≥

1 2

(B)α+β≤

1 2

(C)α+β≥1

(D)α+β≤1

(4) 已知 a, c 是 ΔABC 的三边长, b, 那么方程 cx2+(a+b)x+ (A)没有实数根 (C)有两个相等的实数根
2

c =0 的根的情况是 ( 4



(B)有两个不相等的实数根 (D)有两个异号实数根 。

2.填空:若方程 x -8x+m=0 的两根为 x1,x2,且 3x1+2x2=18,则 m= 3.已知 x1,x2 是关于 x 的一元二次方程 4kx2-4kx+k+1=0 的两个实数根。 (1)是否存在实数 k,使(2x1-x2)( x1-2x2)=- 在,说明理由; (2)求使

3 成立?若存在,求出 k 的值;若不存 2

x1 x2 ? -2 的值为整数的实数 k 的整数值; x2 x1
x1 ,试求 ? 的值。 x2

(3)若 k=-2, ? ?

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4.已知关于 x 的方程 x ? (m ? 2) x ?
2

m2 (1)求证:无论 m 取什么实数时,这 ?0。 4

个方程总有两个相异实数根; (2)若这个方程的两个实数根 x1,x2 满足|x2|=|x1|+2, 求 m 的值及相应的 x1,x2。

5. 若关于 x 的方程 x2+x+a=0 的根一个大于 1、 另一根小于 1, 求实数 a 的取值范围。

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答案: 2.1 一元二次方程 练习 1.(1)C (2)D 2. (1)-3 (2)有两个不相等的实数根 (3)x2+2x-3=0 3.k<4,且 k≠0 4.-1 提示:(x1-3)( x2-3)=x1 x2-3(x1+x2)+9 习题 2.1 A 组 1.(1)C (2)B 提示:②和④是错的,对于②,由于方程的根的判别式 Δ<0,所以 方程没有实数根;对于④,其两根之和应为-

2 。 (3)C 提示:当 a=0 时,方程不是一 3
3.当 m>-

元二次方程,不合题意。2. (1)2 (2)

17 (3)6 (3) 3 4

1 ,且 m≠0 4

时, 方程有两个不相等的实数根; m=- 当

1 1 时, 方程有两个相等的实数根; m<- 时, 当 4 4

方程没有实数根。4.设已知方程的两根分别是 x1 和 x2,则所求的方程的两根分别是-x1 和- x2,∵x1+x2=7,x1x2=-1,∴(-x1)+(-x2)=-7,(-x1)× (-x2)=x1x2=-1,∴所求的方 程为 y2+7y-1=0。 B 组 1.C 提示:由于 k=1 时,方程为 x2+2=0,没有实数根,所以 k=-1。 2. 2006 提示: (1) ∵m+n=-2005, mn=-1, 2n+mn2-mn=mn(m+n-1)=2006。 ∴m (2)-3 提示;∵a+b=-1,ab=-1,∴a3+a2b+ab2+b3=a2(a+b)+b2(a+b)= (a+b)( a2+b2)=(a+b)[( a+b) 2-2ab]=(-1)× [(-1)2-2× (-1)]=-3。 3. (1)∵Δ=(-k)2-4× (-2)=k2+8>0,∴方程一定有两个不相等的实数根。 1× (2)∵x1+x2=k,x1x2=-2,∴2k>-2,即 k>-1。 4. (1)| x1-x2|=

b 2 ? 4ac 3abc ? b3 x ? x2 b , 1 =? ; (2)x13+x23= 。 |a| a3 2 2a

5.∵| x1-x2|= 16 ? 4m ? 2 4 ? m ? 2 ,∴m=3。把 m=3 代入方程,Δ>0,满足 题意,∴m=3。 C 组 1. (1)B (2)A (3)C 提示:由 Δ≥0,得 m≤

1 ,∴α+β=2(1-m)≥1。 (4) 2

B 提示:∵a,b,c 是 ΔABC 的三边长,∴a+b>c,∴Δ=(a+b)2-c2>0。2. (1)12 提 示:∵x1+x2=8,∴3x1+2x2=2(x1+x2)+x1=2× 8+x1=18,∴x1=2,∴x2=6,∴m=x1x2 =12。3. (1)假设存在实数 k,使(2x1-x2)( x1-2 x2)=-

3 成立。∵一元二次方程 4kx2- 2

4kx+k+1=0 有两个实数根, ∴k≠0, Δ=16k2-16k(k+1)=-16k≥0, 且 ∴k<0。 1+x2=1, ∵x x1x2=

k ?1 9( k ? 1) ,∴ (2x1-x2)( x1-2 x2)=2 x12-51x2+2 x22=2(x1+x2)2-9 x1x2=2- = 4k 4k

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3 9( k ?1) 7 9 ,即 = ,解得 k= ,与 k<0 相矛盾,所以,不存在实数 k,使(2x1-x2)( x1 2 4k 2 5 3 成立。 2

-2 x2)=-

x12 ? x2 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ( x1 ? x2 ) 2 x1 x2 ?2? ?2? ?4 (2)∵ ? -2= x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1


x x 4k 4k ? 4(k ? 1) 4 ,∴要使 1 ? 2 -2 的值为整数,只须 k+1 能整 ?4? ?? x2 x1 k ?1 k ?1 k ?1

除 4。而 k 为整数,∴k+1 只能取± 1,± 2,± 4。又∵k<0,∴k+1<1,∴k+1 只能取-1, -2,-4, ∴k=-2,-3,-5。∴使 5。 (3)当 k=-2 时,x1+x2=1,① x1x2=

x1 x2 ? -2 的值为整数的实数 k 的整数值为-2,-3 和- x2 x1

x x 1 , ② ①2÷ ②,得 1 ? 2 +2=8,即 x2 x1 8

??

1

?

? 6 ,∴ ? 2 ? 6? ? 1 ? 0 ,
2

∴? ? 3? 2 2 。

m2 4. (1)Δ= 2(m ? 1) ? 2 ? 0 ; (2)∵x1x2=- ≤0,∴x1≤0,x2≥0,或 x1≥0,x2≤0。 4
①若 x1≤0,x2≥0,则 x2=-x1+2,∴x1+x2=2,∴m-2=2,∴m=4。此时,方程为 x2- 2x-4=0,∴ x1 ? 1 ? 5 , x2 ? 1 ? 5 。 ②若 x1≥0,x2≤0,则-x2=x1+2,∴x1+x2=-2, ∴m-2=-2,∴m=0。此时,方程为 x2+2=0,∴x1=0,x2=-2。 5.设方程的两根为 x1,x2,则 x1+x2=-1,x1x2=a,由一根大于 1、另一根小于 1, 得 (x1-1)(x2-1)<0, 即 x1x2-(x1+x2)+1<0, ∴ a-(-1)+1<0,∴a<-2。 此时,Δ=12-4× (-2) >0, ∴实数 a 的取值范围是 a<-2。

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