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高中数学1-2-2《组合》课件

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组合2 复习 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个 元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取 m 出m个元素的组合数。用符号 C 表示 组合数计算公式 m m n n! (2)Cn ? m!(n ? m)! m An n(n ? 1)(n ? 2) ?(n ? m ? 1) (1)Cn ? n ? Am m! 例 在歌手大奖赛的文化素质测 试中,选手需从5个试题中任意 选3题,问 (1)有几种不同的选题方法? (2)若有一道题是必答题, 有几种不同的选题方法? 练习:计算两个组合数  C10  ;C10 7 3 问题1:为何上面两个不同的组合数其结果相 同?怎样对这一结果进行解释? 从10个元素中取出7个元素后,还剩下 3个元素,就是说,从10个元素中每次取 出7个元素的一个组合,与剩下的(10-7) 个元素的组合是一一对应的。因此,从10 个元素中取7个元素的组合,与从这10个 元素中取出(10-7)个元素的组合是相等的 即:C10 ? C10 (? C10 ) 7 10 ? 7 3 问题2:上述情况加以推广可得组合数怎样的性质? 一般地,从 n 个不同元素中取出 m 个 元素后,剩下 n ? m 个元素.因为从 n 个 不同元素中取出 m个元素的每一个组合, 与剩下的n ? m个元素的每一个组合一一 对应,所以从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的组合数,等于从这 n 个元素中取出 n ? m个元素的组合数 即:c m n ? cn n? m 组合数性质1: Cn ? Cn m n?m n m 1、为简化计算,当m> 时,通常将计算 C n 2 n ?m 改为计算 Cn 2、 为了使性质1在m=n时也能成立,规定 C n 0 证明 说明: ?1 3、C ? C ? x ? y或x ? y ? n x n y n 组合数性质2引例 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球 ①从口袋里取出3个球,共有多少种取法? ②从口袋里取出3个球,使其中含有一个黑球, 有多少种取法? ③从口袋里取出3个球,使其中不含黑球,有 多少种取法? 从引例中可以发现一个结论:C 3 8 ? C7 ? C7 2 3 对上面的发现(等式)作怎样解释? 一般地,从a1 , a2 ,? , an ?1这n ? 1个不同的元素中取 m 出m个元素的组合数是C n ? 1, 这些组合可分成两类:一类含有a1,一类不含有a1, 含有a1的组合是从a2 , a3 ,? , an ?1这n个元素中取出 m ?1 m ? 1个元素与a1组成的,共有C n 个; 不含a1的组合是从a2 , a3 ,? , an ?1这n个元素中取出 m m个元素组成的,共有C n 个 由分类计数原理,得 组合数性质2 Cnm?1 ? Cnm ? Cnm?1 组合数性质2: m 证明 说明: ? ? c n ?1 c n c n m m ?1 1、公式特征:下标相同而上标差1的两个组合 数之和,等于下标比原下标多1而上标与原组合 数上标较大的相同的一个组合数 2、此性质的作用:恒等变形,简化运算.在今 后学习“二项式定理”时,我们会看到它的主 要应用. 例 (1) 计算 ( 2) C C 198 ; 200 2 C 3 100 2 200 ? 200 ? 199 2?1 ? 19900

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