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江苏省青阳高级中学2013届高三数学周末练习


江苏省青阳高级中学 2013 届高三数学周末练习
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.已知集合 P ? {x | x ? 1}, Q ? {x | x2 ? 4} ,则 P ? Q ? 2.在复平面内,复数 i (i ? 1) 对应的点在第 象限. .

3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续 5 年的平均单位面积产量

如下(单位:t / hm2)

其中产量比较稳定的小麦品种是 4.函数 y ? sin( x ?

. . .

开始 n←1 n←n+1

?
4

) 在 [0, ? ] 上的单调递增区间是

5.执行右边的流程图,最后输出的 n 的值是

6. 在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标 注的数字外完全相同.现从中随机取出两个小球,则取出的小球上标注 的数字之和为 5 或 7 的概率是 .

5? ? 1 ? x) ? sin 2 ( ? x) = 7.已知 sin( x ? ) ? , 则 sin( . 6 4 6 3 ?x ? y ? 4 ? 0 8.已知点 P(2, t ) 在不等式组 ? 表示的平面区域内,则点 ?x ? y ? 3 ? 0

?

2n>n2 Y 输出 n 结束
(第 5 题图)

P(2, t ) 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 距离的最大值为



9.将一边长为 4 的正方形纸片按照图中的虚线所示的方法剪开后拼接 为一正四棱锥,则该正四棱锥的体积为 . 10.在数列 ?an ? 中, a1 ? 11 ,且 3an?1 ? 3an ? 2(n ?N* ) ,则该数列中 相邻两项乘积的最小值为__________.
2 2

图1

x y 11.已知点 F , F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 1 a b

x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两点,若 ?ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值
范围是 .

12.设 O 为坐标原点,给定一个定点 A(4,3) , 而点 B (x, 0) 在 x 正半轴上移动, l (x) 表示

AB 的长,则△ OAB 中两边长的比值

x 的最大值为 l (x)



13 . 若 对 x, y ??1, 2 且 xy ? 2 总 有 不 等 式 2 ? x ? ? 是 .

a 成立,则实数 a 的取值范围 4? y

14 . 如 果 对 于 函 数 f ( x ) 定 义 域 内 任 意 的 两 个 自 变 量 的 值 x1 , x2 , 当 x1 ? x2 时 , 都 有 且存在两个不相等的自变量值 m1 , m2 ,使得 f (m1 ) ? f (m2 ) ,就称 f ( x ) 为定 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 义 域 上 的 不 严 格 的 增 函 数 . 已 知 函 数 g ( x) 的 定 义 域 、 值 域 分 别 为 A 、 B ,

A ? {1, 2,3} , B ? A , 且 g ( x) 为定义域 A 上的不严格的增函数,那么这样的 g ( x) 共
有__ 个.

二、解答题: (本大题共 6 小题,共计 90 分,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤) 15、 (本小题满分 14 分) 设已知 a ? (2 cos

? ? ?? ? ?? ) , ? (cos b , 3sin ) , ? 、? ? (0, ? ) . 其中 2 2 2 2 ? ? ? ? 5 2? (1)若 ? ? ? ? ,且 a ? 2b ,求 ? 、? 的值;(2)若 a ? b ? ,求 tan ? tan ? 的值. 3 2 ?

? ??

, sin

? ??

16. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且 ?BAD ? 60 ,侧面 PAD 是正三角形,
?

其所在的平面垂直于底面 ABCD,点 G 为 AD 的中点. (1)求证:BG ? 面 PAD; (2)E 是 BC 的中点,在 PC 上求一点 F,使得 PG // 面 DEF.

P

F G

A

D

B

E

C

17. (本小题满分 15 分)某企业有两个生产车间分别在 A,B 两个位置,A 车间有 100 名员 工,B 车间有 400 名员工,现要在公路 AC 上找一点 D,修一条公路 BD,并在 D 处建一个食 堂,使得所有员工均在此食堂用餐,已知 A,B,C 中任意两点间的距离均有 1 km,设∠BDC = ? ,所有员工从车间到食堂步行的总路程为 S. (1)写出 S 关于 ? 的函数表达式,并指出 ? 的取值范围; (2)问食堂 D 建在距离 A 多远时,可使总路程 S 最少?
D A

C

B

18. (本小题满分 15 分)如图,椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, F1 , F2 分别是椭圆 C

M 的左、 右焦点, 是椭圆短轴的一个端点, F 的直线 l 与椭圆交于 A, B 两点, MF F2 过 1 ? 1
的面积为 4 ,?ABF2 的周长为 8 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 Q 的坐标为 (1, 0) , 是否存在椭圆上的点 P 及以 Q 为圆心的一个圆,使得该圆与直线 PF1 , PF2 都相切,如存 在,求出 P 点坐标及圆的方程,如不存在,请说明理由. y M F2 O x

A F1 B

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 满足:an 记数列 bn ? 1 ? a
2 n,

1 ? ?1 ,a1 ? ,3(1? an?12 ) ? 2(1? an2 ) , 2

cn ? a

2 n?1

?a

? 2 n ( n ? N ).

(1)证明数列 ?bn ? 是等比数列; (2)求数列 ?cn ? 的通项公式; (3)是否存在数列 ?cn ? 的不 同项 ci , c j , ck ( i ? j ? k )使之成为等差数列?若存在请求出这样的不同项 ci , c j , ck (i ? j ? k ) ;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 16 分)

?? x3 ? x 2 ? bx ? c ( x ? 1) 已知函数 f ( x) ? ? 的图象过点 (?1, 2) ,且在点 (?1, f (?1)) 处 ( x ? 1) ? a ln x 的切线与直线 x ? 5 y ? 1 ? 0 垂直.(1) 求实数 b, c 的值;(2) 求 f ( x ) 在 [?1, e] ( e 为自 然对数的底数)上的最大值;(3) 对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上是否存在两 点 P, Q , 使得 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形, 且此三角形斜边中点在 y 轴上?

21. (1)选修 4—2:矩阵与变换 变换 T1 是逆时针旋转

? 的旋转变换,对应的变换矩阵是 M 1 ;变换 T2 对应的变换矩阵是 2

?1 1? M2 ? ? ?. ?0 1?
(1)求点 P(2,1) 在变换 T1 作用下的点 P ' 的坐标; (2)求函数 y ? x2 的图象依次在变换 T1 , T2 作用下所得曲线的方程.

22.一投掷飞碟的游戏中,飞碟投入红袋记 2 分,投入蓝袋记 1 分,未投入袋记 0 分.经过 多次试验,某人投掷 100 个飞碟有 50 个入红袋,25 个入蓝袋,其余不能入袋. (1)求该人在 4 次投掷中恰有三次投入红袋的概率; (2)求该人两次投掷后得分 ? 的数学期望 E? .

23.设 F (1,0) ,点 M 在 x 轴上,点 P 在 y 轴上,且 MN ? 2MP, PM ? PF (1)当点 P 在 y 轴上运动时,求点 N 的轨迹 C 的方程; (2) A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), D( x3 , y3 ) 是曲线 C 上的点, | AF |, | BF |, | DF | 成等差数 设 且 列,当 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E (3,0) 时,求 B 点坐标.

参考答案:

解答题: 15. (1)∵ ? ? ? ?
1 2? ? ? ,∴a = (1, sin(? ? ) ),b = ( , 3 sin(? ? ) ) ??2 分 3 3 3 2

由 a ? 2b ,得 sin(? ? ∴? ?

?

?

?
3

) ? 0 , ? ? (0, ? )

??4 分

?
3

, ? ?

?
3

(k ?Z)
2

??7 分

(2)∵a·b = 2cos 2 cos( =

1 ? cos(? ? ? ) ??? ? ?? ) ? 3 sin2 ? 1 ? cos(? ? ? ) ? 3 ? 2 2 2

5 3 ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 2 2

??10 分



5 3 5 3 ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ,即 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 2 2 2 2

整理得 ?5 sin? sin ? ? cos ? cos ? , ∵ ? 、? ? A ,∴ tan ? tan ? ? ?
1 。 5
?

??12 分 ??14 分

16. (1)连结 BD,因为四边形 ABCD 为菱形,且 ?BAD ? 60 , 所以三角形 ABD 为正三角形,又因为点 G 为 AD 的中点,所以 BG ? AD;--------4 分 因为面 PAD ? 底面 ABCD,且面 PAD ? 底面 ABCD=AD, 所以 BG ? 面 PAD. -----------7 分 (2)当点 F 为 PC 的中点时,PG // 面 DEF 连结 GC 交 DE 于点 H 因为 E、G 分别为菱形 ABCD 的边 BC、AD 的中点,所以四边形 DGEC 为平行四边形 所以点 H 为 DE 的中点,又点 F 为 PC 的中点 所以 FH 时三角形 PGC 的中位线,所以 PG // FH --------10 分 因为 FH ? 面 DEF, PG ? 面 DEF 所以 PG // 面 DEF. 综上:当点 F 为 PC 的中点时,PG // 面 DEF. ---------14 分

3 BD BC CD sin(120? ? ? ) ? ? 17. (1)在△BCD 中,∵ ,∴ BD ? 2 ,CD ? . sin 60? sin ? sin(120? ? ? ) sin ? sin ?

则 AD ? 1 ?

sin(120? ? ? ) . sin ?

??4 分

3 2 ? 100 ? [1 ? sin(120? ? ? ) ] = 50 ? 50 3 ? cos ? ? 4 .其中 π ≤α≤ 2π . ??7 分 S= 400 ? sin ? sin ? sin ? 3 3

(2) S ? ? ?50 3 ?

? sin ? ? sin ? ? (cos ? ? 4)cos ? 1 ? 4cos ? = 50 3 ? . sin 2 ? sin 2 ? 1 1 .当 cos ? ? 时, S ? <0,S 是 α 的单调减函数; 4 4

??9 分

令 S ? =0,得 cos ? ? 当 cos ? ?

1 时, S ? >0,S 是 α 的单调增函数. 4
15 , 4

∴当 cos ? ?

1 时,S 取得最小值.此时, sin ? ? 4 3 1 cos ? ? sin ? sin(120? ? ? ) 1 2 AD ? 1 ? ?1? 2 ? ? sin ? sin ? 2

??13 分

1 3 cos ? 1 3 4 1 5 = ? . 答 ( ? ? ? 2 sin ? 2 2 15 2 10 4

略)??15 分 18. (Ⅰ) 由题意知: ? 2c ? b ? 4,

1 2

bc ? 4, 4a ? 8 2,

a ? 2 2 ,解得 b ? c ? 2
??? 6 分

∴ 椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 8 4

(Ⅱ)假设存在椭圆上的一点 P( x0 , y0 ) ,使得直线 PF1 , PF2 与以 Q 为圆心的圆相切, Q 则 到直线 PF1 , PF2 的距离相等, F1 (?2,0),

F2 (2,0)

PF : 1
PF2 :
d1 ?

( x0 ? 2) y ? y0 x ? 2 y0 ? 0 ( x0 ? 2) y ? y0 x ? 2 y0 ? 0
| y0 | ( x0 ? 2) 2 ? y 0
2
2

??? 8 分

?

| 3 y0 | ( x0 ? 2) 2 ? y 0
2
2

? d2

??? 9 分

化简整理得: 8x0 ? 40x0 ? 32 ? 8 y0 ? 0 ∵ 点在椭圆上,∴ x0 ? 2 y0 ? 8
2 2

??? 10 分

解得: x0 ? 2 或 x0 ? 8 (舍)

?? 13 分

x0 ? 2 时, y0 ? ? 2 , r ? 1 ,

∴ 椭圆上存在点 P ,其坐标为 (2, 2 ) 或 (2,? 2 ) ,使得直线 PF1 , PF2 与以 Q 为 圆心的圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1相切 19. (1)由已知 an ? ?1, bn ? 0(n ? N * ) ??? 15 分

b1 ?

3 , 4
--------3 分

b 2 2 2 3(1 ? an?1 ) ? 2(1 ? an ) , n ?1 ? (n ? N * ) bn 3
所以 {bn } 是 (2) bn ?
2

3 2 为首项, 为公比的等比数列 4 3

--------5 分

3 2 3 2 n ?1 2 ? ( ) ( n ? N * ) , a n ? 1 ? b n ? 1 ? ? ( ) n ? 1 (n ? N * ) 4 3 4 3
2

--------7 分

c n ? a n ?1 ? a n ?

1 2 n ?1 ? ( ) (n ? N * ) 4 3

--------10 分

(3)假设存在 ci , c j , ck 满足题意成等差数列,

1 2 1 2 1 2 2c j ? ci ? ck 代入得 2 ? ? ( ) j ?1 ? ? ( ) i ?1 ? ? ( ) k ?1 4 3 4 3 4 3

--------12 分

2 j ?i ?1 ? 3 j ?i ? 2 k ? j ?i 2 j ?i ?1 ? 2 k ? j ?i ? 3 j ?i

,左偶右奇不可能成立。所以假设不成立,这样三项不存在。----16 分

20. (1)当 x ? 1 时, f '( x) ? ?3x ? 2 x ? b ,
2

???1 分

由题意得: ?

? f (?1) ? 2 ? 2?b?c ? 2 ,即 ? , ? f '(?1) ? ?5 ??3 ? 2 ? b ? ?5

???3 分 ???4 分

解得: b ? c ? 0 。 (2)由(1)知: f ( x) ? ?

? ? x3 ? x 2 ( x ? 1) ?a ln x ( x ? 1)

①当 ?1 ? x ? 1 时, f '( x) ? ? x(3x ? 2) ,

2 2 解 f ' ( x) ? 0 得 0 ? x ? ;解 f ' ( x) ? 0 得 ?1 ? x ? 0 或 ? x ? 1 3 3

, ∴ f ( x ) 在 (?1 0) 和 ( ,1) 上单减,在 (0, ) 上单增,
由 f '( x) ? ? x(3x ? 2) ? 0 得: x ? 0 或 x ? ∵

2 3

2 3

2 , 3

???6 分

2 4 f (?1) ? 2,f ( ) ? ,f (0) ? 0,f (1) ? 0 , 3 27 ∴ f ( x ) 在 [?1,1) 上的最大值为 2 。

???7 分

②当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? a ln x , 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 ;当 a ? 0 时, f ( x ) 在 [1, e] 单调递增; ∴ f ( x ) 在 [1, e] 上的最大值为 a 。 ∴当 a ? 2 时, f ( x ) 在 [?1, e] 上的最大值为 a ; 当 a ? 2 时, f ( x ) 在 [?1, e] 上的最大值为 2 。 ????10 分 (3)假设曲线 y ? f ( x) 上存在两点 P, Q 满足题意,则 P, Q 只能在 y 轴两侧,不妨设 ??9 分

P(t , f (t )) (t ? 0) ,则 Q(?t, t 3 ? t 2 ) ,且 t ? 1 。 ∵ ? POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形 ??? ???? ? ∴ OP? ??11 分 OQ ? 0 ,即 ?t 2 ? f (t )(t 3 ? t 2 ) ? 0 (*) 是否存在 P, Q 等价于方程(*)是否有解。 ①若 0 ? t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t 3 ? t 2 ,代入方程(*)得: ?t 2 ? (?t 3 ? t 2 )(t 3 ? t 2 ) ? 0 , 4 2 即: t ? t ? 1 ? 0 ,而此方程无实数解,从而 t ? 1 , ???12 分
∴ f (t ) ? a ln t ,代入方程(*)得: ?t 2 ? a ln t ? t 3 ? t 2 ) ? 0 , ( 即:

1 ? (t ? 1) ln t , a

???14 分

设 h( x) ? ( x ? 1)ln x ( x ? 1) ,则 h '( x) ? ln x ?

1 ? 1 ? 0 在 [1, ??) 恒成立, x

∴ h( x) 在 [1, ??) 上单调递增,从而 h( x) ? h(1) ? 0 ,则 h( x) 的值域为 [0, ??) 。 ∴当 a ? 0 时,方程

1 ? (t ? 1) ln t 有解,即方程(*)有解。 a

∴对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上总存在两点 P, Q ,使得 ? POQ 是以 O 为直 角 顶 点 的 直 角 三 角 形 , 且 此 三 角 形 斜 边 中 点 在 上。 ??16 分

y



第二部分(加试部分)
21.1 解: (1) M1 ? ?

?0 ?1? ?2? ?0 ?1? ?2? ? ?1? ? , M1 ? 1 ? ? ?1 0 ? ? 1 ? ? ? 2 ? ?1 0 ? ? ? ? ?? ? ? ?

所以点 P(2,1) 在 T1 作用下的点 P ' 的坐标是 P '(?1, 2) 。??????????5 分 (2) M ? M 2 M1 ? ?

?1 ?1? ?, ?1 0 ?
? x0 ? ?
0

设 ? ? 是变换后图像上任一点,与之对应的变换前的点是 ? ? , y

? x? ? y?

?

则M ?

? x0 ? ? x ? ? ? ? ?, ? y0 ? ? y ?
? x0 ? y0 ? x ? x0 ? y ,即 ? , ? x0 ? y ? y0 ? y ? x

也就是 ?

所以,所求曲线的方程是 y ? x ? y 2 。?????????????????10 分 2 解:由?sin(? -

?

1 3 )=3得:?( sin ? ? cos? )=3 3 2 2
……………………3 分 ……………………6 分

? y ? 3x ? 6 即:3x ? y ? 6 ? 0
由?

? x ? 2cos ? 得 x2 ? y 2 ? 4 ? y ? 2sin ?
6 ?3 2

∴圆心到直线 l 的距离 d ?

……………………8 分 ……………………10 分

所以, P 到直线 l 的距离的最大值为 d ? r ? 5

22. “飞碟投入红袋”“飞碟投入蓝袋”“飞碟不入袋”分别记为事件 A,B,C. (1) , , 则 P( A) ?

50 1 25 1 ? , P( B) ? P(C ) ? ? 100 2 100 4
------------------4 分

因每次投掷飞碟为相互独立事件,故 4 次投掷中恰有三次投入红袋的概率为

1 1 3 1 P4 (3) ? C 4 ( ) 3 (1 ? ) ? 2 2 4

(2)两次投掷得分 ? 的得分可取值为 0,1,2,3,4 则: P(? ? 0) ? P(C ) P(C ) ?
1 1 1 1 P(? ? 1) ? C 2 P( B) P(C ) ? 2 ? ? ? 4 4 8
1 P(? ? 3) ? C 2 P( A) P(C ) ?
1 P(? ? 2) ? C 2 P( A) P(C ) ? P( B) P ( B) ?

1 16

5 16

1 1 ; P (? ? 4) ? P ( A) P ( A) ? 4 4
-----------------10 分

? E? ? 0 ?

1 1 5 1 1 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 16 8 16 4 4 2

23. (1)设 N ( x, y) ,则由 MN ? 2MP 得 P 为 MN 中点,所以 M ( ? x,0), P (0, ) 又 PM ? PF 得 PM ? PF ? 0 , PM ? (? x,? ), PF ? (1,?
2 所以 y ? 4 x ( x ? 0 )

???? ?

????

???? ??? ? ?

y 2

y 2

y ), 2
------------------4 分

(2) 由(1) F (1,0) 为曲线 C 的焦点,由抛物线定义知,抛物线上任一点 P0 ( x0 , y0 ) 到 F 知 的 距 离 等 于 其 到 准 线 的 距 离 , 即 | P0 F |? x 0 ?

p , 所 以 2

| AF |? x1 ?

p p p , | BF |? x 2 ? , | DF |? x3 ? , 2 2 2

根据 | AF |, | BF |, | DF | 成等差数列,得 x1 ? x3 ? 2x2 , 直线 AD 的斜率为

y3 ? y1 y ? y1 4 ? 23 ? , 2 x3 ? x1 y1 ? y3 y3 y1 ? 4 4
y1 ? y3 ( x ? 3) , 4

所以 AD 中垂线方程为 y ? ?


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