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【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题4 三角函数与平面向量 第19练


第 19 练

三角函数的图象与性质

题型一 三角函数的图象

π π 例 1 (2013· 四川改编)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,- <φ< )的部分图象如图所示,则 ω,φ 2 2 的值分别是________. 破题切入点 考查“五点作图法”的逆用,由图象求解析式,先看周期,再看

什么时候取得

最值以及函数零点等. π 答案 2,- 3 π 3 5π - ?,T=π,∴ω=2, 解析 T= -? 4 12 ? 3? 5π π ∴2× +φ=2kπ+ ,k∈Z, 12 2 π ∴φ=2kπ- ,k∈Z. 3 π π? π 又 φ∈? ?-2,2?,∴φ=-3. 题型二 三角函数的简单性质 例 2 (2013· 山东)设函数 f(x)= 3 - 3sin2ωx-sin ωx· cos ωx(ω>0),且 y=f(x)图象的一个对称 2

π 中心到最近的对称轴的距离为 . 4 (1)求 ω 的值; 3π? (2)求 f(x)在区间? ?π, 2 ?上的最大值和最小值. (1)先根据倍角公式以及两角和与差的三角函数公式将 f(x)的解析式化简为“一 π 角一函数名”的形式,然后根据“y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ” 4 破题切入点 确定该函数的周期,代入周期公式即可求出 ω 的值; (2)先根据(1)确定函数解析式, 然后利用给定区间确定 f(x)的区间, 根据该函数在区间上的图象 即可确定所求函数的最值. 解 (1)f(x)= 3 - 3sin2ωx-sin ωxcos ωx 2
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1-cos 2ωx 1 3 - 3× - sin 2ωx 2 2 2 3 1 = cos 2ωx- sin 2ωx 2 2 π ? =-sin? ?2ωx-3?. 2π π 依题意知 =4× ,ω>0,所以 ω=1. 2ω 4 π? (2)由(1)知 f(x)=-sin? ?2x-3?. 3π 5π π 8π 当 π≤x≤ 时, ≤2x- ≤ . 2 3 3 3 π? 3 所以- ≤sin? ?2x-3?≤1. 2 3 所以-1≤f(x)≤ . 2 3π 3 π, ?上的最大值和最小值分别为 ,-1. 故 f(x)在区间? 2? ? 2 = 题型三 三角函数图象的变换 π 例 3 已知函数 f(x)=sin(ωx+ ),其中 ω>0,且函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离 4 π 等于 . 若函数 f(x) 的图象向左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数,则最小正实数 m = 3 ________. 破题切入点 由相邻两对称轴间距离得出周期进而求出 ω,再由平移后为偶函数得出 m 的最 小值. 答案 π 12

T π 解析 依题意,可得 = , 2 3 2π 又 T= ,故 ω=3, ω π 所以 f(x)=sin(3x+ ). 4 函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 π g(x)=sin[3(x+m)+ ]. 4 π π g(x)是偶函数当且仅当 3m+ =kπ+ (k∈Z), 4 2 kπ π 即 m= + (k∈Z), 3 12 π 从而最小正实数 m= . 12 总结提高 (1)利用三角函数图象确定解析式的基本步骤:①最值定 A:即根据给定函数图象 确定函数的最值即可确定 A 的值.②周期定 ω:即根据给定函数图象的特征确定函数的周期, 2π 利用周期计算公式 T= 求解 ω.③最值点定 φ:即根据函数图象上的最高点或最低点的坐标, |ω|
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代入函数解析式求解 φ 的取值,注意利用中心点求解 φ 时,要验证该点所在的单调区间以确 定 φ,否则会产生增解. (2)三角函数的简单性质主要包括:定义域、值域、对称性、奇偶性、周期性和单调性,对称 性注意各三角函数的对称中心和对称轴,求解奇偶性时首先应利用诱导公式将函数化成最简 再去研究,周期性的求解注意公式中应为|ω|而不是 ω,单调性要将 x 的系数化成正的.本部 分题目注意要将 ωx+φ 当作一个整体. (3)对于三角函数图象变换问题,平移变换规则是“左加右减上加下减”并且在变换过程中只 变换其中的自变量 x,要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向,当两个函数的名称不同 φ 时,首先要将函数名称统一,其次把 ωx+φ 写成 ω(x+ )最后确定平移的单位和方向.伸缩变 ω 换时注意叙述为“变为原来的”这个字眼,变换的倍数要根据横向和纵向,要加以区分.

π π 1.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+k(0<φ< )的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 ,直线 x 2 2 π = 是其图象的一条对称轴,则函数解析式为________. 3 π 答案 y=2sin(4x+ )+2 6

?A+k=4, ?A=2, ? ? 解析 由题意得? 解得? ? ? ?-A+k=0, ?k=2.
π 又函数 y=Asin(ωx+φ)+k 的最小正周期为 , 2 2π 所以 ω= =4,所以 y=2sin(4x+φ)+2. π 2 π 又直线 x= 是函数图象的一条对称轴, 3 π π 所以 4 × +φ=kπ+ (k∈Z), 3 2 5π 所以 φ=kπ- (k∈Z), 6 π π 又∵0<φ< ,故 φ= . 2 6 π 故得 y=2sin(4x+ )+2. 6 1 1 2.已知函数 f(x)=sin2ωx+ 3sin ωx· cos ωx,x∈R,又 f(α)=- ,f(β)= ,若|α-β|的最小值 2 2 3π 为 ,则正数 ω 的值为________. 4 1 答案 3 1-cos 2ωx 3 解析 f(x)= + sin 2ωx 2 2
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3 1 1 sin 2ωx- cos 2ωx+ 2 2 2 π 1 =sin(2ωx- )+ , 6 2 1 1 又由 f(α)=- ,f(β)= , 2 2 3π 1 且|α-β|的最小值为 可知 T=3π,于是 ω= . 4 3 =

π 3.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,|φ|< )的图象如图所示,为了得到 g(x)=sin 3x 的图象,则 2 只要将 f(x)的图象向________平移________个单位长度.(答案不唯一) π 答案 右 12 5π π? 2π 5π π ? 解析 由题意, 得函数 f(x)的周期 T=4? ω=3, 所以 sin? 又|φ|< , ?12-4?= 3 , ?3×12+φ?=-1, 2 π π π π ? ? ? ?? 所以 φ= , 所以 f(x)=sin? ?3x+4?=sin?3?x+12??,所以将函数 f(x)的图象向右平移12个单位长 4 度可以得到函数 g(x)=sin 3x 的图象.

π π 4.已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|< ),y=f(x)的部分图象如图所示,则 f( )=________. 2 24 答案 3 π 3π π π 解析 由图象知,T= =2( - )= ,ω=2. ω 8 8 2 3π 3π 由 2× +φ=kπ,k∈Z,得 φ=kπ- ,k∈Z. 8 4 π π π 又∵|φ|< ,∴φ= .由 Atan(2×0+ )=1, 2 4 4 π 知 A=1,∴f(x)=tan(2x+ ), 4 π π π π ∴f( )=tan(2× + )=tan = 3. 24 24 4 3 π π π 5. 若函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0, ]上单调递增, 在区间[ , ]上单调递减, 则 ω=________. 3 3 2 3 答案 2 π 解析 由题意知 f(x)的一条对称轴为直线 x= ,和它相邻的一个对称中心为原点,则 f(x)的周 3
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4π 3 期 T= ,从而 ω= . 3 2 π? 6.将函数 f(x)=-4sin? ?2x+4?的图象向右平移 φ 个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到 1 π 原来的 倍,所得图象关于直线 x= 对称,则 φ 的最小正值为________. 2 4 3 答案 π 8 解析 依题意可得 y=f(x) π π ?y=-4sin[2(x-φ)+ ]=-4sin[2x-(2φ- )] 4 4 π ?y=g(x)=-4sin[4x-(2φ- )], 4 π 因为所得图象关于直线 x= 对称, 4 π? 所以 g? 4, ?4?=± k 3 得 φ= π+ π(k∈Z). 2 8 3π 故 φ 的最小正值为 . 8 π 7.已知函数 f(x)=3sin(ωx- )(ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完全相同.若 6 π x∈[0, ],则 f(x)的取值范围是________. 2 3 答案 [- ,3] 2 解析 ∵f(x)和 g(x)的对称轴完全相同, ∴二者的周期相同,即 ω=2, π f(x)=3sin(2x- ). 6 π π π 5π ∵x∈[0, ],∴2x- ∈[- , ], 2 6 6 6 π 1 sin(2x- )∈[- ,1], 6 2 3 ∴f(x)∈[- ,3]. 2 π π? 8.(2014· 北京)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0).若 f(x)在区间? ?6,2?上 π? ?2π? ?π? 具有单调性,且 f? ?2?=f? 3 ?=-f?6?,则 f(x)的最小正周期为________. 答案 π π π? 解析 ∵f(x)在? ?6,2?上具有单调性, T π π ∴ ≥ - , 2 2 6 2π ∴T≥ . 3 π ? ?2π? ∵f? ?2?=f? 3 ?,

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π 2π + 2 3 7π ∴f(x)的一条对称轴为 x= = . 2 12 π π ? ? ? 又∵f? ?2?=-f?6?, π π + 2 6 π ∴f(x)的一个对称中心的横坐标为 = . 2 3 1 7π π π ∴ T= - = ,∴T=π. 4 12 3 4 π 2x- ?(x∈R)的图象为 C,以下结论正确的是________.(写出所有正确结论 9.函数 f(x)=sin? 3? ? 的编号) 11π ①图象 C 关于直线 x= 对称; 12 2π ? ②图象 C 关于点? ? 3 ,0?对称; π 5π? ③函数 f(x)在区间? ?-12,12?内是增函数; π ④由 y=sin 2x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C. 3 答案 ①②③ 11π? 11π ?2×11π-π?=sin?11π-π?=sin 3π=-1,为最小值,所以图 解析 当 x= 时,f? = sin 12 3? ? 12 ? ? ? 6 3? 12 2 2π 11π 2π ? ? 2π π? 象 C 关于直线 x= 对称,所以①正确;当 x= 时,f? ? 3 ?=sin?2× 3 -3?=sin π=0,图象 12 3 2π ? π 5π π π π C 关于点? ? 3 ,0?对称,所以②正确;当-12≤x≤12时,-2≤2x-3≤2,此时函数单调递增, π? 2π? π ? 所以③正确;y=sin 2x 的图象向右平移 个单位长度,得到 y=sin 2? ?x-3?=sin?2x- 3 ?,所以 3 ④错误,所以正确的是①②③. 10.已知函数 f(x)=sin ωx· cos ωx+ 3cos2ωx- π 意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为 . 4 (1)求 f(x)的表达式; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 8 π? 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,若关于 x 的方程 g(x)+k=0 在区间? ?0,2?上有且 只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. 1+cos 2ωx 1 3 解 (1)f(x)= sin 2ωx+ 3 - 2 2 2 π? 1 3 = sin 2ωx+ cos 2ωx=sin? ?2ωx+3?, 2 2 π π 由题意知,最小正周期 T=2× = , 4 2 π? 2π π π T= = = ,所以 ω=2,所以 f(x)=sin? ?4x+3?. 2ω ω 2
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3 (ω>0),直线 x=x1,x=x2 是 y=f(x)图象的任 2

π? π (2)将 f(x)的图象向右平移 个单位长度后,得到 y=sin? ?4x-6?的图象,再将所得图象所有点的 8 π? 横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y=sin? ?2x-6?的图象. π 2x- ?. 所以 g(x)=sin? 6? ? π π π 5π 令 2x- =t,∵0≤x≤ ,∴- ≤t≤ . 6 2 6 6 π π 5π? ? g(x)+k=0 在区间? 即函数 g(x)=sin t 与 y=-k 在区间? ?0,2?上有且只有一个实数解, ?-6, 6 ? 上有且只有一个交点.如图,

1 1 由正弦函数的图象可知- ≤-k< 或-k=1. 2 2 1 1 所以- <k≤ 或 k=-1. 2 2 π 3 11.(2014· 天津)已知函数 f(x)=cos x· sin(x+ )- 3cos2x+ ,x∈R. 3 4 (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在闭区间[- , ]上的最大值和最小值. 4 4 1 3 3 解 (1)由已知,有 f(x)=cos x· ( sin x+ cos x)- 3cos2x+ 2 2 4 1 3 3 = sin x· cos x- cos2x+ 2 2 4 1 3 3 = sin 2x- (1+cos 2x)+ 4 4 4 1 3 = sin 2x- cos 2x 4 4 1 π = sin(2x- ). 2 3 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π π π (2)因为 f(x)在区间[- ,- ]上是减函数,在区间[- , ]上是增函数, 4 12 12 4 π 1 π 1 π 1 f(- )=- ,f(- )=- ,f( )= , 4 4 12 2 4 4 π π 1 1 所以,函数 f(x)在闭区间[- , ]上的最大值为 ,最小值为- . 4 4 4 2 π 12.已知函数 f(x)=Asin(ωx+ )(A>0,ω>0),g(x)=tan x,它们的最小正周期之积为 2π2,f(x) 4 17π 的最大值为 2g( ). 4 (1)求 f(x)的单调递增区间; 3 π (2)设 h(x)= f2(x)+2 3cos2x.当 x∈[a, )时,h(x)有最小值为 3,求 a 的值. 2 3
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2π 解 (1)由题意,得 ·π=2π2, ω 所以 ω=1. 17π 17 π 又 A=2g( )=2tan π=2tan =2, 4 4 4 π 所以 f(x)=2sin(x+ ). 4 π π π 令 2kπ- ≤x+ ≤2kπ+ (k∈Z), 2 4 2 3π π 得 2kπ- ≤x≤2kπ+ (k∈Z). 4 4 3π π 故 f(x)的单调递增区间为[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z). 4 4 32 (2)因为 h(x)= f (x)+2 3cos2x 2 3 π = ×4×sin2(x+ )+2 3cos2x 2 4 =3(sin x+cos x)2+2 3cos2x =3+3sin 2x+ 3(cos 2x+1) π =3+ 3+2 3sin(2x+ ), 6 又 h(x)有最小值为 3, π 所以有 3+ 3+2 3sin(2x+ )=3, 6 π 1 即 sin(2x+ )=- . 6 2 π π π 5π 因为 x∈[a, ),所以 2x+ ∈[2a+ , ), 3 6 6 6 π π π 所以 2a+ =- ,即 a=- . 6 6 6

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