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2015年江西省南昌市十所省重点中学高考数学模拟试卷(理科)(二)解析


2015 年江西省南昌市十所省重点中学高考数学模拟试卷(理科) (二)
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一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.)

1. (5 分) (2015?南昌校级模拟)若集合 A={x∈R|x+1>0},集合 B═ {x∈R|

(x﹣1) (x+2)<0},则 A∩ B=( ) A.(﹣1,1) B.(﹣2,﹣1) 2. (5 分) (2015?南昌校级模拟)若 A.i B.1 C.(﹣∞,﹣2) D.(1,+∞) |=( )

(a∈R)是纯虚数,则| C. D.2

3. (5 分) (2015?南昌校级模拟)函数 y=sinxsin A. B.π C.2π

的最小正周期是( D.4π



4. (5 分) (2015?南昌校级模拟)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,? ) ,P(ξ> 2)=0.023,则 P(﹣2≤ξ≤2)=( A.0.997 B.0.954 ) C.0.488 D.0.477

2

5. (5 分) (2015?南昌校级模拟) 某校新校区建设在市二环路主干道旁, 因安全需要, 挖掘建设了一条人行地下通道,地下通道设计三视图中的主(正)视力(其中上部分曲线近 似为抛物)和侧(左)视图如图(单位:m) ,则该工程需挖掘的总土方数为( )

A.560m3

B.540m3

C.520m3

D.500m3

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6. (5 分) (2015?南昌校级模拟) 若实数 x、 y 满足不等式组

则 z=|x|+2y

的最大值是( A.10

) B.11 C.13 D.14

7. (5 分) (2015?南昌校级模拟)函数 f(x)的部分图象如图所示,则 f(x)的解 析式为( )

A.f(x)=x+sinx C. f(x)=xcosx

B.

f(x)= ) (x﹣ )

D. f(x)=x(x﹣

8. (5 分) (2015?南昌校级模拟)已知两点 A(1,0) ,B(1, 点 C 在第二象限,且∠ AOC=120°,设 A.﹣1 B.2 =﹣2, C.1

) ,O 为坐标原点, )

, (λ∈R) ,则 λ 等于( D.﹣2
k

9. (5 分) (2015?南昌校级模拟)设 k 是一个正整数, (1+ ) 的展开式中第四项的 系数为 ,记函数 y=x 与 y=kx 的图象所围成的阴影部分为 S,任取 x∈[0,4],y∈[0,16], )
2

则点(x,y)恰好落在阴影区域内的概率为(

A.

B.

C.

D.

10. (5 分) (2013?山东)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 , 底面是边长为 小为( ) 的正三角形,若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大
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A.

B.

C.

D.

11. (5 分) (2015?南昌校级模拟)以椭圆

+

=1 的顶点为焦点,焦点为顶点的

双曲线 C,其左、右焦点分别是 F1,F2,已知点 M 坐标为(2,1) ,双曲线 C 上点 P(x0, y0) (x0>0,y0>0)满足 A.2 B.4 = ,则 C.1 ﹣S D.﹣1 ( )

12. (5 分) (2015?南昌校级模拟)设集合 A=[0,1) ,B=[1,2],函数 f(x) = A. ( ,1) ,x0∈A,且 f[f(x0)]∈A,则 x0 的取值范围是( B. [0, ] C. (log2 ,1) )

D.(log32,1)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )

13. (5 分) (2015?南昌校级模拟)执行如图所示程序框图,若输入 n=6,m=3,那 么输出的 p 等于 .

14. (5 分) (2015?南昌校级模拟)函数 f(x)=2lnx+x 在 x=1 处的切线方程 是 .

2

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15. (5 分) (2015?南昌校级模拟)把 5 名新兵分配到一、二、三 3 个不同的班,要 求每班至少有一名且甲必须分配在一班,则所有不同的分配种数为 .

16. (5 分) (2015?南昌校级模拟)等比数列{an}的公比 0<q<1,a17 =a24,则使 a1+a2+…+an> + +…+ 成立的正整数 n 的最大值为 .

2

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (12 分) (2015?南昌校级模拟)已知函数 f(x)=2cos x﹣sin(2x﹣ (Ⅰ )求函数 f(x)的最大值,并写出 f(x)取最大值时 x 的取值集合; (Ⅱ )已知△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 若 f(A)= ,b+c=2.求实数 a 的 取值范围.
2

) .

18. (12 分) (2015?南昌校级模拟)近年来,随着地方经济的发展,劳务输出大省四 川、河南、湖北、安徽等地的部分劳务人员选择了回乡就业,因而使得沿海地区出现了一定 程度的用工荒.今年春节过后,沿海某公司对来自上述四省的务工人员进行了统计(如表) : 省份 四川 河南 湖北 安徽 45 60 30 15 人数 为了更进一步了解员工的来源情况, 该公司采用分层抽样的方法从上述四省务工人员中随机 抽取 50 名参加问卷调查. (1)从参加问卷调查的 50 名务工人员中随机抽取两名,求这两名来自同一省份的概率; (2)在参加问卷调查的 50 名务工人员中,从来自四川、湖北两省的人员中随机抽取两名, 用 ξ 表示抽得四川省务工人员的人数,求 ξ 的分布列和数学期望.

19. (12 分) (2015?南昌校级模拟)已知△ ABC 是边长为 3 的等边三角形,点 D、E 分别是边 AB,AC 上的点,且满足 = = .将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置,并使

得平面 A1DE⊥ 平面 BCED. (1)求证:A1D⊥ EC; (2)设 P 为线段 BC 上的一点,试求直线 PA1 与平面 A1BD 所成角的正切的最大值.

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20. (12 分) (2015?开封模拟)设抛物线 C1:y =4x 的准线与 x 轴交于点 F1,焦点 为 F2;以 F1,F2 为焦点,离心率为 的椭圆记作 C2 (1)求椭圆的标准方程; (2)直线 l 经过椭圆 C2 的右焦点 F2,与抛物线 C1 交于 A1,A2 两点,与椭圆 C2 交于 B1, B2 两点.当以 B1B2 为直径的圆经过 F1 时,求|A1A2|长.

2

21. (12 分) (2015?南昌校级模拟)函数 f(x)=ae ,g(x)=lnx﹣lna,其中 a 为正 常数,且函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行. (1)求 a 的值; (2)若存在 x 使不等式 成立,求实数 m 的取值范围;

x

(3)对于函数 y=f(x)和 y=g(x)公共定义域中的任意实数 x0,我们把|f(x0)﹣g(x0) |的值称为两函数在 x0 处的偏差.求证:函数 y=f(x)和 y=g(x)在其公共定义域内的所有 偏差都大于 2. 请考生在第 22、23、24 量题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修 4 一 1:几何证明选讲

22. (10 分) (2015?南昌校级模拟)如图,点 A 在直径为 15 的⊙ O 上,PBC 是过点 O 的割线,且 PA=10,PB=5. (Ⅰ )求证:PA 与⊙ O 相切; (Ⅱ )求 S△ ACB 的值.

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选修 4-4:坐标系与参数方程

23. (2015?河南模拟)在极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ=2acosθ(a≠0) ,以极点为坐 标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为 数) . (Ⅰ )求圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ )若直线 l 与圆 C 恒有公共点,求实数 a 的取值范围. 选修 4-5:不等式选讲 (t 为参

24. (2015?南昌校级模拟)已知函数 f(x)=|x﹣1|+2|x+1|+1. (Ⅰ )求不等式 f(x)<6 的解集; (Ⅱ )若直线 y=( ) (a∈R)与函数 y=f(x)的图象恒有公共点,求实数 a 的取值区间.
a

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2015 年江西省南昌市十所省重点中学高考数学模拟试卷 (理科) (二)
参考答案与试题解析

一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1. (5 分) (2015?南昌校级模拟)若集合 A={x∈R|x+1>0},集合 B═ {x∈R|(x﹣1) (x+2) <0},则 A∩ B=( ) A.(﹣1,1) B.(﹣2,﹣1) C.(﹣∞,﹣2) D.(1,+∞) 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 中不等式的解集确定出 A, 求出 B 中不等式的解集确定出 B, 找出两集合的交 集即可. 解答: 解:由 A 中的不等式解得:x>﹣1,得到 A=(﹣1,+∞) , 由 B 中的不等式解得:﹣2<x<1,即 B=(﹣2,1) , 则 A∩ B=(﹣1,1) . 故选:A. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
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2. (5 分) (2015?南昌校级模拟)若 A.i B.1

(a∈R)是纯虚数,则| C.

|=( D.2



考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出. 解答: 解:∵ = =
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是纯虚数,



,解得 a=1.

∴ |

|=

=

=1.

故选:B. 点评: 本题考查了复数的运算法则和模的计算公式,属于基础题.

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3. (5 分) (2015?南昌校级模拟)函数 y=sinxsin A. B.π C.2π

的最小正周期是( D.4π



考点: 二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 利用诱导公式、二倍角公式对已知函数进行化简,然后代入周期公式即可求解 解答: 解:∵ y=sinxsin =sinxcosx= sin2x
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∴ T=π 故选 B 点评: 本题主要考查了诱导公式、二倍角的正弦公式及周期公式的简单应用,属于基础试题 4. (5 分) (2015?南昌校级模拟) 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N (0, ?) , P (ξ>2) =0.023, 则 P(﹣2≤ξ≤2)=( ) A.0.997 B.0.954 C.0.488 D.0.477 考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题;概率与统计. 2 分析: 由随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,? )可知正态密度曲线关于 y 轴对称,由图象的对 称性可得结果. 2 解答: 解:由随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,? )可知正态密度曲线关于 y 轴对称, 而 P(ξ>2)=0.023,则 P(ξ<﹣2)=0.023, 故 P(﹣2≤ξ≤2)=1﹣P(ξ>2)﹣p(ξ<﹣2)=0.954, 故选:B. 点评: 本题主要考查正态分布的概率求法,结合正态曲线,加深对正态密度函数的理解.
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2

5. (5 分) (2015?南昌校级模拟)某校新校区建设在市二环路主干道旁,因安全需要,挖掘 建设了一条人行地下通道,地下通道设计三视图中的主(正)视力(其中上部分曲线近似为 抛物)和侧(左)视图如图(单位:m) ,则该工程需挖掘的总土方数为( )

A.560m3

B.540m3

C.520m3

D.500m3

考点: 抛物线的应用;用定积分求简单几何体的体积. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 建立直角坐标系,求出抛物线的方程,求出正(主)视图上部分抛物线与矩形围成的 部分面积、下部分矩形面积,即可求出挖掘的总土方数.
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解答: 解:以顶部抛物线顶点为坐标原点,抛物线的对称轴为 y 轴建立直角坐标系,易得抛 物线过点(3,﹣1) ,其方程为 y=﹣ 成的部分面积 S1= ,那么正(主)视图上部分抛物线与矩形围 =2 =4,

下部分矩形面积 S2=24, 3 故挖掘的总土方数为 V=(S1+S2)h=28×20=560m . 故选:A. 点评: 本题是对抛物线方程在实际生活中应用的考查,考查学生的计算能力,属于中档题.

6. (5 分) (2015?南昌校级模拟)若实数 x、y 满足不等式组

则 z=|x|+2y 的

最大值是( A.10

) B.11 C.13 D.14

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域, 分类化目标函数为直线方程的斜截式, 数形结合得到最优解, 求出最优解的坐标,代入目标函数得答案. 解答:
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解:由约束条件

作出可行域如图,

当 x≥0 时,z=|x|+2y 化为 y=﹣ x+ z,表示的是斜率为﹣ ,截距为 的平行直线系, 当过点(1,5)时,直线在 y 轴上的截距最大,z 最大,zmax=1+2×5=11; 当 x<0 时,z=|x|+2y 化为 ,表示斜率为 ,截距为 ,的平行直线系,

当直线过点(﹣4,5)时直线在 y 轴上的截距最大,z 最大,zmax=4+2×5=14. ∴ z=|x|+2y 的最大值是 14. 故选:D. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
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7. (5 分) (2015?南昌校级模拟) 函数 f ( x) 的部分图象如图所示, 则f (x) 的解析式为 (



A.f(x)=x+sinx C. f(x)=xcosx

B.

f(x)= ) (x﹣ )

D. f(x)=x(x﹣

考点: 利用导数研究函数的单调性;函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用排除法,根据函数的奇偶性可以排除 D,根据特殊点可以排除 B,根据单调性可 以排除 A,问题得以解决. 解答: 解:由图象关于原点对称,所以函数 f(x)为奇函数,可排除 D, 又图象过原点,可排除 B, 又当 f(x)=x+sinx 时,f′ (x)=1+cosx≥0,此时函数 f(x)在 R 上为增函数,可排 除 A, 故选:C 点评: 本题考查了函数图象的识别,经常要利用函数的奇偶性,单调性,特殊点,属于基础 题.
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8. (5 分) (2015?南昌校级模拟)已知两点 A(1,0) ,B(1, 在第二象限,且∠ AOC=120°,设 A.﹣1 B.2 =﹣2, C.1

) ,O 为坐标原点,点 C )

, (λ∈R) ,则 λ 等于( D.﹣2

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据已知条件可以求出 C 点坐标 C(
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) ,再根据∠ AOC=120°,便有

tan120°= 解答: 解: 即

=

,所以解得 λ=1. ; ,又∠ AOC=120°所以: ,解得 λ=1.

故选 C. 点评: 考查向量加法、数乘的坐标运算,以及正切函数的定义.

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9. (5 分) (2015?南昌校级模拟)设 k 是一个正整数, (1+ ) 的展开式中第四项的系数为 ,记函数 y=x 与 y=kx 的图象所围成的阴影部分为 S,任取 x∈[0,4],y∈[0,16],则点 (x,y)恰好落在阴影区域内的概率为( )
2

k

A.

B.

C.

D.

考点: 几何概型;定积分在求面积中的应用. 专题: 概率与统计. 分析: 先利用二项式定理求出 k 值,再利用积分求阴影部分的面积,那积分的上下限由求方 程组得到.然后利用几何概型的概率公式解答. 解答: 解:根据题意得 ,
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解得:k=4 或 k= (舍去)

解方程组 解得:x=0 或 4



∴ 阴影部分的面积为

=



任取 x∈[0,4],y∈[0,16],则点(x,y)对应 区域面积为 4×16=64, 由几何概型概率求法得点(x,y)恰好落在阴影区域内的概率为 ;

故选 C. 点评: 本题主要考查了定积分、二项式定理和几何概型的概率求法,应用定积分求平面图形 面积时,积分变量的选取是至关重要的,属于基础题.

10. (5 分) (2013?山东)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是 边长为 A. 的正三角形, 若 P 为底面 A1B1C1 的中心, 则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 ( B. C. D. )

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 空间位置关系与距离;空间角.
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分析: 利用三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知,∠ APA1 为 PA 与 平面 A1B1C1 所成角,即为∠ APA1 为 PA 与平面 ABC 所成角.利用三棱锥的体积计算 公式可得 AA1, 再利用正三角形的性质可得 A1P, 在 Rt△ AA1P 中, 利用 tan∠ APA1= 即可得出. 解答: 解:如图所示, ∵ AA1⊥ 底面 A1B1C1,∴ ∠ APA1 为 PA 与平面 A1B1C1 所成角, ∵ 平面 ABC∥ 平面 A1B1C1,∴ ∠ APA1 为 PA 与平面 ABC 所成角. ∵ = = . = = ,解得 . =1,

∴ V 三棱柱 ABC﹣A1B1C1=

又 P 为底面正三角形 A1B1C1 的中心,∴ 在 Rt△ AA1P 中, ∴ 故选 B. .



点评: 熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关 键.

11. (5 分) (2015?南昌校级模拟)以椭圆

+

=1 的顶点为焦点,焦点为顶点的双曲线 C,

其左、右焦点分别是 F1,F2,已知点 M 坐标为(2,1) ,双曲线 C 上点 P(x0,y0) (x0>0, y0>0)满足 A.2 = B.4 ,则 C.1
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﹣S



) D.﹣1

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 向量与圆锥曲线. 分析: 通过已知条件,写出双曲线方程,结合已知等式及平面几何知识得出点 M 是△ F1PF2 的内心,利用三角形面积计算公式计算即可. 解答:
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解:∵ 椭圆方程为

+

=1,

∴ 其顶点坐标为(3,0) 、 (﹣3,0) ,焦点坐标为(2,0) 、 (﹣2,0) , ∴ 双曲线方程为 ,|PF1|﹣|PF2|=4,



=

,可得

=



所以 MP 平分∠ F1PF2, 结合平面几何知识可得,△ F1PF2 的内心在直线 x=2 上, 所以点 M(2,1)就是△ F1PF2 的内心. 故 ﹣ = = =2,

故选:A. 点评: 本题考查椭圆方程,双曲线方程,三角形面积计算公式,注意解题方法的积累,属于 中档题.

12. (5 分) (2015?南昌校级模拟) 设集合 A=[0, 1) , B=[1, 2] , 函数 ( f x) = x0∈A,且 f[f(x0)]∈A,则 x0 的取值范围是( ) A. B. C. ( ,1) [0, ] (log2 ,1)



D.(log32,1)

考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 令 t=f(x0) ,由 f(t)∈A 得 或
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,分别解出它们,再求并

集,可得 <t<2,再由

,运用指数函数的单调性即可解得.

解答: 解:令 t=f(x0) ,由 f(t)∈A 得





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,解得 <t<2,

即有

即为



即有 log2 <x0<1. 故选 C. 点评: 本题考查分段函数的运用:解不等式,主要考查指数不等式的解法,运用指数函数的 单调性是解题的关键. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13. (5 分) (2015?南昌校级模拟)执行如图所示程序框图,若输入 n=6,m=3,那么输出的 p 等于 120 .

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 通过程序框图,按照框图中的要求将几次的循环结果写出,得到输出的结果. 解答: 解:第一次循环,k=1,n=6,m=3,p=4; 第二次循环,k=2,n=6,m=3,p=20; 第三次循环,k=3,n=6,m=3,p=120;结束循环 故答案为:120; 点评: 本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时, 常采用写出几次的结果找规 律.
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14. (5 分) (2015?南昌校级模拟) 函数 ( f x) =2lnx+x 在 x=1 处的切线方程是 4x﹣y﹣3=0 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.

2



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专题: 导数的综合应用. 分析: 求出原函数的导函数,得到 f′ (1)的值,再求出 f(1)的值,然后利用直线方程的 点斜式得答案. 2 解答: 解:由 f(x)=2lnx+x ,得: , ∴ f′ (1)=4. 又 f(1)=1. ∴ 函数 f(x)=2lnx+x 在 x=1 处的切线方程为 y﹣1=4×(x﹣1) . 即 4x﹣y﹣3=0. 故答案为:4x﹣y﹣3=0. 点评: 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,过曲线上某点处的切线的斜率, 就是函数在该点处的导数值,是中档题. 15. (5 分) (2015?南昌校级模拟)把 5 名新兵分配到一、二、三 3 个不同的班,要求每班 至少有一名且甲必须分配在一班,则所有不同的分配种数为 50 . 考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,分析可得一班最少有甲 1 人,最多可以有 3 人;则由此分 3 种情况讨论: ① 、若一班只有甲 1 人,② 、一班有 2 人,③ 、一班有 3 人,分别求出每种情况下的分 配方法数目,由分类计数原理计算可得答案. 解答: 解:根据题意,分 3 种情况讨论, ① 、若一班只有甲 1 人,则二班可能有 1 人、2 人、3 人,共 3 种情况, 1 2 3 此时,有 C4 +C4 +C4 =14 种分配方法; ② 、若一班有 2 人,则二班可能有 1 人、2 人,共 2 种情况, 1 1 2 此时,有 C4 ×[C3 +C3 ]=24 种分配方法; ③ 、若一班有 3 人,则二班、三班各有 1 人,
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2

此时有 C4 ×C2 =12 种分配方法, 综上,不同的分配方法共有 14+24+12=50 种 故答案为 50. 点评: 本题考查排列、组合的应用,解题时注意要分析一班的人数可能情况,由此进行分类 讨论. 16. (5 分) (2015?南昌校级模拟)等比数列{an}的公比 0<q<1,a17 =a24,则使 a1+a2+…+an > + +…+ 成立的正整数 n 的最大值为 18 .
2

2

1

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 求出数列的前 n 项和,根据不等式之间的关系即可得到结论. 16 2 23 解答: 解:设首项为 a1,公比为 q,依题意有(a1q ) =a1q ,
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∴ a1q =1.则 a1>0,且 a1=q ,
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9

﹣9

∵ {an}为等比数列,∴ {

}是以

为首项, 为公比的等比数列.

则不等式等价为



∵ 0<q<1,把 a1=q ,即 a1 =q 代入整理, ﹣18 n 1﹣n n 得 q (1﹣q )>q (1﹣q ) , ﹣18 1﹣n ∴ q >q , ∴ ﹣18<1﹣n, 即 n<19, ∵ n∈N*,∴ n 的最大值为 18. 故答案为:18. 点评: 本题主要考查等比数列的通项公式和前 n 项和的应用,考查数列与不等式的应用,综 合性较强,运算量较大. 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (12 分) (2015?南昌校级模拟)已知函数 f(x)=2cos x﹣sin(2x﹣ (Ⅰ )求函数 f(x)的最大值,并写出 f(x)取最大值时 x 的取值集合; (Ⅱ )已知△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 若 f(A)= ,b+c=2.求实数 a 的 取值范围. 考 三角函数中的恒等变换应用;余弦定理. 点 : 专 三角函数的求值;三角函数的图像与性质;解三角形. 题 : 分 (Ⅰ )化简可得解析式 f(x)=1+sin(2x+ ) ,从而可求函数 f(x)的最大值,并写出 f 析 : (x)取最大值时 x 的取值集合;
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﹣9

2

﹣18

2

) .

(Ⅱ )由题意, 余弦定理,由 b+c=2,知 数 a 的取值范围. 解 本小题满分(12 分) 答 解: (Ⅰ ) :

,化简可求得 A 的值,在△ ABC 中,根据 ,即 a ≥1.又由 b+c>a 得 a<2,即可求实
2

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= ∴ 函数 f(x)的最大值为 2. 当且仅当 取到. 所以函数最大值为 2 时 x 的取值集合为 (Ⅱ )由题意, ∵ A∈(0,π) ,∴ ∴ . ,即



,即



.…(6 分) ,化简得 ,∴ , .

在△ ABC 中,根据余弦定理,得 由 b+c=2,知 ,即 a ≥1.
2



∴ 当 b=c=1 时,取等号. 又由 b+c>a 得 a<2. 所以 a 的取值范围是[1,2 ) .…(12 分) 点 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用,余弦定理的应用,不等式的解法,属于中 评 档题. : 18. (12 分) (2015?南昌校级模拟)近年来,随着地方经济的发展,劳务输出大省四川、河 南、湖北、安徽等地的部分劳务人员选择了回乡就业,因而使得沿海地区出现了一定程度的 用工荒.今年春节过后,沿海某公司对来自上述四省的务工人员进行了统计(如表) : 省份 四川 河南 湖北 安徽 45 60 30 15 人数 为了更进一步了解员工的来源情况, 该公司采用分层抽样的方法从上述四省务工人员中随机 抽取 50 名参加问卷调查. (1)从参加问卷调查的 50 名务工人员中随机抽取两名,求这两名来自同一省份的概率; (2)在参加问卷调查的 50 名务工人员中,从来自四川、湖北两省的人员中随机抽取两名, 用 ξ 表示抽得四川省务工人员的人数,求 ξ 的分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;分层抽样方法;古典概型及其概率计算公式. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (1)由题意知,从上述四省抽取的人数分别为 15,20,10,5,利用组合的意义分别 计算出从参加问卷调查的 50 名务工人员中随机抽取两名的方法和这两名人员来自同 一省份的取法,再利用古典概型的概率计算公式即可得出; (2)由(1)知,在参加问卷调查的 50 名务工人员中,来自四川、湖北两省的人员 人数分别为 15,10,可得 ξ 的可能取值为 0,1,2.利用超几何分布的概率计算公,
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即可得到分布列,利用数学期望的概率计算公式即可得出. 解答: 解: (1)由题意知,从上述四省抽取的人数分别为 15,20,10,5.…(2 分) 设“从参加问卷调查的 50 名务工人员中随机抽取两名,这两名人员来自同一个省份” 为事件 M, 从参加问卷调查的 50 名务工人员中随机抽取两名的取法共有 这两名人员来自同一省份的取法共有 ∴ P(M)= = .…(5 分) =350. =1225 种,

(2)由(1)知,在参加问卷调查的 50 名务工人员中,来自四川、湖北两省的人员 人数分别为 15,10. ξ 的可能取值为 0,1,2,…(7 分) P(ξ=0)= = ,P(ξ=1)= = ,P(ξ=2)= = .…(10 分)

∴ ξ 的分布列为: ξ 0 P ∴ Eξ=0×

1

2

+1× +2×+

=1.2…(12 分)

点评: 本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识, 考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识. 19. (12 分) (2015?南昌校级模拟)已知△ ABC 是边长为 3 的等边三角形,点 D、E 分别是 边 AB,AC 上的点,且满足 = = .将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置,并使得平面

A1DE⊥ 平面 BCED. (1)求证:A1D⊥ EC; (2)设 P 为线段 BC 上的一点,试求直线 PA1 与平面 A1BD 所成角的正切的最大值.

考点: 直线与平面所成的角;平面与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)等边△ ABC 的边长为 3,且 = = ,求得 AD 和 AE 的值.进而由余弦定理得
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DE, 根据 AD +DE =AE , 判断 AD⊥ DE 折叠后 A1D⊥ DE, 根据平面 A1DE⊥ 平面 BCED,
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2

2

2

又平面利用线面垂直的判定定理推断出 A1D⊥ 平面 BCED,进而可知 A1D⊥ EC. (2)作 PH⊥ BD 于点 H,连结 A1H、A1P,由(1)有 A1D⊥ 平面 BCED,而 PH?平面 BCED,推断出 A1D⊥ PH,又 A1D∩ BD=D,进而根据线面垂直的判定定理知 PH⊥ 平面 A1BD,推断出∠ PA1H 是直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角,设出 PB,分别表示出 BH, PH,DH 进利用勾股定理求得 A1H 的表达式,继而在 Rt△ PA1H 中,表示出 tan∠ PA1H, 对 x 进行分类讨论,利用函数的思想求得 tan∠ PA1H 的最大值. 解答: 证明: (1)因为等边△ ABC 的边长为 3,且 = = , 所以 AD=1,AE=2.在△ ADE 中,∠ DAE=60°, 由余弦定理得 DE=
2 2 2

=



因为 AD +DE =AE , 所以 AD⊥ DE. 折叠后有 A1D⊥ DE, 因为平面 A1DE⊥ 平面 BCED,又平面 A1DE∩ 平面 BCED=DE, A1D?平面 A1DE,A1D⊥ DE,所以 A1D⊥ 平面 BCED 故 A1D⊥ EC. (2)如图,作 PH⊥ BD 于点 H,连结 A1H、A1P, 由(1)有 A1D⊥ 平面 BCED,而 PH?平面 BCED, 所以 A1D⊥ PH,又 A1D∩ BD=D,所以 PH⊥ 平面 A1BD, 所以∠ PA1H 是直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角, 设 PB=x(0≤x≤3) ,则 BH= ,PH= ,DH=BD﹣BH=2﹣

所以 A1H=

=

所以在 Rt△ PA1H 中,tan∠ PA1H=

=

① 若 x=0,则 tan∠ PA1H=

=

=0,

② 若 x≠0 则 tan∠ PA1H=

=

=

令 =t(t≥ ) ,y=20t ﹣8t+1 因为函数 y=20t ﹣8t+1 在 t≥ 上单调递增,所以 ymin=20× ﹣ +1= 所以 tan∠ PA1H 的最大值为 = (此时点 P 与 C 重合)
2

2

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点评: 本题主要考查了线面垂直的判定定理和性质,二面角的求法.解题的关键是找到或作 出所求二面角. 20. (12 分) (2015?开封模拟)设抛物线 C1:y =4x 的准线与 x 轴交于点 F1,焦点为 F2; 以 F1,F2 为焦点,离心率为 的椭圆记作 C2 (1)求椭圆的标准方程; (2)直线 l 经过椭圆 C2 的右焦点 F2,与抛物线 C1 交于 A1,A2 两点,与椭圆 C2 交于 B1, B2 两点.当以 B1B2 为直径的圆经过 F1 时,求|A1A2|长.
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:
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(1)设椭圆 C2 的方程为

+

=1(a>b>0) ,由题意得

,由此能求

出椭圆的标准方程; (2)当直线 l 与 x 轴垂直时,B1(1, ) ,B2(1,﹣ ) ,又 F1(﹣1,0) ,不满足 条件,当直线 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 的方程为:y=k(x﹣1) ,由由

,由此利用根的判别式、韦

达定理、圆的性质、弦长公式能求出|A1A2|. 2 解答: 解: (1)∵ 抛物线 C1:y =4x 的准线与 x 轴交于点 F1,焦点为 F2,
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以 F1、F2 为焦点,离心率为 的椭圆记作 C2, ∴ 椭圆 C2 的焦点坐标为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) , 设椭圆 C2 的方程为 + =1(a>b>0) ,

由题意得

,解得 a=2,c=1,b=



∴ 椭圆的标准方程为:



(2)当直线 L 与 x 轴垂直时,B1(1, ) ,B2(1,﹣ ) ,又 F1(﹣1,0) , 此时 ,所以以 B1B2 为直径的圆不经过 F1.不满足条件;

当直线 L 不与 x 轴垂直时,设 L:y=k(x﹣1)





因为焦点在椭圆内部,所以恒有两个交点. 设 B1(x1,y1) ,B2(x2,y2) ,则 因为以 B1B2 为直径的圆经过 F1,所以 所以(﹣1﹣x1) (﹣1﹣x2)+y1y2=0, 2 2 2 即(1+k )x1x2+(1﹣k ) (x1+x2)+1+k =0 所以解得 ,
2 2 2 2

, ,又 F1(﹣1,0) ,



,得 k x ﹣(2k +4)x+k =0,

因为直线 L 与抛物线有两个交点,所以 k≠0, 设 A1(x3,y3) ,A2(x4,y4) ,则 所以 . ,

点评: 本题考查椭圆的标准方程的求法,考查弦长的求法,解题时要注意根的判别式、韦达
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定理、圆的性质、弦长公式的合理运用. 21. (12 分) (2015?南昌校级模拟)函数 f(x)=ae ,g(x)=lnx﹣lna,其中 a 为正常数, 且函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行. (1)求 a 的值; (2)若存在 x 使不等式 成立,求实数 m 的取值范围;
x

(3)对于函数 y=f(x)和 y=g(x)公共定义域中的任意实数 x0,我们把|f(x0)﹣g(x0) |的值称为两函数在 x0 处的偏差.求证:函数 y=f(x)和 y=g(x)在其公共定义域内的所有 偏差都大于 2. 考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 压轴题;新定义;分类讨论. x 分析: (1)由函数 f(x)=ae ,g(x)=lnx﹣lna,我们可以求出函数 y=f(x)的图象与 Y 轴的交点和 y=g(x)的图象与 X 轴交点的坐标,求出两个函数的导函数后,根据函 数 y=f(x)和 y=g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行,即两函数在 交点处的导数值相等,构造关于 a 的方程,解方程即可求出答案.
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(2)由(1)中结论,我们可将不等式 使不等式 数 h(x)= 成立,则 m 小于

化为

,若存在 x

在[0,+∞)上的最大值,构造函

,并求出其在[0,+∞)上的最大值,即可得到答案.
x

(3)构造函数 h(x)=e ﹣lnx,并根据导数当分析函数的单调性,然后分 x≥1 时和 0 <x<1 时,两种情况分别确定函数在 x0 处的偏差的取值范围,即可得到答案. x 解答: 解: (1)∵ f(x)=ae , x ∴ f′ (x)=ae , x 函数 f(x)=ae 只于 Y 轴交于(0,a) 且 f′ (0)=a 又∵ g(x)=lnx﹣lna, ∴ g′ (x)= , 又∵ 函数 g(x)=lnx﹣lna 只于 X 轴交于(a,0)点 ∴ g′ (a)= 又∵ 函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行 ∴ a=1 , ∴

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∵ x∈(0,+∞)时,e >1

x

∴ h, (x)<0,h(x)在[0,+∞)上单调递减 ∴ h(x)max=h(0)=0 ∴ m<0 (3)设 h(x)=e ﹣lnx, (i)当 x≥1 时,h'(x)>0,有 h(x)≥h(1)=e>2 (ii)当 0<x<1 时,设 此时 所以综上有函数 y=f(x)和 y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于 2. 点评: 本题考查的知识点是函数与方程的综合应用,直线平行与斜率的关系,导数法求直线 的斜率,函数恒成立问题,其中(1)的关键是根据函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象 在其与坐标轴的交点处的切线互相平行,确定出两函数在与坐标轴交点处导数值相 等; (2)的关键是根据函数恒成立条件将问题转化为求函数的最值, (3)的关键是构 造函数 h(x)=e ﹣lnx,并根据导数当分析函数的单调性,进行确定分类标准. 请考生在第 22、23、24 量题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修 4 一 1:几何证明选讲 22. (10 分) (2015?南昌校级模拟)如图,点 A 在直径为 15 的⊙ O 上,PBC 是过点 O 的割 线,且 PA=10,PB=5. (Ⅰ )求证:PA 与⊙ O 相切; (Ⅱ )求 S△ ACB 的值.
x x

,则 x0+lnx0=0[

考点: 圆的切线的判定定理的证明. 专题: 选作题;立体几何. 分析: (Ⅰ )利用勾股定理证明 PA⊥ OA,再利用切线的判定方法,即可得出结论;
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(Ⅱ )证明△ PAB∽ △ PCA,可得

,求出 AC,BC,即可求 S△ ACB 的值.
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解答: (Ⅰ )证明:连结 OA, ∵ ⊙ O 的直径为 15,∴ OA=OB=7.5 又 PA=10,PB=5,∴ PO=12.5…(2 分) 2 2 2 在△ APO 中,PO =156.25,PA +OA =156.25 2 2 2 即 PO =PA +OA ,∴ PA⊥ OA, 又点 A 在⊙ O上 故 PA 与⊙ O 相切…(5 分) (Ⅱ )解:∵ PA 为⊙ O 的切线,∴ ∠ ACB=∠ PAB, 又由∠ P=∠ P,∴ △ PAB∽ △ PCA,∴ …(7 分)

设 AB=k,AC=2k,∵ BC 为⊙ O 的直径且 BC=15,AB⊥ AC ∴ ∴ ∴ …(10 分) ,

点评: 本题考查了切线的判定与性质.解答这类题目,常见的辅助线有: ① 判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”; ② 有切线时,常常“遇到切点连圆心得半径”. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23. (2015?河南模拟)在极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ=2acosθ(a≠0) ,以极点为坐标原点, 极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为 (Ⅰ )求圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ )若直线 l 与圆 C 恒有公共点,求实数 a 的取值范围. 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 2 2 2 分析: (Ⅰ )根据 ρ =x +y ,x=ρcosθ,y=ρsinθ 把圆 C 的极坐标方程,由消元法把直线 l 的 参数方程化为普通方程; (Ⅱ )根据直线 l 与圆 C 有公共点的几何条件,建立关于 a 的不等式关系,解之即可. 解答:
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(t 为参数) .

解: (Ⅰ )由

得,

,则



∴ 直线 l 的普通方程为:4x﹣3y+5=0,…(2 分) 2 由 ρ=2acosθ 得,ρ =2aρcosθ
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又∵ ρ =x +y ,ρcosθ=x 2 2 2 ∴ 圆 C 的标准方程为(x﹣a) +y =a ,…(5 分) (Ⅱ )∵ 直线 l 与圆 C 恒有公共点,∴ 两边平方得 9a ﹣40a﹣25≥0,∴ (9a+5) (a﹣5)≥0 ∴ a 的取值范围是 .…(10 分)
2

2

2

2

,…(7 分)

点评: 本题主要考查学生会将曲线的极坐标方程及直线的参数方程转化为普通方程, 运用几 何法解决直线和圆的方程的问题,属于基础题. 选修 4-5:不等式选讲 24. (2015?南昌校级模拟)已知函数 f(x)=|x﹣1|+2|x+1|+1. (Ⅰ )求不等式 f(x)<6 的解集; (Ⅱ )若直线 y=( ) (a∈R)与函数 y=f(x)的图象恒有公共点,求实数 a 的取值区间.
a

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ )通过对自变量 x 取值范围的分类讨论,去掉不等式中的绝对值符号,解相应的 不等式,最后取其并集即可;
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(Ⅱ )由

可求得函数 f(x)的值域为[3,+∞) ,利用直

线

(a∈R)与函数 y=f(x)的图象恒有公共点,即可求得实数 a 的取值区

间. 解答: (本小题满分 10 分)选修 4﹣5:不等式选讲

解: (1)因为

…(3 分)

所以当 x>1 时,由 又 x>1,所以 ;



当﹣1≤x≤1 时,f(x)<6?x+4<6?x<2, 又﹣1≤x≤1,所以﹣1≤x≤1; 当 x<﹣1 时,f(x)<6?﹣3x<6?x>﹣2, 又 x<﹣1,所以﹣2<x<﹣1 综上,所求的解集为 .…(6 分)
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(2)结合(1)知

知,

当 x>1 时,f(x)=3x+2>5; 当﹣1≤x≤1 时,f(x)=x+4∈[3,5]; 当 x<﹣1 时,f(x)=﹣3x>3; ∴ 函数 f(x)的值域为[3,+∞)…(7 分) 又直线 所以 (a∈R)与函数 y=f(x)的图象恒有公共点, ,∴ a≤﹣1

即 a 的取值区间是(﹣∞,﹣1].…(10 分) 点评: 本题考查绝对值不等式的解法, 着重考查分类讨论思想与综合运算能力, 属于中档题.

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参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn;孙佑中;邢新丽;刘长柏;sxs123;whgcn; wkl197822;changq;cst;双曲线;wdnah;danbo7801;maths;w3239003;wsj1012;翔宇 老师;gongjy;wfy814(排名不分先后) 菁优网 2015 年 5 月 22 日

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