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第2章 第3讲函数的奇偶性与周期性

时间:2016-11-02


高考总复习

数 学

必考部分
第二章 函数、导数及其应用

第三讲 函数的奇偶性与周期性

高考总复习· 数学
命题规律 考点 考频 题型 选择题、 填空题 选择题、 填空题 选择题、 填空题、 解答题

考纲下载 1.结合具体函 数,了解函数 奇偶性的含 义. 2.会运用函数 的图象理解和 研究函数的奇 偶性.

命题趋势 函数的奇偶性在高考中占 有重要的地位,在命题时 主要是与函数的概念、图 象、性质综合在一起考 查.而近几年的高考中加 大了对非三角函数的周期 性和抽象函数的奇偶性、 周期性的考查力度.

1.函数奇偶性 ★★★☆☆ 2.函数的周期 ★★☆☆☆ 性

3.函数奇偶性 ★★★★★ 的应用

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考点一 函数的奇偶性

1.函数的奇偶性的定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x ,都有f(-x)=f(x)[或f(-x)=-f(x)],那 么函数f(x)就叫做偶函数(奇函数).

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2.奇偶函数的性质

原点 中心对称,偶函数图象关于________ y轴 对称; (1)奇函数图象关于_______
0 (2)若奇函数f(x)在x=0处有意义,则f(0)=________ ;

致 (3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调,则其单调性________ ;
相反 若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调,则其单调性__________ . (4)若函数f(x)为偶函数,则f(x)=f(|x|),反之也成立.

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判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=(x+1) 1-x ; 1+x

4-x2 (2)f(x)= ; |x+3|-3
2 ? x ? +x,x>0, (3)f(x)=? 2 ? ?x -x,x<0;

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?1-x ? ≥0, 1 + x 解:(1)由? ? ?1+x≠0 得-1<x≤1.

∵f(x)的定义域(-1,1]不关于原点对称, ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
2 ? 4 - x ≥0, ? (2)由? ? ?|x+3|-3≠0

得-2≤x≤2 且 x≠0,

∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称. 4-x2 4-x2 ∴f ( x) = = x . ?x+3?-3 ∴f(x)=-f(-x),∴f(x)是奇函数.
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(3)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又当 x>0 时,f(x)=x2 +x,则当 x<0 时,-x>0,故 f(-x)=x2-x=f(x); 当 x<0 时,f(x)=x2-x,则当 x>0 时,-x<0,故 f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.

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[规律方法] 判定函数奇偶性的常用方法及思路
(1)定义法

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(2)图象法

(3)性质法 ①“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇·奇”是偶,“奇÷奇”是偶;

②“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶·偶”是偶,“偶÷偶”是偶;
③“奇·偶”是奇,“奇÷偶”是奇.
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考点二 函数的周期性

1.定义 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都 f(x+T)=f(x) ,那么函数 有________________ T f(x)就叫做周期函数.________ 叫做这个函数的周期. 2.最小正周期 最小的正数 ,那么这个__________ 最小正数 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ____________

就叫做f(x)的最小正周期.

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1 [例 1] (1)(2016· 临川模拟)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 f(x+1)= , f ? x? 若 f(x)在[-1,0]上是减函数,那么 f(x)在[2,3]上是( A ) A.增函数 C.先增后减的函数 B.减函数 D.先减后增的函数

1 解析: 由题意知 f(x+2)= =f(x),所以 f(x)的周期为 2,又函数 f(x)是定 f?x+1? 义域为 R 的偶函数,且 f(x)在[-1,0]上是减函数,则 f(x)在[0,1]上是增函数,所以 f(x) 在[2,3]上是增函数.

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(2)(2014· 安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析式为 5 ? ?29? ?41? ?x?1-x?,0≤x≤1, 16 f(x)=? 则 f? 4 ?+f? 6 ?=________. ? ? ? ? ? ?sin πx,1<x≤2,

解析:∵f(x)是以 4 为周期的奇函数,
?29? ? 3? ? 3? ?41? ? 7? ? 7? ∴f? 4 ?=f?8-4?=f?-4?,f? 6 ?=f?8-6?=f?-6?. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

∵当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x),
?3? 3 ? 3? 3 ∴f?4?=4×?1-4?=16. ? ? ? ?

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∵当 1<x≤2 时,f(x)=sin πx,
?7? ∴f?6?=sin ? ?

7π 1 6 =-2.

? 3? ?3? 3 ? ? ? ? 又∵f(x)是奇函数,∴f -4 =-f 4 =-16, ? ? ? ? ? 7? ?7? 1 f?-6?=-f?6?=2. ? ? ? ? ?29? ?41? 1 3 5 ? ? ? ? ∴f 4 +f 6 =2-16=16. ? ? ? ?

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[变式探究]
若本例(2)中“奇函数”变为“偶函数”,其他条件不变,结果如何?
?29? ? 3? ?3? 3 ? ? ? ? ? ? 解:∵f 4 =f -4 =f 4 =16, ? ? ? ? ? ? ?41? ? 7? ?7? f? 6 ?=f?-6?=f?6?=sin ? ? ? ? ? ? ?29? ?41? 5 ? ? ? ? ∴f 4 +f 6 =-16. ? ? ? ?

7 1 6π=-2,

[规律方法] 1.判断函数周期性的两个方法

(1)定义法.(2)图象法.

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2.周期性三个常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x: (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a; 1 (2)若 f(x+a)= ,则 T=2a; f ? x? 1 (3)若 f(x+a)=- ,则 T=2a.(a>0) f ? x?

提醒:应用函数的周期性时,应保证自变量在给定的区间内.

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1.(2013·湖北卷)x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R

上为( D )
A.奇函数 C.增函数 B.偶函数 D.周期函数

解析: 作出函数f(x)的图象,由图象可知选D.

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2.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[1,3]时,f(x)=2-|x-2|,则 ( D )
? A.f?sin ?

2π? ? 2π? ? ? ? 3 ?>f?cos 3 ?

B.f(sin 1)>f(cos 1) D.f(sin 2)<f(cos 2)

C.f(tan 3)<f(tan 6)

解析:

由题意可知,函数 f(x) 的图象

关于y轴对称,且周期为2,故可画出它的大

致图象,如图所示:
∵ |sin 2| , |cos 2|∈(0,1) ,且 |sin 2|>|cos 2|,而函数y=f(x)在(0,1)上是减函数,∴f(sin 2)<f(cos 2),选D.
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考点三 函数奇偶性、周期性的应用

函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综

合在一起命制试题,其中奇偶性多与单调性相结合,而周期性常与抽象函数相结
合,并以结合奇偶性求函数值为主.多以选择题、填空题形式出现.

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考向一

已知函数的奇偶性求函数值

[例2] (2014·湖南卷)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)- g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( C ) A.-3 B.-1 ∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). C.1 D.3

解析: ∵f(x)-g(x)=x3+x2+1,∴f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1.

∴f(x)+g(x)=-x3+x2+1.
∴f(1)+g(1)=-1+1+1=1.
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考向二 已知函数的奇偶性求参数

3 -2 [例3] (2016·武汉模拟)f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=________.

解析:∵f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,

∴f(-x)=f(x),
∴ln(1+e3x)+ax=ln(1+e-3x)-ax, ∴ln(1+e-3x)-ln(1+e3x)=2ax

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?1+e-3x? ? ln? 3 x ? 1+e ?=2ax, ? ?



1+e-3x 2ax ∴ =e , 1+e3x ∴1+e-3x=e2ax+e(2a+3)x 对 x∈R 恒成立,
? ?2a+3=0, ∴? ? ?2a=-3 ? ?2a=0, 或? ? ?2a+3=-3

(舍去).

3 ∴a=-2.

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考向三 函数性质的综合

[例4] 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函
数,则( D ) A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25)

D.f(-25)<f(80)<f(11)

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解析: ∵f(x)满足f(x-4)=-f(x),∴f(x-8)=f(x),∴函数f(x)是以8为周期的周

期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数, 且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)= -f(-1)=f(1).

∵f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数,
∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数, ∴f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11).

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[规律方法] 函数奇偶性的问题类型及解题思路 (1)已知函数的奇偶性,求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函 数值求解. (2)已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值,常常利用待定系数法:利用

f(x)±f( - x) = 0 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求
解. (3)应用奇偶性画图象和判断单调性:利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象

及判断另一对称区间上的单调性.

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?2x,x<0, ? 1.(2016· 淮北模拟)已知函数 f(x)=?0,x=0, ?g?x?,x>0, ? ( D) A.4 B.-4 1 C.4


且 f(x)为奇函数,则 g(2)=

1 D.-4

解析: 设 x>0, 则-x<0, ∴f(-x)=2 x, 又 f(x)为 R 上的函数, ∴f(x)=-f(- 1 x)=-2 ,即 g(x)=-2 ,故 g(2)=-2 =-4.
-x -x -2

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2 .定义在R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x - 4) =- f(x) ,且在区间 [0,2] 上是增函数,则

( B )
A.f(2)<f(5)<f(8) C.f(5)<f(2)<f(8) 解析: B.f(5)<f(8)<f(2) D.f(8)<f(2)<f(5)

因为f(x-4)=-f(x),所以函数f(x)是周期函数,且周期为8,所以f(8)

=f(0),f(5)=-f(1)=f(-1),因为奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以函数f(x)在

区间[-2,2]上是增函数,又-2<-1<0<2,所以f(5)<f(8)<f(2).

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