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第2章 第3讲函数的奇偶性与周期性

时间:2016-11-02


高考总复习

数 学

必考部分
第二章 函数、导数及其应用

第三讲 函数的奇偶性与周期性

高考总复习· 数学
命题规律 考点 考频 题型 选择题、 填空题 选择题、 填空题 选择题、 填空题、 解答题

考纲下载 1.结合具体函 数,了解函数 奇偶性的

含 义. 2.会运用函数 的图象理解和 研究函数的奇 偶性.

命题趋势 函数的奇偶性在高考中占 有重要的地位,在命题时 主要是与函数的概念、图 象、性质综合在一起考 查.而近几年的高考中加 大了对非三角函数的周期 性和抽象函数的奇偶性、 周期性的考查力度.

1.函数奇偶性 ★★★☆☆ 2.函数的周期 ★★☆☆☆ 性

3.函数奇偶性 ★★★★★ 的应用

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考点一 函数的奇偶性

1.函数的奇偶性的定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x ,都有f(-x)=f(x)[或f(-x)=-f(x)],那 么函数f(x)就叫做偶函数(奇函数).

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2.奇偶函数的性质

原点 中心对称,偶函数图象关于________ y轴 对称; (1)奇函数图象关于_______
0 (2)若奇函数f(x)在x=0处有意义,则f(0)=________ ;

致 (3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调,则其单调性________ ;
相反 若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调,则其单调性__________ . (4)若函数f(x)为偶函数,则f(x)=f(|x|),反之也成立.

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判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=(x+1) 1-x ; 1+x

4-x2 (2)f(x)= ; |x+3|-3
2 ? x ? +x,x>0, (3)f(x)=? 2 ? ?x -x,x<0;

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?1-x ? ≥0, 1 + x 解:(1)由? ? ?1+x≠0 得-1<x≤1.

∵f(x)的定义域(-1,1]不关于原点对称, ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
2 ? 4 - x ≥0, ? (2)由? ? ?|x+3|-3≠0

得-2≤x≤2 且 x≠0,

∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称. 4-x2 4-x2 ∴f ( x) = = x . ?x+3?-3 ∴f(x)=-f(-x),∴f(x)是奇函数.
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(3)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又当 x>0 时,f(x)=x2 +x,则当 x<0 时,-x>0,故 f(-x)=x2-x=f(x); 当 x<0 时,f(x)=x2-x,则当 x>0 时,-x<0,故 f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.

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[规律方法] 判定函数奇偶性的常用方法及思路
(1)定义法

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(2)图象法

(3)性质法 ①“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇·奇”是偶,“奇÷奇”是偶;

②“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶·偶”是偶,“偶÷偶”是偶;
③“奇·偶”是奇,“奇÷偶”是奇.
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考点二 函数的周期性

1.定义 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都 f(x+T)=f(x) ,那么函数 有________________ T f(x)就叫做周期函数.________ 叫做这个函数的周期. 2.最小正周期 最小的正数 ,那么这个__________ 最小正数 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ____________

就叫做f(x)的最小正周期.

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1 [例 1] (1)(2016· 临川模拟)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 f(x+1)= , f ? x? 若 f(x)在[-1,0]上是减函数,那么 f(x)在[2,3]上是( A ) A.增函数 C.先增后减的函数 B.减函数 D.先减后增的函数

1 解析: 由题意知 f(x+2)= =f(x),所以 f(x)的周期为 2,又函数 f(x)是定 f?x+1? 义域为 R 的偶函数,且 f(x)在[-1,0]上是减函数,则 f(x)在[0,1]上是增函数,所以 f(x) 在[2,3]上是增函数.

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(2)(2014· 安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析式为 5 ? ?29? ?41? ?x?1-x?,0≤x≤1, 16 f(x)=? 则 f? 4 ?+f? 6 ?=________. ? ? ? ? ? ?sin πx,1<x≤2,

解析:∵f(x)是以 4 为周期的奇函数,
?29? ? 3? ? 3? ?41? ? 7? ? 7? ∴f? 4 ?=f?8-4?=f?-4?,f? 6 ?=f?8-6?=f?-6?. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

∵当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x),
?3? 3 ? 3? 3 ∴f?4?=4×?1-4?=16. ? ? ? ?

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∵当 1<x≤2 时,f(x)=sin πx,
?7? ∴f?6?=sin ? ?

7π 1 6 =-2.

? 3? ?3? 3 ? ? ? ? 又∵f(x)是奇函数,∴f -4 =-f 4 =-16, ? ? ? ? ? 7? ?7? 1 f?-6?=-f?6?=2. ? ? ? ? ?29? ?41? 1 3 5 ? ? ? ? ∴f 4 +f 6 =2-16=16. ? ? ? ?

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[变式探究]
若本例(2)中“奇函数”变为“偶函数”,其他条件不变,结果如何?
?29? ? 3? ?3? 3 ? ? ? ? ? ? 解:∵f 4 =f -4 =f 4 =16, ? ? ? ? ? ? ?41? ? 7? ?7? f? 6 ?=f?-6?=f?6?=sin ? ? ? ? ? ? ?29? ?41? 5 ? ? ? ? ∴f 4 +f 6 =-16. ? ? ? ?

7 1 6π=-2,

[规律方法] 1.判断函数周期性的两个方法

(1)定义法.(2)图象法.

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2.周期性三个常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x: (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a; 1 (2)若 f(x+a)= ,则 T=2a; f ? x? 1 (3)若 f(x+a)=- ,则 T=2a.(a>0) f ? x?

提醒:应用函数的周期性时,应保证自变量在给定的区间内.

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1.(2013·湖北卷)x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R

上为( D )
A.奇函数 C.增函数 B.偶函数 D.周期函数

解析: 作出函数f(x)的图象,由图象可知选D.

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2.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[1,3]时,f(x)=2-|x-2|,则 ( D )
? A.f?sin ?

2π? ? 2π? ? ? ? 3 ?>f?cos 3 ?

B.f(sin 1)>f(cos 1) D.f(sin 2)<f(cos 2)

C.f(tan 3)<f(tan 6)

解析:

由题意可知,函数 f(x) 的图象

关于y轴对称,且周期为2,故可画出它的大

致图象,如图所示:
∵ |sin 2| , |cos 2|∈(0,1) ,且 |sin 2|>|cos 2|,而函数y=f(x)在(0,1)上是减函数,∴f(sin 2)<f(cos 2),选D.
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考点三 函数奇偶性、周期性的应用

函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综

合在一起命制试题,其中奇偶性多与单调性相结合,而周期性常与抽象函数相结
合,并以结合奇偶性求函数值为主.多以选择题、填空题形式出现.

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考向一

已知函数的奇偶性求函数值

[例2] (2014·湖南卷)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)- g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( C ) A.-3 B.-1 ∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). C.1 D.3

解析: ∵f(x)-g(x)=x3+x2+1,∴f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1.

∴f(x)+g(x)=-x3+x2+1.
∴f(1)+g(1)=-1+1+1=1.
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考向二 已知函数的奇偶性求参数

3 -2 [例3] (2016·武汉模拟)f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=________.

解析:∵f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,

∴f(-x)=f(x),
∴ln(1+e3x)+ax=ln(1+e-3x)-ax, ∴ln(1+e-3x)-ln(1+e3x)=2ax

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?1+e-3x? ? ln? 3 x ? 1+e ?=2ax, ? ?



1+e-3x 2ax ∴ =e , 1+e3x ∴1+e-3x=e2ax+e(2a+3)x 对 x∈R 恒成立,
? ?2a+3=0, ∴? ? ?2a=-3 ? ?2a=0, 或? ? ?2a+3=-3

(舍去).

3 ∴a=-2.

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考向三 函数性质的综合

[例4] 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函
数,则( D ) A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25)

D.f(-25)<f(80)<f(11)

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解析: ∵f(x)满足f(x-4)=-f(x),∴f(x-8)=f(x),∴函数f(x)是以8为周期的周

期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数, 且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)= -f(-1)=f(1).

∵f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数,
∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数, ∴f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11).

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[规律方法] 函数奇偶性的问题类型及解题思路 (1)已知函数的奇偶性,求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函 数值求解. (2)已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值,常常利用待定系数法:利用

f(x)±f( - x) = 0 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求
解. (3)应用奇偶性画图象和判断单调性:利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象

及判断另一对称区间上的单调性.

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?2x,x<0, ? 1.(2016· 淮北模拟)已知函数 f(x)=?0,x=0, ?g?x?,x>0, ? ( D) A.4 B.-4 1 C.4


且 f(x)为奇函数,则 g(2)=

1 D.-4

解析: 设 x>0, 则-x<0, ∴f(-x)=2 x, 又 f(x)为 R 上的函数, ∴f(x)=-f(- 1 x)=-2 ,即 g(x)=-2 ,故 g(2)=-2 =-4.
-x -x -2

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2 .定义在R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x - 4) =- f(x) ,且在区间 [0,2] 上是增函数,则

( B )
A.f(2)<f(5)<f(8) C.f(5)<f(2)<f(8) 解析: B.f(5)<f(8)<f(2) D.f(8)<f(2)<f(5)

因为f(x-4)=-f(x),所以函数f(x)是周期函数,且周期为8,所以f(8)

=f(0),f(5)=-f(1)=f(-1),因为奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以函数f(x)在

区间[-2,2]上是增函数,又-2<-1<0<2,所以f(5)<f(8)<f(2).

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