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山东省潍坊一中2013届高三12月月考测试数学文试题

时间:2013-01-21


高三过程性训练(三)

数学试题(文科)
第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

1, 1.已知集合 A = { 2,3, 4,5}, B =
个数为 A.3 B.6 C.8 D.10

{(x, y) x 挝A, y

A, x - y

A},则 B 中所含元素的

2.已知两非零向量 a, b, 则“ a ?b A.充分不必要条件 C.充要条件

a b ”是“ a 与 b 共线”的

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知直线 l1 : (k - 3) x + (4 - k ) y + 1 = 0 与 l2 : 2(k - 3) x - 2 y + 3 = 0 平行,则 k 的 值是 A.1 或 3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2

4.平面直角坐标系中,已知两点 A(3,1), B (- 1,3) ,若点 C 满足 OC = l 1 OA + l 2 OB (O 为原点) ,其中 l 1, l 2 ? R ,且 l 1 + l 2 = 1,则点 C 的轨迹是 A.直线 B.椭圆 C.圆
2

??? ?

??? ?

??? ?

D.双曲线

5. 已 知 函 数 f ( x) = 4 - x , y = g ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x > 0 时 ,

g ( x) = l o g x ,则函数 f ( x)×g ( x)的大致图象为 2

6.各项为正数的等比数列 {an }中, a2 ,

a + a5 1 的值为 a3 , a1 成等差数列,则 4 a3 + a4 2 12 5
D.

A.

5- 1 2

B.

5+ 1 2

C.

5- 1 5+1 或 2 2

7. 在 D ABC 中 , 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a , b, c, S 表 示 D ABC 的 面 积 , 若

a cos B + b cos A = c sin C, S =
A.30° B.45°

1 2 (b + c2 - a2 ) ,则 ? B 4
D.90°

C.60°

8.若圆 C : x2 + y2 + 2x - 4 y + 3 = 0 关于直线 2ax + by + 6 = 0 对称,则由点 (a, b ) 向 圆所作的切线长的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.6 9.已知直线 a 和平面 a , b , a ? b

l , a 怂a , a

b ,且 a 在 a , b 内的射影分别为直线 b
C.平行或异面 D.相交、平行或异

和 c ,则 b 和 c 的位置关系是 A.相交或平行 B.相交或异面 面 10.设 F , F2 分别是椭圆 1

x2 y 2 + = 1 (a > b > 0)的左、右焦点,与直线 y = b 相切的 a 2 b2

? F2 交椭圆于点 E,E 恰好是直线 EF1 与 ? F2 的切点,则椭圆的离心率为
A.

3 2

B.

3 3

C.

5 3

D.

5 4

11. 四 棱 锥 P - ABCD 的 三 视 图 如 右 图 所 示 , 四 棱 锥 P - ABCD 的五个顶点都在一个球面上,E、F 分别是棱 AB、 CD 的中点,直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 2 ,则该球表 面积为 A. 12p C. 36p B.24 p D. 48p

12.定义在 f (M ) = (m, n, p) ,其中 M 是 D ABC 内一点, m 、 n 、 p 分别是 DMBC 、

D MCA



D MAB


?











D ABC





? ? ? ? A ?B 2A
A.8 B.9

? ? C? , 3
C.16

?

骣 1 4 ?1 = ÷, N , (B ) 3A 0 C ÷,则 + f 的最小值是, ? ÷ ? 桫 2
x y
D.18

?

x

y

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第 II 卷(非选择题
题号 得分 二 三 17 18 19

共 90 分)
20 21 22 总分

得分

评卷人 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。请将答案填写在试题的 横线上。

ì x2 + y 2 - 2x - 2 y + 1 ? ? ? 13.设 O 为坐标原点, A (1, 2) ,若点 B ( x, y) 满足 ? 1 #x 2, í ? ? 1 # y 2. ? ? ?
小值时,点 B 的坐标是________. 14.若函数 f (x) = log

0

则 OA× 取得最 OB

??? ??? ? ?

(a2 - 3)

(ax + 4)在 [- 1,1]上是单调增函数,则实数 a 的取值范围是____.
32p ,则 A、B 两点的球面距离为 3

15 已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的高为 2 2 ,外接球的体积是 ____________. 16.给出以下五个命题: ①命题“ " x ? R, x2 “ x + 1> 0 ”的否定是: $x ? R, x2

x + 1< 0 ”. 3.

②已知函数 f ( x) = k cos x 的图象经过点 P ? ,1÷,则函数图象上过点 P 的切线斜率等于 ? ÷ ③ a = 1 是直线 y = ax + 1和直线 y = (a - 2) x - 1 垂直的充要条件. ④函数 f ( x) = ? ÷ - x 3 在区间 (0,1) 上存在零点. ? ÷ ? ÷ ⑤已知向量 a = (1, - 2) 与向量 b = (1, m)的夹角为锐角,那么实数 m 的取值范围是 ?? 其中正确命题的序号是________. 三、解答题:本题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 得分 评卷人 17.(本题 12 分)

骣 p ?3 ÷ 桫

骣 1 桫 2

x

1

?

?

骣 ? 桫

1 , ÷. ÷ 2÷

s 已 知 向 量 a = (c o w x f ( x) = a ?b l ( x

s i nx w

, w)ix, b = - cos wx - sin wx, 2 3 cos wx , 设 函 数 s n

(

)

骣 1 R) 的图象关于直线 x = p 对称,其中 w, l 为常数,且 w ? ? ,1÷. ? ÷ ?2 ÷ 桫

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(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (II)若 y = f ( x ) 的图象经过点 ? , 0÷,求函数 f ( x ) 在区间 犏 0, ÷ ? ÷ ?

骣 p 桫 4

轾 3p 上的取值范围. 犏 5 臌

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评卷人 18.(本题 12 分)

各项均为正数的数列 {an }中,前 n 项和 Sn = ? ? ? (1)求数列 {an }的通项公式; (2)若

骣n + 1÷ a ÷. 桫2 ÷

2

1 1 1 + +鬃 ? < k 恒成立,求 k 的取值范围; a1a2 a2 a3 an an+1

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评卷人 19.(本题 12 分)

设函数 f ( x) = a - (k - 1) a (1)求 k 值;

x

- x

(a > 0且 1)是定义域为 R 的奇函数.

(2)若 f (1) < 0 ,试判断函数单调性并求使不等式 f x2 + tx + f (4 - x) < 0 恒成立的取值范 围..

(

)

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评卷人

20.(本题 12 分) 如图,四棱锥 P - ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,侧棱 PA ^ 底面 ABCD.且 PA = 2 ,E 是侧 棱 PA 上的动点。 (1)求三棱锥 C-PBD 的体积; (2)如果 E 是 PA 的中点,求证 PC//平面 BDE; (3)是否不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置,都有 BD ^ CE ?证明你的结论..

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评卷人 21.(本题 12 分)

x3 2 10 已知函数 f ( x ) = 2 图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 , f ( x) 的导数为 f ?( x ) ,函数 a 5 g ( x ) = f ( x )bf ?( x ) x + 3。

(1)若函数 g ( x)在x = 1 有极值,求 g ( x) 的解析式; (2)若函数 g ( x)在[- 1,1]是增函数,且 b - mb + 4
2

g ( x)在 [- 1,1]上都成立,求实数 m 的取

值范围.

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评卷人 22.(本题 14 分)

已知椭圆 E :

x2 y 2 + = 1 (a > b > 0) 的左顶点为 A,左、右焦点分别为 F1 、F2 ,且圆 C: a 2 b2

x2 + y 2 +

3 x - 3 y - 6 = 0 过 A,F2 两点.

(1)求椭圆 E 的方程; (2)直线 BC 过坐标原点,与椭圆 E 相交于 B,C,点 Q 为椭圆 E 上的一点,若直线 QB,QC 的斜率

kQB , kQC 存在且不为 0,求证: kQB ×kQC 为定值;
(3)设直线 PF2 的倾斜角为 a ,直线 PF 的倾斜角为 b ,当 b - a = 1 圆上.

2p 时,证明:点 P 在一定 3

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