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(必修5优秀课件)2.5等比数列的前n项和(第一课时)

时间:2010-09-24


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1、等比数列的定义:

an a2 a3 ? ?? ? ? ? ? q(q为非0常数) a1 a2 an?1
2、通项公式:

an ? a1q (a1 ? 0, q ? 0)
3、数列中通项与前n项和的关系:

n?1

S1 (n ? 1) ? 1 .an ?

? ) ?S n ? S n ?1 (n ? 2)
2). 已知an , 求Sn

探求等比数列求和的方法
问题:已知等比数列?an ? , 公比为q,
求:S
n

? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an
? a1 ? a1q ? a1q ? ?? a1q
2 n?1

思考:如何用a1 , q , n, a n这些基本量
来表示S n 呢?

等比数列前n 项和公式
? a1 (1 ? q n ) 公式1: ? Sn ? ? 1 ? q ? ? na1
公式2:
(q ? 1)
注 意 对

q

(q ? 1)

? a1 ? qan ? 1? q Sn ? ? ? na ? 1

an ? a1qn?1

是 否 等 于 进 行 分 类 讨 论

(q ? 1)
(q ? 1)

1

根据求和公式,运用方程思想,a1 , q, n, an , Sn五个基本量中“知三求二”.

练习
练习1. 根据下列条件,求相应的等比数列 ?an ? 的
(1)a1 ? 3, q ? 2, n ? 6; (2)a1 ? 2.4, q ? ?1.5, n ? 5;
1 ( 3)a1 ? 8, q ? , n ? 5; 2

Sn

3 ? (1 ? 26 ) ? S6 ? ? 189. 1? 2

2.4 ? [1 ? ( ?1.5)5 ] 33 ? S5 ? ? . 1 ? ( ?1.5) 4
? S5
5 ? ?1? ? 8 ? ?1 ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? 31 . ? 2 ?1? 1? ? ? ? 2?

1 (4)a1 ? ?2.7, q ? ? , n ? 6. 6 ? 3 ? 1? ? ? 2.7 ? 1 ? ?
? S6 ? ? ? ?

? ? ? 3? ? ? ? ? 91 . 40 ? 1? 1? ?? ? ? 3?

【例1】求等比数列

1 1 1 , , ,? 的前8项的和. 2 4 8

1 1 1 1 解:设该数列为?an ? , 则a1 ? , q ? ? ? , 2 4 2 2

? ? 1 ?8 ? 1 ?1 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 255 ? ?? ? S8 ? . 1 256 1? 2

9 16 【例2】已知等比数列?an ? 中,a1 ? ? , an ? ? , 16 9 781 Sn ? ? , 求公比q及项数n. 144
解法1: a1 ? an ? q ? 1 ?
? 4? 9 n ?1 16 n ? ① ? q ? ? 3? q ? an ? ? 16 q ? ? 9 ????? ? ? ? ?? 9 ? (1 ? q n ) ? 781 16 ?? ??? ② ? Sn ? 1? q 144 ? ? ? 4 ?4 ? 9 ? ?1 ? ? ? q ? 16 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? 781 . ③代入②得 1? q 144
4



4 解得:q ? . 3

代入③得:n=5.

9 16 【例2】已知等比数列?an ? 中,a1 ? ? , an ? ? , 16 9 781 Sn ? ? , 求公比q及项数n. 144
解法2

? a1 ? an ? q ? 1. 9 16 ? ? q a1 ? qan 16 9 ? ? 781 解得:q ? 4 . Sn ? ? 1? q 1? q 144 3
9 16 又an ? ? q n?1 ? ? 16 9

?q

n?1

? 4? ?? ? ? 3?
n?1

4

? 4? ?? ? ? 3?

? 4? ?? ? ? 3?

4

? n ? 5.

例3. 某商场第1年销售计算机5000台,如果平均每年 的销售量比上一年增加10%,那么从第1年起,约几 年内可使总销售量达到30000台(保留到个位)?
解:根据题意,每年销售量比上一年增加的百分率相同, 所以从第1年起,每年的销售量组成一个等比数列 { a } 其中

a1 ? 5000,

q ? 1 ? 10 0 0 ? 1.1

S n ? 30000

n

可得:

Sn ?
n

5000(1?1.1n ) 1?1.1

? 30000
1.1

可得: 1.1 ? 1.6 利用计算器得:

两边取对数,得: n lg

? lg

1.6

n?

0.20 0.041

? 5 (年)

答:约5年内可以使总销售量达到30000台。

练习2. 求等比数列 1,2,4,…从第5项
到第10项的和.

解: a1 ? 1, q ? 2, ?
1 ? (1 ? 24 ) ? S4 ? ? 15. 1? 2 1 ? (1 ? 210 ) S10 ? ? 1023 . 1? 2
从第5项到第10项的和:

S10 ? S4 ? 1023? 15 ? 1008 .

练习3. 求等比数列
到第7项的和.

3 3 3 , , ,? 2 4 8

从第3项

3 1 解 : a1 ? , q ? , ? 2 2
7 3 ? 1? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? ? 2? ? ? ?

? S7 ?

1?

1 2

381 ? . 128

从第3项到第7项的和:
? 3 3 ? 381 9 153 ? S7 ? ? ? ? ? ? ? . ? 2 4 ? 128 4 128

小结
1、求和公式

a1 (1 ? q n ) 当q≠1时, Sn ? 1? q
当q=1时,

Sn ? na1

a1 ? an q Sn ? 1? q

强调: ①注意分类讨论的思想! 等比数列求和时必须弄清q=1还是q≠1. ②运用方程的思想,五个量“知三求二”. ③注意运用整体运算的思想.

2、公式的推导方法

(重在过程)

? P91 第4、11题

结束


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