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沈阳市第二中学2014-2015学年高一上学期数学期末考试题


沈阳二中 2014—2015 学年度上学期期末考试 高一(17 届)数学试题 命题人:高一数学组 审校人:高一数学组

说明:1、测试时间:120 分钟 总分:150 分 2、客观题屠宰答题卡上,主观题答在答题纸的相应位置上 第Ⅰ卷 (满分 60 分) 一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 1. 设集合 P ? {x | x 2 ? 2 3x ? 0},

m ? 20.3 ,则下列关系中正确的是 A. m ? P 2 .函数 y ? A. (1, 2] B. m ? P C. {m} ? P ) D. (??, 2) D. {m} ? ?P

log 2 ( x ? 1) 的定义域是( 2? x

B. (1, 2)

C. (2, ??)

3. 已知空间两条不同的直线 m, n 和两个不同的平面 ? , ? , 则下列命题正确 的是 .. ( ) A.若 m // ? , n ? ? ,则 m // n B.若 ? ? ? m, m ? n ,则 n ? ? C.若 m // ? , n // ? ,则 m // n D.若 m // ? , m ? ? , ? ? ? n ,则 m // n 4 .下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ). 1 ?1? A.y=ln(x+2) B.y=- x+1 C.y=? ?x D.y=x+ 2 x ? ? 5. 在空间直角坐标系中,以点 A(4,1,9) , B(10,?1,6) , C ( x, 4,3) 为顶点的 ?ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形,则实数 x 的值为( ) A. ? 2 B. 2 C. 6 D. 2 或 6

?1? 6 . 已知函数 f ( x) ? lg x ? ? ? 有两个零点 x1 , x2 ,则有( ?2?
A. x1 x2 ? 0 B. x1 x2 ? 1 C. x1 x2 ? 1

x



D. 0 ? x1 x2 ? 1

7 .设 A, B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2 ,且 PA ? PB ,若直线 PA 的方 程为 x ? y ? 1 ? 0 ,则直线 PB 的方程是( ) A. x ? y ? 5 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. 2 y ? x ? 4 ? 0 D. 2 x ? y ? 7 ? 0

8 .曲线 y ? 4 ? x2 ? 1 (?2 ? x ? 2) 与直线 y ? kx ? 2k ? 4 有两个不同的交点时实 数 k 的范围是( ) 5 3 5 1 3 5 3 A. ( , ] B. ( , ?? ) C. ( , ) D. (??, ) ( , ??) 12 4 12 3 4 12 4

9.已知一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的体积是( ) 23 23 A. B. 3 6 11 10 C. D. 3 3 [来源:学科网 ZXXK]

10.三棱锥 P ? ABC 三条侧棱两两垂直,三个侧面面积分别为 该三棱锥的外接球表面积为( ) A. 4? B. 6? C. 8?

2 3 6 ,则 , , 2 2 2

D.10?

1 ? ?x ? , x ? 0 11. 已知函数 f ? x ? ? ? x 2 ? 2 x, g ? x ? ? ? 若方程 g ? 4x ? f ? x? ? ? ? a ? 0 的实 ? ? x ? 1, x ? 0
数根的个数有 4 个,则 a 的取值范围( A.
? 5? 1, ? ? ? 4?


? 5 ? D. ? ? ,1? ? 4 ?

B.

?1, ???

C.

?1, ???

12.已知 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,求 A. 2 B.
17 4

2x ? 3y ? 3 的最大值_______________ x?3 29 13 13 C. D. 5 4

第Ⅱ卷

(满分 90 分)

二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 2 0 分) ? x ? 2, ( x ? 10) 13. 设 f ( x) ? ? ,则 f (5) 的值为_________________ __ f [ f ( x ? 6 )], ( x ? 10 ) ? 2 2 14.已知圆 C: ?x ? 2? ? ? y ? 3? ? 25 ,点 P(?1,7) ,过点 P 作圆的切线,则该切线 的一般式方程为________________

15. 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 3 ? a ,若 x ?? ?2,2? 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值 范围_________________________ 16. 已知函数 f ? x ? ? log1 x 的定义域为 ?a, b? ,值域为 ?0, t ? ,用含 t 的表达式表示
b ? a 的最大值为 M ?t ? ,最小值为 N ?t ? ,若设 g ?t ? ? M ?t ? ? N ?t ? ,则当 1 ? t ? 2 时,
3

g ?t ? ? ?g ?t ? ? 1? 的取值范围是_______________

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.) 17.[10 分]若 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? 4
x? 1 2

? 3 ? 2 x ? 5 的最大值和最小值.

18.[12 分]求过点 A?2,?1? ,圆心在直线 y ? ?2 x 上,且与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切的 圆的方程.

C , D 是以 AB 为直径的圆上两点,AB ? 2 AD ? 2 3 ,AC ? BC , 19. [12 分]如图: 1 F 是 AB 上一点,且 AF ? AB ,将圆沿直径 AB 折起,使点 C 在平面 ABD 的射 3 影 E 在 BD 上,已知 CE ? 2 . (1)求证: AD ? 平面 BCE ; (2)求证: AD / / 平面 CEF ; (3)求三棱锥 A ? CFD 的体积.

20. [12 分] 已知点 A(-3,0),B(3,0),动点 P 满足|PA|=2|PB|. (1)若点 P 的轨迹为曲线 C,求此曲线的方程;

(2)若点 Q 在直线 l1 :x+y+3=0 上,直线 l 2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个 公共点 M, 求|QM|的最小值.

21.[12 分]已知函数 f ? x ? ? log a (1)求 m 的值

1 ? mx 是奇函数 ? a ? 0且a ? 1? x ?1

(2)判断 f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上的单调性并 加以证明 (3)当 a ? 1, x ? 1, 3 时, f ? x ? 的值域是 ?1, ?? ? ,求 a 的值

?

?

m 22. [12 分]已知函数 f ( x) ? x ? ( m 为正的常数) , 它在 (0, ??) 内的单调变化是: x 在 (0, m] 内递减,在 [ m, ??) 内递增.其第一象限内的图象形如一个“对号”. 请使用这一性质完成下面的问题 . ..............

a 在 (0,1] 内为减函数,求正数 a 的取值范围; x Q 两点, (2) 若圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l : y ? kx 相交于 P 、 点 M (0, b) 且 MP ? MQ .求当 b ? [1, ??) 时, k 的取值范围.

(1)若函数 g ( x) ? 2 x ?

[来源:学科网 ZXXK]

[来源:Zxxk.Com]

[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 沈 阳二中 2014—2015 学年度上学期期末考试 高一(17 届)数学答案 一、选择题(每题 5 分,共 60 分)

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) [来 源:学+科+网] 三、解答题

解:设圆心为 ?a,?2a ? ,圆的方程为 18 .

?x ? a?2 ? ? y ? 2a?2 ? r 2

(2 分)

??2 ? a ?2 ? ?? 1 ? 2a ?2 ? r 2 ? 则 ? a ? 2a ? 1 ?r ? 2 ?

(6 分)

解得 a ? 1 , r ? 2 因此,所求得圆的方程为 ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 2
2 2

(10 分) (12 分)

19. (1)证明:依题意: AD ? BD

? CE ? 平面 ABD ? BD ? CE ? E

∴ CE ? AD ∴ AD ? 平面 BCE . ??????4 分

(2)证明: Rt ?BCE 中, CE ? 2 , BC ? 6 ∴ BE ? 2
Rt ?A B D 中, AB ? 2 3 , AD ? 3 ∴ BD ? 3 .



BF BE 2 ? ? . ∴ AD // EF BA BD 3

? AD 在平面 CEF 外, EF 在平面 CEF 内,
∴ AD // 平面 CEF . ????? ?8 分

20. :(1)设点 P 的坐标为(x,y), 则

x+

2

+y2=2

x-

2

+y2,

化得可得(x-5)2+y2=16 即为所求.-------------------4 分 (2)曲线 C 是以点(5,0)为圆心,4 为半径的圆,如图.

由题意知直线 l2 是此圆的切线,连接 CQ, 则|QM|= |CQ|2-|CM|2 = |CQ|2-16, 当 CQ⊥l1 时,|CQ|取最小值,|CQ|= |5+3| =4 2, 2

此时|QM|的最小值为 32-16=4.---- ------12 分 21. (1)

f ? x ? 是奇函数
1 ? mx 1 ? mx ? ? log a ?x ?1 x ?1

? f ? ?x ? ? ? f ? x ? 在其定义域内恒成立,即 log a

?1 ? m2 x2 ? 1 ? x2 ?m ? ?1或m ? 1?舍去??m ? ?1-----------4 分

(3)当 a ? 1 时, f ? x ? ? log a
o g 域是 ?1, ?? ? , 即l
a

x ?1 在 1, 3 上位减函数,要使 f ? x ? 在 1, 3 上值 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 2 ? 1 , ?a。 ? 1? 可得 令 g ? x? ? 在 1, 3 上 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

?

?

?

?

?

?

2 2 ? ? 是减函数。 所以 g ? x ? ? ?1 ? 所以 a ? 2 ? 3 ? 2? 3 。 , ?? ? 所以 a ? 1 ? 3 ?1 3 ?1 ? ?

a a a 22. 1)由性质,可知函数 g ( x) ? 2 x ? ? 2( x ? 2 )(a ? 0) 在 (0, ] 内为减函数. 2 x x a a 依题意, (0,1] ? (0, ] ,故 ?1 得a ? 2 2 2 ∴ a 的取值范围是 [2, ??) . (2)设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ∵ MP ? MQ ∴ kMP kMQ ? ?1
( y1 ? b)( y2 ? b) ? ?1 即 x1 x2 ? ( y1 ? b)( y2 ? b) ? 0 x1 x2 又 y1 ? kx1 , y2 ? kx2



∴ x1 x2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? 0 即 (1 ? k 2 ) x1x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b2 ? 0 (*)
? y ? kx ? 由? 2 得 (1 ? k 2 ) x2 ? 2(1 ? k ) x ? 1 ? 0 2 ? ?x ? y ? 2x ? 2 y ?1 ? 0 由 ? ? [2(1 ? k )]2 ? 4(1 ? k 2 ) ? 8k ? 0 得 k ? 0 ① 2(1 ? k ) 1 且 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 代入(*)中得 2 1? k 1? k 2 1 2(1 ? k ) (1 ? k 2 ) ? kb ? b2 ? 0 2 2 1? k 1? k 2k (1 ? k ) 1 ?b? . 即 1? k 2 b 1 1 1 由性质知, b ? 在 b ? [1, ??) 时为增,故 b ? ? 1 ? ? 2 . b b 1 2k (1 ? k ) ? 2 ,得 k ? 1 ② ∴ 1? k 2 由①②得 k ? 1 .


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