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高二数学圆锥曲线综合测试题(选修1-1&2-1)含答案! 2


高二数学圆锥曲线综合测试题(选修 1-1&2-1)
(考试时间:120 分钟,共 150 分)

说明:本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ,试卷Ⅰ分值为 36 分,试卷Ⅱ分值为 64 分。

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.

抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是 |a| A. 4 |a| B. 2 C.|a| ( a D.- 2 ( D.不确定 ) ) )

2.过点 A(4,a)与 B(5,b)的直线与直线 y=x+m 平行,则|AB|= A.6 B. 2 C.2

x2 y2 3.已知双曲线 - =1 的离心率为 e,抛物线 x=2py2 的焦点为(e,0),则 p 的值为( 4 12 A.2 B.1 1 C. 4 1 D. 16

1 2 4.若直线 ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆 x2+y2-4x-2y-8=0 的周长,则 + 的最小值 a b 为 A.1
2

( B.5 C.4 2

)

D.3+2 2 ( D.2 )

x 5.若双曲线 2-y2=1 的一个焦点为(2,0),则它的离心率为 a 2 5 A. 5 3 B. 2 C. 2 3 3

6.△ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹方程是 (
2

) x2 y2 B. - =1 16 9 x2 y2 D. - =1(x>4) 16 9

x y2 A. - =1 9 16 x2 y2 C. - =1(x>3) 9 16

x2 y2 5e 7.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y= x(e 为双曲线离心率),则有( a b 5 A.b=2a B.b= 5a C.a=2b D.a= 5b

)

8.抛物线 y=-4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 17 A. 16 15 B. 16 15 C.- 16 17 D.- 16

(

)

??? ??? ? ? y2 9.已知点 A、B 是双曲线 x2- =1 上的两点,O 为坐标原点,且满足 OA · =0,则点 O 到直 OB 2
线 AB 的距离等于 A. 2 B. 3
2 2

( C.2 D.2 2

)

x y 10.(2009· 全国卷Ⅱ)双曲线 - =1 的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则 r=( 6 3 A. 3 B.2
2 2

)

C.3

D.6

x y 11.(2009· 四川高考)已知双曲线 - 2=1(b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,其一条渐近线方程为 y 2 b

PF =x,点 P( 3,y0)在该双曲线上,则 PF1 · 2 =
A.-12 B.-2 C.0

???? ????

( D.4

)

12. (2009· 天津高考)设抛物线 y2=2x 的焦点为 F, 过点 M( 3, 0)的直线与抛物线相交于 A、 两点, B S△BCF 与抛物线的准线相交于点 C,|BF|=2,则△BCF 与△ACF 的面积之比 = S△ACF 4 A. 5 2 B. 3 C. 4 7 1 D. 2 ( )

第Ⅰ卷
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.已知点(x0,y0)在直线 ax+by=0(a,b 为常数)上,则 (x0-a)2+(y0-b)2的最小值为________. 14.(2009· 福建高考)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45° 的直线交抛物线于 A、B 两点, 若线段 AB 的长为 8,则 p=________. 15.直线 l 的方程为 y=x+3,在 l 上任取一点 P,若过点 P 且以双曲线 12x2-4y2=3 的焦点为椭 圆的焦点作椭圆,那么具有最短长轴的椭圆方程为______________. 16.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A,与抛物线准线的交

BC 点为 B,点 A 在抛物线准线上的射影为 C,若 AF = FB , BA · =48,则抛物线的方程为
______________.

????

??? ?

? ??? ??? ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知:圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB=2 2时,求直线 l 的方程.

18.(本小题满分 12 分)过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1、l2,若 l1 交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.

19.(本小题满分 12 分)(2010· 南通模拟)已知动圆过定点 F(0,2),且与定直线 L:y=-2 相切. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)若 AB 是轨迹 C 的动弦,且 AB 过 F(0,2),分别以 A、B 为切点作轨迹 C 的切线,设两切线交 点为 Q,证明:AQ⊥BQ.

20.[理](本小题满分 12 分)给定抛物线 C:y2=4x,F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点,记 O 为坐标原点. (1)求 OA · 的值; OB (2)设 AF =λ FB ,当△OAB 的面积 S∈[2, 5 ]时,求 λ 的取值范围. 20 2 20. [文](本小题满分 12 分)已知圆(x-2)2+(y-1)2= , 椭圆 b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的离心率为 , 3 2 若圆与椭圆相交于 A、B,且线段 AB 是圆的直径,求椭圆的方程.

??? ??? ? ?

????

??? ?

21.(本小题满分 12 分)已知 A、B、D 三点不在一条直线上,且 A(-2,0),B(2,0),| AD |=2, AE

??? ?

??? ?

? ??? ? 1 ??? = ( AB + AD ). 2
(1)求 E 点的轨迹方程; 4 (2)过 A 作直线交以 A、B 为焦点的椭圆于 M,N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的距离为 ,且直 5 线 MN 与 E 点的轨迹相切,求椭圆的方程.

22.[理](本小题满分 14 分)(2010· 东北四市模拟)已知 O 为坐标原点,点 A、B 分别在 x 轴,y 轴上

??? 3 ??? ? ? 运动,且|AB|=8,动点 P 满足 AP = PB ,设点 P 的轨迹为曲线 C,定点为 M(4,0),直线 PM 5
交曲线 C 于另外一点 Q. (1)求曲线 C 的方程; (2)求△OPQ 面积的最大值. [文](本小题满分 14 分)设椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 A、B 两点,点 C 是 AB 的 中点,若|AB|=2 2,OC 的斜率为 2 ,求椭圆的方程. 2

高二数学圆锥曲线章节测试题(选修 1-1&2-1)答案与解析:
|a| 1、解析:由已知焦点到准线的距离为 p= . 2 答案:B b-a 2、解析:由题知 =1,∴b-a=1. 5-4 ∴|AB|= (5-4)2+(b-a)2= 2. 答案:B 1 1 1 3、解析:依题意得 e=2,抛物线方程为 y2= x,故 =2,得 p= . 2p 8p 16 答案:D 4、解析:由(x-2)2+(y-1)2=13,得圆心(2,1), ∵直线平分圆的周长,即直线过圆心. ∴a+b=1. 1 2 1 2 b 2a ∴ + =( + )(a+b)=3+ + ≥3+2 2, a b a b a b b 2a 当且仅当 = ,即 a= 2-1,b=2- 2时取等号, a b 1 2 ∴ + 的最小值为 3+2 2. a b 答案:D 5、解析:由 a2+1=4,∴a= 3, ∴e= 2 2 3 = . 3 3

答案:C 6、解析:如图|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. x2 y2 根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支,方程为 - =1(x 9 16 >3). 答案:C b 5 7、解析:由已知 = e, a 5 b 5 c ∴ = × ,∴c= 5b,又 a2+b2=c2, a 5 a ∴a2+b2=5b2,∴a=2b.

答案:C 1 8、解析:准线方程为 y= , 16 1 15 由定义知 -yM=1?yM=- . 16 16 答案:C 9、解析:本题是关于圆锥曲线中的点到线的距离问题,由 OA · =0?OA⊥OB,由于双曲 OB 线为中心对称图形,为此可考查特殊情况,令点 A 为直线 y=x 与双曲线在第一象限的交点,因 此点 B 为直线 y=-x 与双曲线在第四象限的一个交点,因此直线 AB 与 x 轴垂直,点 O 到 AB

??? ??? ? ?

?x2-y =1 ? 2 的距离就为点 A 或点 B 的横坐标的值,由? ?x= 2. ? ?y=x
答案:A 1 |3| 10、 解析: 双曲线的渐近线方程为 y=± x 即 x± 2y=0, 圆心(3,0)到直线的距离 d= 2 ( 2)2+1 = 3. 答案:A 11、解析:由渐近线方程 y=x 得 b= 2, x2 y2 点 P( 3,y0)代入 - 2=1 中得 y0=± 1. 2 b 不妨设 P( 3,1),∵F1(2,0),F2(-2,0),

2

PF ∴ PF1 · 2 =(2- 3,-1)· (-2- 3,-1)
=3-4+1=0. 答案:C 12、解析:如图过 A、B 作准线 l:x=由于 F 到直线 AB 的距离为定值. S△BCF |BC| ∴ = . S△ACF |CA| 又∵△B1BC∽△A1AC. |BC| |BB1| ∴ = , |CA| |AA1| |BB1| |BF| 2 由拋物线定义 = = . |AA1| |AF| |AF| 3 由|BF|=|BB1|=2 知 xB= ,yB=- 3, 2

???? ????

1 的垂线,垂足分别为 A1,B1, 2

∴AB:y-0=

3 3 3- 2

(x- 3).

y2 把 x= 代入上式,求得 yA=2,xA=2, 2 5 ∴|AF|=|AA1|= . 2 S△BCF |BF| 2 4 故 = = = . S△ACF |AF| 5 5 2 答案:A 13、解析: (x0-a)2+(y0-b)2可看作点(x0,y0)与点(a,b)的距离.而点(x0,y0)在直线 ax+by |a· a+b· b| =0 上, 所以 (x0-a)2+(y0-b)2的最小值为点(a, b)到直线 ax+by=0 的距离 = a2+b2. 2 a +b2 答案: a2+b2 2p 2p 解析:由焦点弦|AB|= 2 得|AB|= 2 , sin α sin 45° 1 ∴2p=|AB|× ,∴p=2. 2 答案:2 14、解析:所求椭圆的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|.欲使 2a 最小,只需在直线 l 上找一点 P,使|PF1|+|PF2|最小,利用对称性可解. x2 y2 答案: + =1 5 4 15、解析:设抛物线的准线与 x 轴的交点为 D,依题意,F 为线段 AB 的中点, 故|AF|=|AC|=2|FD|=2p, |AB|=2|AF|=2|AC|=4p, ∴∠ABC=30° BC |=2 3p, ,|

??? ?

? ??? ??? ? BC 2 cos30° =48, BA · =4p· 3p·
解得 p=2, ∴抛物线的方程为 y2=4x. 答案:y2=4x 16、解:将圆 C 的方程 x2+y2-8y+12=0 配方得标准方程为 x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为 (0,4),半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切,则有 3 解得 a=- . 4 |4+2a| =2. a2+1

(2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,

? a +1, 得?CD +DA =AC =2 , ?DA=1AB= 2. 2
CD=
2

|4+2a|
2 2

2

2

解得 a=-7,或 a=-1. 故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. 17、解:法一:设点 M 的坐标为(x,y), ∵M 为线段 AB 的中点, ∴A 的坐标为(2x,0),B 的坐标为(0,2y). ∵l1⊥l2,且 l1、l2 过点 P(2,4), ∴PA⊥PB,kPA·PB=-1. k 4-0 4-2y 而 kPA= ,k = ,(x≠1), 2-2x PB 2-0 ∴ 2 2-y · =-1(x≠1). 1-x 1

整理,得 x+2y-5=0(x≠1). ∵当 x=1 时,A、B 的坐标分别为(2,0),(0,4), ∴线段 AB 的中点坐标是(1,2),它满足方程 x+2y-5=0. 综上所述,点 M 的轨迹方程是 x+2y-5=0. 法二:设 M 的坐标为(x,y),则 A、B 两点的坐标分别是(2x,0),(0,2y),连结 PM, ∵l1⊥l2,∴2|PM|=|AB|.
2 2 而|PM|= ( x ? 2) ? ( y ? 4) , 2 2 |AB|= (2 x ) ? (2 y ) , 2 2 ∴2 ( x ? 2) ? ( y ? 4) ?

4 x2 ? 4 y2 .

化简,得 x+2y-5=0 即为所求的轨迹方程. 法三:设 M 的坐标为(x,y), 由 l1⊥l2,BO⊥OA,知 O、A、P、B 四点共圆, ∴|MO|=|MP|,即点 M 是线段 OP 的垂直平分线上的点. ∵kOP=

4?0 =2,线段 OP 的中点为(1,2), 2?0

∴y-2=-

1 (x-1), 2

即 x+2y-5=0 即为所求. 18、解:(1)依题意,圆心的轨迹是以 F(0,2)为焦点,L:y=-2 为准线的抛物线. 因为抛物线焦点到准线距离等于 4, 所以圆心的轨迹是 x2=8y. (2)证明:因为直线 AB 与 x 轴不垂直, 设 AB:y=kx+2. A(x1,y1),B(x2,y2).

?y=kx+2, ? 由? 1 2 ?y=8x , ?
可得 x2-8kx-16=0,x1+x2=8k,x1x2=-16. 1 1 抛物线方程为 y= x2,求导得 y′= x. 8 4 1 1 1 1 1 所以过抛物线上 A、B 两点的切线斜率分别是 k1= x1,k2= x2,k1k2= x1·x2= x1·2=-1. x 4 4 4 4 16 所以 AQ⊥BQ. 19、解:(1)根据抛物线的方程可得焦点 F(1,0), 设直线 l 的方程为 x=my+1, 将其与 C 的方程联立,消去 x 可得 y2-4my-4=0. 设 A,B 点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(y1>0>y2), 则 y1y2=-4.
2 因为 y2=4x1,y2=4x2, 1

1 所以 x1x2= y2y2=1, 16 1 2

OB 故 OA · =x1x2+y1y2=-3.
(2)因为 AF =λ FB , 所以(1-x1,-y1)=λ(x2-1,y2),
?1-x1=λx2-λ, ? 即? ? ?-y1=λy2,

??? ??? ? ?

????

??? ?

① ② ③ ④

又 y2=4x1, 1 y2=4x2, 2

1 2 由②③④消去 y1, 2 后, y 得到 x1=λ2x2, 将其代入①, 注意到 λ>0, 解得 x2= .从而可得 y2=- , λ λ y1=2 λ,

1 1 故△OAB 的面积 S= |OF|· 1-y2|= λ+ , |y 2 λ 因 λ+ 1 1 ≥2 恒成立,所以只要解 λ+ ≤ 5即可, λ λ

3- 5 3+ 5 解之得 ≤λ≤ . 2 2 c 20、解:∵e= = a a2-b2 2 = ,∴a2=2b2. a2 2

因此,所求椭圆的方程为 x2+2y2=2b2, 又∵AB 为直径,(2,1)为圆心,即(2,1)是线段 AB 的中点, 设 A(2-m,1-n),B(2+m,1+n),则

?(2+m) +2(1+n) =2b , ? ? ?|AB|=2 20 ? 3
2 2 2 2 2 2

(2-m)2+2(1-n)2=2b2,

?8m+8n=0, ? ?? ?2 m +n =2 ?
2 2

8+2m2+4+4n2=4b2, 20 3

?2b =6+m +2n , ? ?? 2 得 2b2=16. 10 m =n2= , ? 3 ?
故所求椭圆的方程为 x2+2y2=16.

??? 1 ??? ??? ? ? ? 21、解:(1)设 E(x,y),由 AE = ( AB + AD ),可知 E 为线段 BD 的中点, 2
又因为坐标原点 O 为线段 AB 的中点, 所以 OE 是△ABD 的中位线,

??? 1 ??? ? ? 所以| OE |= | AD |=1, 2
所以 E 点在以 O 为圆心,1 为半径的圆上, 又因为 A,B,D 三点不在一条直线上, 所以 E 点不能在 x 轴上, 所以 E 点的轨迹方程是 x2+y2=1(y≠0). x2 y2 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),中点为(x0,y0),椭圆的方程为 2+ 2 =1,直线 MN 的方程为 y a a -4 =k(x+2)(当直线斜率不存在时不成立), 由于直线 MN 与圆 x2+y2=1(y≠0)相切, 所以 |2k| 3 =1,解得 k=± , 2 3 k +1

3 所以直线 MN 的方程为 y=± (x+2), 3

3 x2 y2 将直线 y=± (x+2)代入方程 2+ 2 =1, 3 a a -4 整理可得:4(a2-3)x2+4a2x+16a2-3a4=0, x1+x2 a2 所以 x0= =- 2 . 2 2(a -3) 4 又线段 MN 的中点到 y 轴的距离为 , 5 a2 4 即 x0=- 2 =- ,解得 a=2 2. 5 2(a -3) x2 y2 故所求的椭圆方程为 + =1. 8 4 22、解:(1)设 A(a,0),B(0,b),P(x,y), 则 AP =(x-a,y), PB =(-x,b-y),

??? ?

??? ?

?x-a=-5x, ??? 3 ??? ? ? ∵ AP = PB ,∴? 5
3

?

3 y= (b-y). 5

8 8 ∴a= x,b= y. 5 3

x2 y2 又|AB|= a +b =8,∴ + =1. 25 9
2 2

x2 y2 ∴曲线 C 的方程为 + =1. 25 9 x2 y2 (2)由(1)可知,M(4,0)为椭圆 + =1 的右焦点, 25 9 设直线 PM 方程为 x=my+4,

? x +y =1, ? 由?25 9 消去 x 得 ?x=my+4, ?
(9m2+25)y2+72my-81=0, ∴|yP-yQ|= 90 m2+1 = . 9m2+25 90 m2+1 1 ∴S△OPQ= |OM||yP-yQ|=2× 2 9m2+25 20 m2+1 20 m2+1 20 = = = 25 16 16 m2+ m2+1+ m2+1+ 9 9 9 m2+1 20 15 ≤ = , 8 2 3 (72m)2+4×(9m2+25)×81 9m2+25

2

2

当 m2+1=

16 , 9 m2+1

7 15 即 m=± 时,△OPQ 的面积取得最大值为 ,此时直线方程为 3x± 7y-12=0. 3 2
2 ? 2 ?ax +by =1, 23、解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),那么 A、B 的坐标是方程组? 的解. ? ?x+y-1=0

由 ax2+by2=1,ax2+by2=1,两式相减,得 1 1 2 2 a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0, y1-y2 因为 =-1, x1-x2 y1+y2 a 所以 = , x1+x2 b 2yC a yC a 2 即 = , = = ,所以 b= 2a.① 2xC b xC b 2 再由方程组消去 y 得(a+b)x2-2bx+b-1=0, 由|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2= 2(x1-x2)2 = 2[(x1+x2)2-4x1x2]=2 2, b-1 2b 2 得(x1+x2)2-4x1x2=4,即( ) -4· =4.② a+b a+b 1 2 由①②解得 a= ,b= , 3 3 x2 2y2 故所求的椭圆的方程为 + =1. 3 3


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