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高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结


圆锥曲线
1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离的和等于常数 2a ,且此常数 2a 一定要大于 F1 F2 ,当常数等于 F1 F2 时, 轨迹是线段 F 1 F 2 ,当常数小于 F1 F2 时,无轨迹;双曲线中,与两定点 F 1 , F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a ,且此常数 2a 一定

要小于|F 1 F 2 |,定义中 的“绝对值”与 2a <|F 1 F 2 |不可忽视。若 2a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为 端点的两条射线,若 2a ﹥|F 1 F 2 |,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则 轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程 ( x ? 6)2 ? y 2 ? ( x ? 6)2 ? y 2 ? 8 表示的曲线是_____ (答: 双曲线的左支) 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称 轴时的标准位置的方程) :
x2 y2 y2 x2 (1) 椭圆: 焦点在 x 轴上时 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) , 焦点在 y 轴上时 2 ? 2 a b a b 2 2 =1 ( a ? b ? 0 ) 。方程 Ax ? By ? C 表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,

且 A,B,C 同号,A≠B) 。 2 若 x, y ? R ,且 3x ? 2 y 2 ? 6 ,则 x ? y 的最大值是____, x 2 ? y 2 的最小值是 ___(答: 5, 2 )
x2 y2 y2 x2 ( 2 )双曲线:焦点在 x 轴上: 2 ? 2 =1 ,焦点在 y 轴上: 2 ? 2 = 1 a b a b 2 2 ( a ? 0, b ? 0 ) 。方程 Ax ? By ? C 表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,

且 A,B 异号) 。 如设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e ? 2 的双曲 线 C 过点 P(4,? 10 ) ,则 C 的方程为_______(答: x 2 ? y 2 ? 6 ) (3)抛物线:开口向右时 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,开口向左时 y 2 ? ?2 px( p ? 0) ,开 口向上时 x 2 ? 2 py ( p ? 0) ,开口向下时 x 2 ? ?2 py( p ? 0) 。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) : 2 2 (1)椭圆:由 x , y 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 如已知方程
x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围 m ?1 2 ? m

是__(答: (??,?1) ? (1, ) )

3 2

(2) 双曲线: 由 x 2 , y 2 项系数的正负决定, 焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中, a 最大, a 2 ? b2 ? c 2 ,在双曲线中, c 最大, c2 ? a 2 ? b2 。 4.圆锥曲线的几何性质:
x2 y2 :①范围:?a ? x ? a, ?b ? y ? b ; ? ? 1( a ? b ? 0 )为例) a2 b2 ②焦点:两个焦点 (?c,0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心

(1)椭圆(以

(0,0) ,四个顶点 (?a, 0), (0, ?b) ,其中长轴长为 2 a ,短轴长为 2 b ;④准线:
a2 c 两条准线 x ? ? ; ⑤离心率: e ? ,椭圆 ? 0 ? e ? 1, e 越小,椭圆越圆; e c a

越大,椭圆越扁。
2 2 如(1)若椭圆 x ? y ? 1 的离心率 e ?

5

m

10 5

,则 m 的值是__(答:3 或

25 ) ; 3

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值为__(答: 2 2 )
x2 y 2 ( a ? 0, b ? 0 ) 为例) : ①范围:x ? ?a 或 x ? a, y ? R ; ? ?1 a 2 b2 ②焦点:两个焦点 (?c,0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心

(2) 双曲线 (以

(0,0) ,两个顶点 (? a, 0) ,其中实轴长为 2 a ,虚轴长为 2 b ,特别地,当实轴 和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为 x 2 ? y 2 ? k , k ? 0 ;④准线:
a2 c 两条准线 x ? ? ; ⑤离心率: e ? ,双曲线 ? e ? 1 ,等轴双曲线 ? e ? 2 , c a b e 越小,开口越小, e 越大,开口越大;⑥两条渐近线: y ? ? x 。 a 2 (3)抛物线(以 y ? 2 px( p ? 0) 为例) :①范围: x ? 0, y ? R ;②焦点:一个焦 p 点 ( , 0) ,其中 p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴 2 p y ? 0 ,没有对称中心,只有一个顶点(0,0) ;④准线:一条准线 x ? ? ; ⑤ 2 c 离心率: e ? ,抛物线 ? e ? 1 。 a

如设 a ? 0, a ? R ,则抛物线 y ? 4ax 2 的焦点坐标为________(答: (0,

1 ; )) 16 a

x2 y2 5、点 P( x0 , y0 ) 和椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的关系: (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外 a b 2 2 2 x0 y0 x 2 y0 P ( x , y ) ? ? 1 ? ; ( 2 )点 在椭圆上 =1; (3)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 ? 0 ? 0 0 a 2 b2 a2 b2

内?

2 2 x0 y0 ? ?1 a 2 b2

6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交: ? ? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ? 直线与双曲线相交,但直 线与双曲线相交不一定有 ? ? 0 ,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双 曲线相交且只有一个交点,故 ? ? 0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是 必要条件; ? ? 0 ? 直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有 ? ? 0 , 当直线与抛物线的对称轴平行时, 直线与抛物线相交且只有一个交点, 故? ?0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。 (2) 相切:? ? 0 ? 直线与椭圆相切;? ? 0 ? 直线与双曲线相切;? ? 0 ? 直线与抛物线相切; (3) 相离:? ? 0 ? 直线与椭圆相离;? ? 0 ? 直线与双曲线相离;? ? 0 ? 直线与抛物线相离。 提醒: (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形: 相切和相交。 如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一 个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点; (2) 过双曲线
x2 y2 ? =1 外一点 P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情 a2 b2

况如下:①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近 线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P 点在两条 渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双 曲线一支相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原点,只有两 条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P 为原点时不存在这 样的直线; (3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点: 两条切线和一条平行于对称轴的直线。 7、焦点三角形(椭圆一点与两焦点所构成的三角形)问题:
S ? b 2 tan

?
2

? c | y0 | ,当 | y0 |? b 即 P 为短轴端点时, S max 的最大值为 bc;

8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: (1)以过焦点的弦为直径 的圆和准线相切; (2)设 AB 为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,则∠AMF= ∠BMF; (3) 设 AB 为焦点弦, A、 B 在准线上的射影分别为 A 1 , B1 , 若 P 为 A1 B1 的中点,则 PA⊥PB; (4)若 AO 的延长线交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴,反 之,若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点,则 A,O,C 三点共线。 9、弦长公式: 若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、 B, 且 x1 , x2 分别为 A、

B 的横坐标,则 AB = 1 ? k 2 x1 ? x2 ,若 y1 , y2 分别为 A、B 的纵坐标,则 AB =
1? 1 y1 ? y 2 ,若弦 AB 所在直线方程设为 x ? ky ? b ,则 AB = 1 ? k 2 y1 ? y2 。 k2

特别地,焦点弦(过焦点的弦) :焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计 算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。 10、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法” 求解。
b 2 x0 x2 y2 在椭圆 2 ? 2 ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 ; a y0 a b b 2 x0 x2 y 2 在双曲线 2 ? 2 ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 2 ;在抛 a b a y0 p 物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。 y0

提醒:因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦 长、对称问题时,务必别忘了检验 ? ? 0 ! 11.了解下列结论 2 2 2 2 (1)双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的渐近线方程为 x 2 ? y 2 ? 0 ;
a b a b
2 2 (2)以 y ? ? b x 为渐近线(即与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 共渐近线)的双曲线方程 a a b

为 x2
a
2

2

?

y2 ? ? (? 为参数, ? ≠0)。 b2

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx ? ny 2 ? 1; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 距(焦点到相应准线的距离)为
2b 2 ,焦准 a

b2 ,抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ; c

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦为 AB, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ① | AB |? x1 ? x2 ? p ;② x1 x2 ?
p2 , y1 y2 ? ? p 2 4 (7)若 OA、OB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,

则直线 AB 恒经过定点 (2 p, 0) 12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:

(1)在 ?ABC 中,给出 AD ? 线;
2

????

? ???? 1 ??? AB ? AC ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中 2

?

?

(2)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三 角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点) ; (3)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三 角形的重心是三角形三条中线的交点) ; (4)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的垂 心(三角形的垂心是三角形三条高的交点) ; (5) 给出以下情形之一:① AB // AC ;②存在实数 ? , 使AB ? ? AC ;③若 ???? ??? ? ??? ? 存在实数 ? , ? , 且? ? ? ? 1, 使OC ? ? OA ? ? OB ,等于已知 A, B, C 三点共线. ( 6 ) 给 出 MA ? MB ? 0 , 等 于 已 知 MA ? MB , 即 ?AMB 是 直 角 , 给 出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是钝角, 给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是 锐角,
? ? ? MA MB ? ? (7)给出 ? ? ? ? MP ,等于已知 MP 是 ?AMB 的平分线/ ? MA MB ? ? ?
? ?

2

2

(8 ) 在平行四边形 ABCD 中, 给出 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 , 等于已知 ABCD 是菱形; ??? ? ???? ??? ? ???? (9) 在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是矩形; 13.圆锥曲线中线段的最值问题: 例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小, 则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 。
A Q H P F B

分析: (1) A 在抛物线外, 如图, 连 PF, 则 PH ? PF , 因而易发现,当 A、P、F 三点共线时,距离和最小。 (2)B 在抛物线内, 如图, 作 QR⊥l 交于 R, 则当 B、

Q、R 三点共线时,距离和最小。 解: (1) (2, 2 ) (2) ( ,1 ) 1、已知椭圆 C1 的方程为
x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、 4

1 4

右顶点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点。 (1) 求双曲线 C2 的方程; (2) 若直线 l: y ? kx ? 2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 恒有两个不同的交点,且 l 与 C2 的两个交点 A 和 B 满足 OA ? OB ? 6 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。 解: (Ⅰ) 设双曲线 C2 的方程为 x 2 ? y 2
a b
2 2

则 a 2 ? 4 ? 1 ? 3, 再由a 2 ? b 2 ? c 2 得b 2 ? 1. ? 1,
x2 ? y 2 ? 1. 3



C2











II





y ? kx ? 2代入

x2 ? y 2 ? 1得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8 2kx ? 4 ? 0. 4

由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得
?1 ? (8 2 ) 2 k 2 ? 16(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 1) ? 0, 即

1 k2 ? . 4



将y ? kx ? 2代入

x2 ? y 2 ? 1得(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 .由直线 l 与双曲线 C2 3



















A



B



2 ? 1 ?1 ? 3k ? 0, 2 即 k ? 且k 2 ? 1. ? 2 2 2 3 ? ?? 2 ? (?6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0.

6 2k ?9 设A( xA , y A ), B( xB , yB ), 则xA ? xB ? , x A ? xB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ??? ? ??? ? 由OA ? OB ? 6得xA xB ? y A yB ? 6, 而 xA xB ? y A yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2)

? (k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2 ? (k 2 ? 1) ? ? 3k 2 ? 7 . 3k 2 ? 1 ?9 6 2k ? 2k ? ?2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

于是

3k 2 ? 7 15k 2 ? 13 13 1 ? 6, 即 ? 0. 解此不等式得 k 2 ? 或k 2 ? . 2 2 3k ? 1 3k ? 1 15 3



由①、②、③得 ? k 2 ? 或 故 k 的取值范围为 (?1, ?

1 4

1 3

13 ? k 2 ? 1. 15

13 3 1 1 3 13 ) ? (? ,? )?( , )?( ,1) 15 3 2 2 3 15

2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点 满足 MB//OA, MA?AB = MB?BA,M 点的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点 到 l 距离的最小值。 ( Ⅰ ) 设 M(x,y), 由 已 知 得 B(x,-3),A(0,-1). 所 以 MA = ( -x,-1-y ) ,
???? ??? ? ??? ? ???? ???? ( MA + MB ) ? AB =0,即 (-x,-4-2y) MB =(0,-3-y), AB =(x,-2).再由愿意得知

????

? (x,-2)=0. 所以曲线 C 的方程式为 y= x 2 -2. (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y= x 2 -2 上 一点, 因为 y ' = x,所以 l 的斜率为 x 0 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) , 即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x 2 ? 0 。 则 O 点 到 l 的 距 离 d?
2 | 2 y0 ? x0 |

1 4

1 4

1 2

1 2

1 2

x ?4
2 0

. 又 y0 ? x02 ? 2 , 所 以

1 4

1 2 x0 ? 4 1 4 2 2 d? ? ( x0 ?4? ) ? 2, 2 2 x0 ? 4 2 x0 ? 4

当 x02 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2. 3.设双曲线
x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x +1 相切,则该双 2 a b

曲线的离心率等于( 4.过椭圆

)

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦 a 2 b2

点,若 ?F1PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为
x2 y2 5.已知双曲线 ? 2 ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程 2 b

为 y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF1 · PF2 =(

)0

6.已知直线 y ? k ? x ? 2 ?? k ? 0 ? 与抛物线 C : y 2 ? 8 x 相交于 A、B 两点, F 为 C 的焦 点,若 | FA |? 2 | FB | ,则 k ? ( )

7.设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相 交于 A,B 两点。若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 l 的方程为_____________. 8.椭圆
x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 , 点 P 在椭圆上, 若 | PF1 |? 4 , 则 | PF2 |? 9 2



?F1 PF2 的大小为

.


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