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1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)


1.2.2
一、选择题

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
5 )

1、质点沿直线运动的路程 s 与时间 t 的关系是 s= t,则质点在 t=4 时的速度为(
A. 1 5
3

B.

1

2 2

5

10 23

25 C. 23 5

15 3 D. 2 10

2、已知曲线 y=x3 在点 P 处的切线斜率为 k,则当 k=3 时的 P 点坐标为(
A.(-2,-8) C.(2,8) B.(-1,-1)或(1,1) 1 1? D.? ?-2,-8?

)

3、正弦曲线 y=sin x 上一点 P,以点 P 为切点的切线为直线 l,则直线 l 的倾斜角的范围是( π? ?3π ? A.? B.[0,π) ?0,4?∪? 4 ,π? π 3π? ?0,π?∪?π,3π? , C.? D. ?4 4 ? ? 4 ? ?2 4 ?

)

4、已知直线 y=kx 是曲线 y=ex 的切线,则实数 k 的值为(
1 A. e C.-e 1 B.- e D.e

)

π? π 1 2 5、下列结论:①(cos x)′=sin x;②? ?sin 3?′=cos 3;③若 y=x2,则 y′|x=3=-27.其中正确的有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

)

二、填空题 6、设曲线 y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,令 an=lg xn,则 a1+a2+…+a99
的值为________.

7、若函数 y=f(x)满足 f(x-1)=1-2x+x2,则 y′=f′(x)=________.

8、已知 f(x)=xa,a∈Q,若 f′(-1)=-4,则 a=______.

π 3 9、曲线 y=cos x 在点 A?6, 2 ?处的切线方程为__________________________. ? ?

三、解答题 10、求过曲线 y=ex 上点 P(1,e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程.

11、求过点(2,0)且与曲线 y=x3 相切的直线方程.

12、求下列函数的导数:
1 5 (1)y=x12;(2)y= 4;(3)y= x3;(4)y=10x. x

以下是答案 一、选择题 1、B [s′=5t-5.
1 1 1 当 t=4 时,s′= · = .] 5 5 5 3 4 4 10 2 1 4

2、B [y′=3x2,∵k=3,
∴3x2=3,∴x=± 1, 则 P 点坐标为(-1,-1)或(1,1).]

3、A [∵y′=cos x,而 cos x∈[-1,1].
∴直线 l 的斜率的范围是[-1,1], π? ?3 ? ∴直线 l 倾斜角的范围是? ?0,4?∪?4π,π?.]

4、D [设切点为(x0,y0).由 y′=ex,
得 y′|x=x0= e
x

x0 x x

∴过切点的切线为 y- e 0 = e 0 (x-x0), 即 y= e 0 x+(1-x0) e 0 ,又 y=kx 是切线,
x

?k= e x0 ,? ? ∴? x0 ? ??1-x0? e =0,

∴?

?x0=1, ? ? ??k=e.

]

5、B [直接利用导数公式.
因为(cos x)′=-sin x,所以①错误; π 3 3 sin = ,而? ?′=0,所以②错误; 3 2 ?2? ? 12?′=(x-2)′=-2x-3,则 y′|x=3=- 2 , ?x ? 27 所以③正确.]

二、填空题 6、-2
解析 y′=(n+1)xn,曲线在点(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1),令 y=0,得 x n = . n+1 n an=lg xn=lg =lg n-lg(n+1), n+1 则 a1+a2+…+a99=lg 1-lg 2+lg 2-lg 3+…+lg 99-lg 100=-lg 100=-2.

7、2x
解析 ∵f(x-1)=1-2x+x2=(x-1)2, ∴f(x)=x2,f′(x)=2x.

8、4
解析 ∵f′(x)=axa-1, ∴f′(-1)=a(-1)a-1=-4,∴a=4.

9、x+2y- 3-6=0
解析 ∵y′=(cos x)′=-sin x, π π 1 ∴y′|x= =-sin =- , 6 6 2 ∴在点 A 处的切线方程为 y- π 即 x+2y- 3- =0. 6 π 3 1 x- ?, =- ? 2 2? 6?

π

三、解答题 10、解 ∵y′=ex,∴曲线在点 P(1,e)处的切线斜率是 y′|x=1=e,
1 ∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率 k=- , e 1 ∴所求直线方程为 y-e=- (x-1), e 即 x+ey-e2-1=0.

11、解 点(2,0)不在曲线 y=x3 上,可令切点坐标为(x0,x3 0).由题意,所求直线方程的
x3 0-0 x3 0 斜率 k= =y′|x=x0=3x2 ,即 =3x2 0 0,解得 x0=0 或 x0=3. x0-2 x0-2 当 x0=0 时,得切点坐标是(0,0),斜率 k=0,则所求直线方程是 y=0; 当 x0=3 时,得切点坐标是(3,27),斜率 k=27, 则所求直线方程是 y-27=27(x-3), 即 27x-y-54=0. 综上,所求的直线方程为 y=0 或 27x-y-54=0.

12、解 (1)y′=(x12)′=12x11. 1? 4 -4 -5 (2)y′=? ?x4?′=(x )′=-4x =-x5.
3 3 2 3 5 (3)y′=( x3)′=(x )′= x- = . 5 5 5 5 2 5 x (4)y′=(10x)′=10xln 10.


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