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【成才之路】2014-2015数学(人教A版)必修1课件:2.1.1 第1课时 根式


成才之路 · 数学
人教A版 · 必修1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
1.1.1 集合的概念

第二章

基本初等函数(Ⅰ)


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第二章
2.1 指数函数

1.1.1 集合的概念

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

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第二章 2.1.1 指数与指数幂的运算
第一课时 根式
1.1.1 集合的概念

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

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1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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预习导学

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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●课标展示 1.理解n次方根及根式的概念,掌握根式性质. 2.能利用根式的性质对根式进行化简. ●温故知新

旧知再现
1.在初中学过正整数指数幂:将用 an表示,这里的n为正 整数.

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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2.正整数指数幂运算性质(m,n∈N*):

am+n ; (1)am· an=_______
am am-n (2) an =_______; mn a m n (3)(a ) =_______;
mbm a (4)(ab) =_______; bn bn an (5)(a) =_______ (a≠0);
m

1 (6)a0=_______( a≠0); 1 -n (7)a =_______. an
第二章 2.1 2.1.1 第一课时

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平方根 ;如果 x3=a,那 3.如果 x2=a,那么 x 叫做 a 的________ 立方根 ,它们有如下运算性质: 么 x 叫做 a 的________ |a| ; (1) a2=_____ a a≥0); (2)( a)2=_____(

a ; (3) a3=_____
a (4)( a)3=_____.
3

3

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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新知导学
1.n次方根
n x 叫做 a 的_________ n次方根 , 一般地, 如果 x = a , 那么 ____ 定义 其中 n>1,且 n∈N*

a>0 n 是奇数 个数 n 是偶数 a>0 a<0 a<0

x>0 x<0

x 仅有一个值,记 为 a n

x 有两个值,且互为相反数, n 记为± a x 不存在
第二章 2.1 2.1.1 第一课时

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[归纳总结]

(1)任何实数均有奇次方根,仅有非负数才有

偶次方根,负数没有偶次方根. (2) 0=0(n>1,且 n∈N*). n

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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2.根式

n 根指数 ,a 叫 a 叫做根式,这里 n 叫做________ (1)定义:式子_____

被开方数 . 做__________
(2)性质:(n>1,且 n∈N*) ①( a)n=a. ② a n
n

n

? ?a,n为奇数, =? ? ?|a|,n为偶数.

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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[归纳总结] 正数开方要分清,根指奇偶大不同, 根指为奇根一个,根指为偶双胞生. 负数只有奇次根,算术方根零或正, 正数若求偶次根,符号相反值相同.

负数开方要慎重,根旨为奇才可行,
根指为偶无意义,零取方根仍为零.

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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●自我检测 1. -8等于( A.2 C.± 2
[答案] B

3

) B.-2 D.-8

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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4 2. 16等于( A.2 C.± 2

) B.-2 D.4

[答案] A

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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3.已知x7=5,则x=________.
[答案] 7 5

[解析] ∵x7=5, ∴x 是 5 的 7 次方根,则 x= 5. 7

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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4. 根式 m+1的根指数是________, 被开方数是________.

[答案] 2
5
5

m+1
4

5.( -2) =________, ?-2?4=________.

[答案] -2 2

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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互动课堂

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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●典例探究

1
1

n次方根的概念问题
(1)16 的平方根为 ________ ,- 27 的 5 次方根为

________.
(2)已知x7=6,则x=________.
(3)若 x-2有意义,则实数 x 的取值范围是________.
[分析] (1)a 的 n 次方根的符号表示是什么? (2)若 xn=a,则 x 的值是什么? (3) a(n 为偶数)成立的条件是什么?
第二章 2.1 2.1.1 第一课时

4

n

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[解析] (1)∵(± 4)2=16,∴16 的平方根为± 4.-27 的 5 次 方根为 -27. (2)∵x =6,∴x= 6. (3)要使 x-2有意义,则需 x-2≥0,即 x≥2.因此实数 x 的取值范围是[2,+∞).
[答案] (1)± 4 5 -27 (2) 6 (3)[2,+∞) 7
7

5

7

4

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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规律总结: n次方根的个数及符号的确定 (1)正数的偶次方根有两个且互为相反数,任意实数的奇次 方根只有一个.

(2)根式 a的符号由根指数 n 的奇偶性及被开方数 a 的符号 n 共同确定: ①当 n 为偶数时, a为非负实数; ②当 n 为奇数时, n a的符号与 a 的符号一致.

n

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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(1)若81的平方根为a,-8的立方根为b,求a+b的值.
(2)用根式表示下列各式中的x: ①已知x6=2013,则x=________. ②已知x5=-2013,则x=________. [ 分析 ] (2) 解答此类问题应明确 n 次方根中根指数对被开 方数的要求及n次方根的个数要求. 6 [答案] (1)-11 或 7 (2)①± 2013

②- 2013
第二章 2.1 2.1.1 第一课时

5

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[解析] (1)∵(± 9)2=91,∴81 的平方根为± 9,即 a=± 9. 又(-2)3=-8,∴-8 的立方根为-2,即 b=-2. ∴a+b=-9-2=-11 或 a+b=9-2=7,∴a+b=-11 或 7. 6 (2)①由于 6 为偶数,所以 x=± 2013. ②由于 5 为奇数,所以 x= -2013=- 2013. 5 5

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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2
2

利用根式的性质化简或求值 计算下列各式的值:

(1) ?-4?3; (2) ?3-π?6; (3) ?x-2?8; (4) ?-9?2; (5) 3-2 2+ ?1- 2? + ?1- 2?4.
第二章 2.1 2.1.1 第一课时

3 6 8 4

3

3

4

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n [分析] 利用 an的性质进行求值运算时, 要注意 n 的奇偶 性,特别是 n 为偶数时,要注意 a 的正负.对于(5)要先配方, 再结合根式的运算进行求解.

[解析] (1) ?-4? = -64, 因为(-4)3=-64, 所以 -64=-4,即 ?-4?3=-4; 3 3

3

3

3

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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(2) ?3-π?6=|3-π|=π-3; (3) ?x-2?8=|x-2|
? ?x-2 =? ? ?2-x

6 8

?x≥2? . ?x<2?
2

(4) ?-9? = 81= 34=3;

4

4

4

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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(5)因为 3-2 2=( 2)2-2 2+1 =(1- 2)2, 所以原式= ?1- 2? + ?1- 2? + ?1- 2?4 =|1- 2| +(1- 2)+|1- 2| = 2-1+1- 2+ 2-1 = 2-1.
2

3

3

4

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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规律总结:1.根式化简或求值的注意点 解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式 还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值. n n n n 2.对 a 与( a) 的进一步认识

(1)对( a) 的理解:当 n 为大于 1 的奇数时,( a)n 对任意 a∈R 都有意义,且( a) =a,当 n 为大于 1 的偶数时,( a)n 只有当 a≥0 时才有意义,且( a)n=a(a≥0). n n
n

n

n

n

n

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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(2)对 an的理解: 对任意 a∈R 都有意义, 且当 n 为奇数时, n a =a;当 n 为偶数时, a
n

n

n

n

? ?a?a≥0? =|a|=? ? ?-a?a<0?

.

(3)对于根式的运算还要注意变式, 整体代换, 以及平方差、 立方差和完全平方、完全立方公式的运用,做到化繁为简,必 要时进行讨论.

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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2

化简下列各式: (1) ?-2?5; (2)(2013~2014 河北孟村回民中学月考试题) ?π-4?6; (3) ?x+2?4; (4) ?x-7?7. 7 4 6 5

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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[分析] 由题目可获得以下主要信息: ①所给形式均为 an的形式; ② an形式中 n 分为奇数和偶数两种. 解答本题可依据根式的性质 n a
n

n

n

? ?|a| =? ? ?a

n为大于1的偶数 ,完成化简. n为大于1的奇数

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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[解析] (1) ?-2?5=-2. (2) ?π-4? = ?4-π?6=4-π. (3) ?x+2?4=|x+2|
? ?x+2 =? ? ?-x-2

5

6 4

6

6

?x≥-2? . ?x<-2?

(4) ?x-7?7=x-7.

7

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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3
3

带有限制条件的根式运算
x3 (1)若 x<0,则 x+|x|+ x =________.

(2) 若代数式 2x-1 + 2-x 有意义,化简 4x2-4x+1 + 2 ?x-2?4.
[分析] (1)对于式子 x2化简时应注意什么? (2)由代数式 2x-1+ 2-x有意义,能得到什么结论?

4

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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[解析] (1)因为 x<0, x2 |x| -x 所以 x+|x|+ x =x-x+ x = x =-1. (2)由 2x-1+
2

? ?2x-1≥0, 2-x有意义,则? ? ?2-x≥0,

1 即2≤x≤2.

故 4x -4x+1 + 2 ?x-2? = ?2x-1? + 2 ?x-2?4 = |2x -1|+2|x-2|=2x-1+2(2-x)=3.

4

4

2

4

[答案] (-1)

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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规律总结:有限制条件的根式化简的步骤

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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3

设-3<x<3,化简 x2-2x+1- x2+6x+9.

[ 分 析 ] → 分别化简得结论

去根号,化为含绝 讨论x的取值, → 对值的形式 去绝对值

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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[解析] 原式= ?x-1?2- ?x+3?2=|x-1|-|x+3|. ∵-3<x<3, ∴-4<x-1<2,0<x+3<6. 当-4<x-1<0,即-3<x<1 时, |x-1|-|x+3|=1-x-(x+3)=-2x-2; 当 0≤x-1<2,即 1≤x<3 时, |x-1|-|x+3|=x-1-(x+3)=-4. ∴ x2-2x+1- x2+6x+9
? ?-2x-2 =? ? ?-4

?-3<x<1? . ?1≤x<3?
第二章 2.1 2.1.1 第一课时

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●误区警示 易错点
4

没有正确理解 an=a 成立的条件 已知 a, b∈R, 下列各式总能成立的有________. 6
6

n

①( a- b) =a-b;② ?a +b ? =a +b ;③ a - b4 =a-b;④ 10 ?a+b?10=a+b.

6

n

2

2 n

2

2

4

4

4

[错解] ②③④ 由题意,得①显然不成立,②③④都成立.

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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[错因分析] 该解法中忽略了 an=a 成立的条件是只有当 n 为奇数,或者当 n 为偶数且 a>0 时才成立. [思路分析] n 要解决此类化简、求值题,关键是正确理解

n

an=a 成立的条件.
[正解] ② 由题意,得①显然不对,②中∵a2+b2≥0,②一定成立,

因此②对;③和④中,∵ a , b ∈ R ,∴ a = |a| , b4 = |b| , 10 ?a+b?10=|a+b|.
第二章 2.1 2.1.1 第一课时

4

4

4

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1

化简 ?1+ 2? + ?1- 2?4=________.

3

3

4

[答案] 2 2

[解析]

3

?1+ 2? + ?1- 2?4=(1+ 2)+|1- 2|=1+

3

4

2+ 2-1=2 2.

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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随堂测评

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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1.以下说法正确的是(其中 n∈N*)( A.正数的 n 次方根是一个正数 B.负数的 n 次方根是一个负数 C.0 的 n 次方根为 0 D.a 的 n 次方根是 a n

)

[答案] C

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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2.(2013~2014山东淄博一中期中考试试题)下列运算正确 中计算结果正确的是( A.a4·a3=a12 C.(a3)2=a5 ) B.a6÷a3=a2 D.a3·b3=(a·b)3

[答案] D

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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3.以下运算正确的是( A. ?-a?2=a C. a2=|a|
[答案] C

) B. a2=-a D. a2=a

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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4.以下正确的是( A. ?a-b?2=a-b B. ?a-b?2=|a-b|

)

C. a2-b2= a-b· a+b D. a a b= b

[答案] B

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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5.已知 x<1,则

x-1 2 ? ? =________. 3-x

[答案]

1-x 3-x

x-1 |x-1| 1-x [解析] ∵x<1,∴原式=| |= = . 3-x |3-x| 3-x

第二章

2.1

2.1.1

第一课时

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6.已知( 6+m) + ?5-m?4=11,则实数 m 的取值范围 是________.
[答案] (-∞,5]

3

3

4

[解析] ( 6+m) + ?5-m?4=6+m+|5-m|.当 m>5 时, |5-m|=m-5,此时,6+m+|5-m|=6+m+m-5=2m+1> 11;当 m≤5 时,|5-m|=5-m,此时,6+m+|5-m|=6+m +5-m=11.所以满足题意的实数 m 的取值范围是 m≤5.

3

3

4

第二章

2.1

2.1.1

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课后强化作业
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第二章

2.1

2.1.1

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