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双曲线部分 (1)


圆锥曲线(双曲线部分)
一、课前准备 复习 1:椭圆的定义是什么?椭圆的标准方程是什么? 复习 2:在椭圆的标准方程 椭圆方程. 二、双曲线的定义 如图 2-23,定点 F1 , F2 是两个按钉, MN 是一个细套管,两条细绳 分别拴在按钉上且穿过套管,点 M 移动时, MF1 ? MF2 是常数,这样 就画出一条曲线;由 MF2 ? MF1 是同一常数,可以画出另一

支. 双曲线的定义: 平面内与两定点 F1 , F2 的距离的差的 两定点 F1 , F2 叫做双曲线的

x2 y 2 ? ? 1 中, a , b, c 有何关系?若 a ? 5, b ? 3 ,则 c ? ? 写出符合条件的 a 2 b2

等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹叫做双曲线。 .

,两焦点间的距离 F1 F2 叫做双曲线的

注意:⑴当 2 a <| F1 F2 |时动点 P 的轨迹表双曲线 若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 ⑵当 2 a =| F1 F2 |时动点 P 的轨迹表以 F 1 、F 2 为端点的两条射线 ⑶当 2 a >| F1 F2 |时点 P 不存在 请说出下列方程对应曲线的名称:

(1) F1 (?5,0), F2 (5,0),|| PF1 | ? | PF2 ||? 6 (2) F1 (?5,0), F2 (5,0),| PF1 | ? | PF2 |? 6
(3) | (4) (5) (6)

( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) )

( x ? 5)2 ? y 2 ? ( x ? 5)2 ? y 2 |? 6 ( x ? 4)2 ? y 2 ? ( x ? 4)2 ? y 2 ? 6

( x ? 4)2 ? y 2 ? ( x ? 4)2 ? y 2 ? 25 x 2 ? ( y ? 4)2 ? x 2 ? ( y ? 4)2 ? 8

三、双曲线的标准方程 设双曲线的两个焦点 F1 , F2 ,它们之间的距离为 2c ,双曲线上任意一点到 F1 , F2 的距离之差的 绝对值为 2a. 设
M ( x, y )



F1 (?c,0)



F2 (c,0)



1

圆锥曲线(双曲线)

由 | MF1 | ? | MF2 |? ?2a ,得 ( x ? c)2 ? y 2 ? ( x ? c)2 ? y 2 ? ?2a
? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 4a ( x ? c) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? cx ? a 2 ? ?a ( x ? c) 2 ? y 2
? (cx ? a 2 )2 ? a 2[( x ? c)2 ? y 2 ] ? (c2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (c2 ? a 2 ) ,

令 c2 ? a 2 ? b2 ( b ? 0 ) ,得 b2 x2 ? a 2 y 2 ? a 2b2 ,即

x2 y2 ? ? 1. a2 b2

例 1、已知双曲线的两焦点为 F1 (?5,0) , F2 (5, 0) ,双曲线上任意点到 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于
6 ,求双曲线的标准方程.

x2 y 2 ? ? 1 的左支上一点 P 到左焦点的距离为 10,则点 P 到右焦点的距离为 16 9 例 2、 已知 A, B 两地相距 800 m ,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2 s ,且声速为 340m / s ,求炮 弹爆炸点的轨迹方程.
变式:已知双曲线

变式:如果 A, B 两处同时听到爆炸声,那么爆炸点在什么曲线上?为什么?

练习题 1、求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在 x 轴上, a ? 4 , b ? 3 ; (2)焦点为 (0, ?6),(0,6) ,且经过点 (2, ?5) . 2、点 A, B 的坐标分别是 (?5,0) , (5, 0) ,直线 AM , BM 相交于点 M ,且它们斜率之积是 试求点 M 的轨迹方程式,并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状. 3、动点 P 到点 M (1, 0) 及点 N (3, 0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A. 双曲线 C. 两条射线 B. 双曲线的一支 D. 一条射线 ) ) )

4 , 9

4、双曲线 5x2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 ( 6,0) ,那么实数 k 的值为( A. ? 25 B. 25 C. ?1 D. 1 5、双曲线的两焦点分别为 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,若 a ? 2 ,则 b ? (

A. 5 B. 13 C. 5 D. 13 6、已知点 M (?2,0), N (2,0) ,动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 . 则动点 P 的轨迹方程 为 . x2 y2 7、已知方程 . ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围 2 ? m m ?1
2

圆锥曲线(双曲线)

四、双曲线的标准方程及几何性质 c 标准方程

2

? a 2 ? b2
y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

图像

焦点坐标 顶点坐标 取值范围 对称轴

A1 (?a,0), A2 (a,0)
| x |≥ a ,

B1 (0,?a), B2 (0, a)
|

y?R

y |≥ a , x ? R

x 轴, y 轴 实轴为 2a 、虚轴为 2b

准线方程

渐近线

离心率

e?

c (e ? 1) (离心率越大,开口越大) a

通径

例 1、求双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程. 49 25

变式:求双曲线 9 y 2 ? 16x2 ? 144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

例 2、求双曲线的标准方程: ⑴实轴的长是 10,虚轴长是 8,焦点在 x 轴上; ⑵离心率 e ? 2 ,经过点 M (?5,3) ; 2 9 ⑶渐近线方程为 y ? ? x ,经过点 M ( , ?1) . 3 2
3

圆锥曲线(双曲线)

练习题

x2 y 2 ) ? ? 1 实轴和虚轴长分别是( 16 8 A. 8 、 4 2 B. 8 、 2 2 C.4、 4 2 D.4、 2 2 2、双曲线 x2 ? y 2 ? ?4 的顶点坐标是( ) A. (0, ?1) B. (0, ?2) C. (?1,0)
1、双曲线
2 2

2 , D. ( ?0



x y ) ? ? 1 的离心率为( 4 8 A.1 B. 2 C. 3 D.2 2 2 4、双曲线 x ? 4 y ? 1 的渐近线方程是 . 5、经过点 A(3, ?1) ,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是
3、双曲线 6、求以椭圆



x y ? ? 1 的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程. 8 5

2

2

7、若双曲线

3 x2 y 2 x ,求双曲线的焦点坐标. ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 2 4 m

x2 y 2 x2 y 2 F2 , P 是两曲线的一个交点, 则 PF1 ? PF2 ? ? 1 和双曲线 ? ? 1 的共同焦点为 F1 , 25 16 4 5 的值为( ) 21 A. B. 84 C. 3 D. 21 2 x2 y 2 9、以椭圆 ) ? ? 1 的焦点为顶点,离心率为 2 的双曲线的方程( 25 16 x2 y 2 x2 y 2 A. B. ? ?1 ? ?1 16 48 9 27 x2 y 2 x2 y 2 C. D. 以上都不对 ? ? 1或 ? ?1 16 48 9 27 ? 10、 过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的直线, 交双曲线于 P 、 若∠ PF1Q ? , Q, F1 是另一焦点, 2 则双曲线的离心率 e 等于( ) 2 ? 1 2 A. B. C. 2 ? 1 D. 2 ? 2 11、双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为____ ___________.
8、 若椭圆

x2 y2 ? ? 1表示焦点在 x 轴上的双曲线,则 k 的取值范围 4 ? k 1? k 五、双曲线常规题型
12、方程 1、求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条件的双曲线方程: ⑴经过两点(2



7 ,3) 、 (-7,-6 2 )
,离心率为 2)

⑵双曲线经过点(3,9

10 3

⑶双曲线 C 的右焦点为(2,0) ,右顶点为 ( 3,0) ⑷与双曲线 x2 -2y2 =2 有共同的渐近线,且经过点(2,-2) ⑸过点 P(2,-1) ,渐近线方程是 y=± 3x.
4

圆锥曲线(双曲线)

2、双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为( 10 2



A.3

2

B.4 2

C.3 3

D.4 3 )

3、动点 P 与点 F1 (0, 5) 与点 F2 (0, ? 5) 满足 PF1 ? PF2 ? 6 ,则点 P 的轨迹方程为 ( A.

x2 y 2 ? ?1 9 16

B. ?

x2 y 2 ? ?1 16 9

C. ?

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( y ≥ 3) D. ? ? ? 1( y ≤ ?3) 16 9 16 9


4、到两定点 F (?3,0)、F2 (3,0)的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹是( 1 A.椭圆 B.线段 C.双曲线 D.两条射线 2 2 5、双曲线 mx +y =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 的值为( ) 1 1 A.- B.-4 C.4 D. 4 4 6、设 P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 , F1,F2 分别是双曲线 a2 9


的左、右焦点,若 PF1 ? 3 ,则 PF2 的值为

x2 y2 ? ? 1的渐近线方程是( 7、双曲线 4 9
A.



2 y?? x 3

B.

4 y?? x 9

C. y

3 ?? x 2

D. y

9 ?? x 4

x2 y2 8、 已知双曲线的方程为 ? ? 2 ? 1 , 点 A、 B 在双曲线的右支上, 线段 AB 经过双曲线的右焦点 F2 , a b
| AB |? m , F1 为另一焦点,则 ?ABF 1 的周长为(
A. 2a ? 2m 9、已知双曲线 x 的距离等于( A.10
2

) D. 2a ? 4m

B. 4a ? 2m

C. a ? m

? 4 y 2 ? 4 上一点 P 到双曲线的一个焦点的距离等于 6,那么 P 点到另一焦点
) B.10 或 2 C. 6 ? 2

5

D. 6 ? 2 )

5

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是( 10、方程 1? k 1? k
A. ? 1< k < 1 B. k > 0 C. k ≥ 0

D. k >1 或 k < ? 1

x2 y2 ? ? 1 的焦距是( 11、双曲线 2 m ? 12 4 ? m 2
5



圆锥曲线(双曲线)

A.4

B. 2

2

C.8

D.与 m 有关

x2 y2 12、过双曲线 (F 2 为右焦点) ? ? 1左焦点 F1 的弦 AB 长为 6,则 ?ABF 2 16 9
的周长是( A.28 ) B.22 C.14 D.12

13、已知双曲线 9 y 2 ? m2 x2 ? 1(m ? 0) 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 则 m?( A.1 ) B.2 C.3 D.4

1 , 5

14、已知双曲线 9 y 2 ? m2 x2 ? 1(m ? 0) 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 则 m?( A.1 15、与曲线 ) B.2 C.3 D.4

1 , 5

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 共焦点,而与曲线 ? ? 1 共渐近线的双曲线方程为( 24 49 36 64
B.



A.

y2 x2 ? ?1 16 9

x2 y2 ? ?1 16 9

C.

y2 x2 ? ?1 9 16


D.

x2 y2 ? ?1 9 16

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k ? ( 16、方程 10 ? k 5 ? k
A. (5,10) B. ( ? ?,5 ) C. (10, ? ? )

D. (??,5) ? (10,??)

17、双曲线 A. 1

x2 y2 ? ? 1 上点 P 到左焦点的距离为 6,则这样的点 P 的个数为( 4 12
B.2
2 2 2 2



C. 3

D .4 )

18、双曲线

x y x y ? 2 ? 1与双曲线 2 ? 2 ? ? , (? ? 1, ? ? 0) 有相同的( 2 a b a b
B.准线 C.离心率 )

A.焦点

D.渐近线

19、 “ab<0”是“方程 ax2 +by 2 =c 表示双曲线”的( A.必要不充分条件 C.充要条件
2 2 2 2

B.充分不必要条件 D.非充分非必要条件 )

20、一动圆与两圆:x +y =1 和 x +y -8x+12=0 都外切,则动圆心的轨迹为( A.抛物线 B.圆 C.双曲线的一支 D.椭圆

6

圆锥曲线(双曲线)

21、方程

x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线为 C,有下列命题: 4?t t ?2

①若曲线 C 为椭圆,则 2 ? t ? 4 ; ②若曲线 C 为双曲线,则 t ? 4 或 t ? 2 ; ③曲线 C 不可能为圆; ④若曲线 C 表示焦点在 y 上的双曲线,则 t ? 4 。 以上命题正确的是 六、离心率的求法 1、双曲线虚半轴长为 5 ,焦距为 6,则双曲线离心率是( A. ) 。 (填上所有正确命题的序号)

5 3

B.

3 5

C.

3 2

D.

2 3

x2 y2 2、若双曲线 2 ? 2 ? 1 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的 a b
离心率是( A.2 ) B. 3 C.

4 3


D.

5 3

3 3、如果双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,则离心率为( 4
A.

5 3


B.

5 4

5 5 C. 或 4 3

D. 3

4、双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1 、F2 ,∠F1 MF2 =120°,则双曲线的 离心率为 A. ) B.

3

6 2

C.

6 3

D.

3 3

5、双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 F1 作倾斜角为 30 的直 a 2 b2


线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为(

A. 6、双曲线

6

B. 3

C. 2

D.

3 3


x2 y 2 ? ? 1的两条渐近线互相垂直,则双曲线的离心率为 a 2 b2

7

圆锥曲线(双曲线)

x2 y2 7、设双曲线 2 ? 2 ? 1 (0 ? a ? b) 的半焦距为 c ,直线 l 过 (a,0) 、(0,b) 两点,已知原点 a b 3 到直线 l 的距离为 . c ,则双曲线的离心率为_________ 4 x2 y2 8、已知双曲线 ) ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) ,则 m 的取值范围是( 4 m A. (-12,0) B. ( ? ?,0) C. (-3,0) D. (-60,-12)
七、面积问题 1、已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点为分别为 F1 、F2 ,点 P 在双曲线上且满足 ?F1 PF2 ? 90 ? , 4


则 ?F1 PF2 的面积是

x2 y2 ? 2、双曲线 ? ? 1 上有一点 P,F1 、F2 是双曲线的焦点,且 ?F1 PF2 ? ,则 ?PF1 F2 面积 3 16 9
为_________
2 2



3、 双曲线

x y ? 2 ? 1 的离心率为 3,F1 、F2 为焦点, P 在双曲线上, 且 ?PF1 F2 的面积为 4 3 , 2 a b 又 ?F1 PF2 ? 60? ,则双曲线的方程是____________ .

4、若椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1(m ? n ? 0) 和双曲线 ? ? 1(a ? b ? 0) 有相同的焦点 F1,F2 ,点 P 是两条曲 m n a b


线的一个交点,则 PF1· PF2 的值为

5、已知双曲线的方程是 16x 2 ? 9 y 2 ? 144 ⑴求双曲线的焦点坐标、离心率、准线方程。 ⑵设 F1 , F2 是双曲线的左右焦点,点 P 在双曲线上,且| PF 1 | ? | PF 2 |? 32 , 求 ?F1 PF2 的大小。

8

圆锥曲线(双曲线)

八、直线与双曲线 (一)弦长公式:|AB|=

1 ? k 2 ? | x1 ? x2 |? (1 ? k 2 ) ? ?( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

(二)直线与双曲线的位置关系 ⑴相交 → ①有两个公共点,△>0 ⑵相切 ⑶相离 1、如果直线 → → ②有一个公共点(或直线与渐进线平行) 有一个公共点,△ = 0 没有公共点,△ < 0

y ? kx ? 1与双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 满足以下条件,请分别求出 k 的取值范围。

⑴有两个公共点 ⑵没有公共点 ⑶与右支有两个公共点 ⑷与左、右两支各有一个公共点

2、过原点的直线 l 与双曲线 y 2 ? x2 ? 1 有两个交点,则直线 l 的斜率的取值范围为( A. ( ?11) , B. (?∞, ? 1)
(1 , ? ∞)



C. (?1 , 0)

(0, 1)

? π π? D. ? ? , ? ? 4 4?

3、若 直线 为

y ? x ? m 与 曲 线 y ? ? x2 ? 4


有且仅 有一个 公共 点, 则

m 的取值 范围

4、过点 P(8,1)的直线与双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 4 相交于 A、B 两点,且 P 是线段 AB 的中点,则直 线 AB 的方程为 。

5、已知斜率为 1 的直线 l 经过双曲线 点为 M ⑴求弦长|AB|。 ⑵求 ? MAB 的面积

x 2 ? 4 y 2 ? 4 的右焦点 N 交双曲线于 A、 B 两点,且左焦

9

圆锥曲线(双曲线)


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