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2014届步步高大一轮复习讲义7.4


§ 7.4
2014 高考会这样考 题. 复习备考要这样做

基本不等式

1.利用基本不等式求最值、证明不等式;2.利用基本不等式解决实际问 1.注意基本不等式求最值的条件; 2.在复习过程中注意转化与化归思想、

分类讨论思想的应用.

a+b 1.基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等

式成立的条件:a≥0,b≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R). b a (2) + ≥2(a,b 同号). a b a+b?2 (3)ab≤? ? 2 ? (a,b∈R). a2+b2 ?a+b?2 (4) ≥ 2 ? 2 ? (a,b∈R). 3.算术平均数与几何平均数 a+b 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 ,几何平均数为 ab,基本不等式可叙述为: 2 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p, 那么当且仅当 x=y 时, x+y 有最小值是 2 p.(简记: 积定和最小) 2 p (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是 .(简记:和定积最大) 4 [难点正本 疑点清源] 1.在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为 正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出 现错误. 2.运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如 a2+b2≥2ab 逆用 a2+b2 a+b a+b?2 就是 ab≤ ; ≥ ab (a, b>0)逆用就是 ab≤? 2 2 ? 2 ? (a,b>0)等.还要注意“添、 拆项”技巧和公式等号成立的条件等. m 3.对使用基本不等式时等号取不到的情况,可考虑使用函数 y=x+ (m>0)的单调性. x

1.若 x>0,y>0,且 x+y=18,则 xy 的最大值是________. 答案 81 解析 由于 x>0,y>0,则 x+y≥2 xy, x+y?2 所以 xy≤? ? 2 ? =81, 当且仅当 x=y=9 时,xy 取到最大值 81. t2-4t+1 2.已知 t>0,则函数 y= 的最小值为________. t t2-4t+1 1 解析 ∵t>0,∴y= =t+ -4≥2-4=-2,且在 t=1 时取等号. t t 1 2 3.已知 x>0,y>0,且 2x+y=1,则 + 的最小值是_________. x y 答案 8 1 2? 1 2 解析 因为 + =(2x+y)? ? x+y? x y y 4x y 4x 1 1 =4+ + ≥4+2 · =8,等号当且仅当 y= ,x= 时成立. x y x y 2 4 4.(2012· 浙江)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( 24 28 A. B. C.5 D.6 5 5 答案 C 1 1 3? + =1. 解析 ∵x>0,y>0,由 x+3y=5xy 得 ? 5?y x? 1 3? 1 ∴3x+4y= (3x+4y)? ? y + x? 5 12y 1 3x +4+9+ ? = ? x ? 5? y 13 1?3x 12y? 13 1 3x 12y = + ? y + x ?≥ + ×2 · 5 5 5 5 y x =5(当且仅当 x=2y 时取等号),∴3x+4y 的最小值为 5. 5.圆 x2+y2+2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0 (a,b∈R)对称,则 ab 的取值范围是 1? A.? ?-∞,4? 答案 A 解析 由题可知直线 2ax-by+2=0 过圆心(-1,2),故可得 a+b=1,又因 ab≤? = 1 (a=b 时取等号). 4 a+b?2 ? 2 ? 1? B.? ?0,4? 1 ? C.? ?-4,0? ( 1 ? D.? ?-∞,4? ) ) 答案 -2

1? 故 ab 的取值范围是? ?-∞,4?.

题型一 利用基本不等式证明简单不等式 例1 已知 x>0,y>0,z>0. y z??x z ??x y? 求证:? ?x+x??y+y??z+z?≥8. 思维启迪:由题意,先局部运用基本不等式,再利用不等式的性质即可得证. 证明 ∵x>0,y>0,z>0, y z 2 yz x z 2 xz ∴ + ≥ >0, + ≥ >0, x x x y y y x y 2 xy + ≥ >0, z z z y z??x z ??x y? ∴? ?x+x??y+y??z+z? 8 yz· xz· xy ≥ =8. xyz 当且仅当 x=y=z 时等号成立. 探究提高 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从 已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推 理最后转化为需证问题. 已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1. 1 1 1 求证: + + ≥9. a b c 证明 ∵a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1, 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴ + + = + + a b c a b c b c a c a b =3+ + + + + + a a b b c c b a? ?c a? ?c b? =3+? ?a+b?+?a+c?+?b+c? ≥3+2+2+2=9, 1 当且仅当 a=b=c= 时,取等号. 3 题型二 利用基本不等式求最值 例2 1 1 (1)已知 x>0,y>0,且 2x+y=1,则 + 的最小值为________; x y 2x (2)当 x>0 时,则 f(x)= 2 的最大值为________. x +1 1 1 思维启迪:利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把 + 中的 x y “1”代换为“2x+y”, 展开后利用基本不等式; 第(2)问把函数式中分子分母同除“x”, 再利用基本不等式. 答案 解析 (1)3+2 2 (2)1 (1)∵x>0,y>0,且 2x+y=1,

1 1 2x+y 2x+y ∴ + = + x y x y y 2x =3+ + ≥3+2 2. x y y 2x 当且仅当 = 时,取等号. x y 2x 2 2 (2)∵x>0,∴f(x)= 2 = ≤ = 1, 1 2 x +1 x+ x 1 当且仅当 x= ,即 x=1 时取等号. x (1)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是 9 11 A.3 B.4 C. D. 2 2 16 2 (2)已知 a>b>0,则 a + 的最小值是________. b?a-b? 答案 解析 (1)B (2)16 (1)依题意,得(x+1)(2y+1)=9, ( )

∴(x+1)+(2y+1)≥2 ?x+1??2y+1?=6, 即 x+2y≥4. ?x+1=2y+1, ?x=2, ? ? 当且仅当? 即? 时等号成立. ? ? ?x+2y+2xy=8, ?y=1 ∴x+2y 的最小值是 4. (2)∵a>b>0,∴b(a-b)≤? b+a-b?2 a2 ? 2 ? =4,

当且仅当 a=2b 时等号成立. 16 16 64 ∴a2+ ≥a2+ 2 =a2+ 2 a a b?a-b? 4 64 ≥2 a2· 2 =16,当且仅当 a=2 2时等号成立. a 16 ∴当 a=2 2,b= 2时,a2+ 取得最小值 16. b?a-b? 题型三 基本不等式的实际应用 例3 某单位建造一间地面面积为 12 m2 的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房 子侧面的长度 x 不得超过 5 m.房屋正面的造价为 400 元 /m2 ,房屋侧面的造价为 150 元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为 5 800 元,如果墙高为 3 m,且不计房屋背面 的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低? 思维启迪: 用长度 x 表示出造价, 利用基本不等式求最值即可. 还应注意定义域 0<x≤5; 函数取最小值时的 x 是否在定义域内,若不在定义域内,不能用基本不等式求最值,可 以考虑单调性. 12 由题意可得,造价 y=3(2x×150+ ×400)+5 800 x 16 ? =900? ?x+ x ?+5 800 (0<x≤5), 16? 则 y=900? ?x+ x ?+5 800 解

≥900×2



16 +5 800=13 000(元), x

16 当且仅当 x= ,即 x=4 时取等号. x 故当侧面的长度为 4 米时,总造价最低. (2011· 北京)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每 x 批生产 x 件,则平均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每 8 件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品 A.60 件 答案 B 解析 设每件产品的平均费用为 y 元,由题意得 800 x 800 x y= + ≥2 ·=20. x 8 x 8 800 x 当且仅当 = (x>0),即 x=80 时“=”成立,故选 B. x 8 B.80 件 C.100 件 D.120 件 ( )

忽视最值取得的条件致误 1?? 1? 典例:(12 分)已知 a、b 均为正实数,且 a+b=1,求 y=? ?a+a??b+b?的最小值. 易错分析 在求最值时两次使用基本不等式,其中的等号不能同时成立,导致最小值不 能取到. 审题视角 (1)求函数最值问题,可以考虑利用基本不等式,但是利用基本不等式,必须 保证“正、定、等”,而且还要符合已知条件.(2)可以考虑利用函数的单调性,但要注 意变量的取值范围. 规范解答 1 1 a+ ??b+ ? 方法一 y=? ? a?? b? 1 b 1? ? ? a? ? =? ?ab+ab?+?a+b?≥?ab+ab?+2 1 ?2 ? 1 -3 ab?2 =? ab+ = 4 ab+ ab? ? ab ? ? a + b 1 3 25 ? ? 4- ?2= .[10 分] ≥?2 4 ab· -3× 2 ?2=? 2 ? 4 ab ? ? ? 1 1 1 25 ?? ? 当且仅当 a=b= 时,y=? ?a+a??b+b?取最小值,最小值为 4 .[12 分] 2 1 1 1 a b a+ ??b+ ?=ab+ + + 方法二 y=? ? a?? b? ab b a 2 2 2 1 a +b 1 ?a+b? -2ab =ab+ + =ab+ + ab ab ab ab 2 = +ab-2.[8 分] ab a+b?2 1 ?0,1? 令 t=ab≤? ? 2 ? =4,即 t∈? 4?. 解

1? 2 又 f(t)= +t 在? ?0,4?上是单调递减的,[10 分] t 1 33 1 ∴当 t= 时,f(t)min= ,此时,a=b= . 4 4 2 1 25 ∴当 a=b= 时,y 有最小值 .[12 分] 2 4 温馨提醒 (1)这类题目考生总感到比较容易下手.但是解这类题目却又常常出错.(2) 利用基本不等式求最值,一定要注意应用条件:即一正、二定、三相等.否则求解时会 出现等号成立、条件不具备而出错.(3)本题出错的原因前面已分析,关键是忽略了等号 成立的条件.

方法与技巧 1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能, 常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特 点,选择好利用基本不等式的切入点. 2.恒等变形:为了利用基本不等式,有时对给定的代数式要进行适当变形.比如: 1 1 (1)当 x>2 时,x+ =(x-2)+ +2≥2+2=4. x-2 x-2 8 1 (2)0<x< ,x(8-3x)= (3x)(8-3x) 3 3 1 3x+8-3x?2 16 ≤ ? 3? 2 ? =3. 失误与防范 1. 使用基本不等式求最值, 其失误的真正原因是对其前提“一正、 二定、 三相等”的忽视. 要 利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. 2.在运用重要不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足重要不等式中 “正”“定”“等”的条件. 3.连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.(2011· 陕西)设 0<a<b,则下列不等式中正确的是 a+b a+b A.a<b< ab< B.a< ab< <b 2 2 a+b a+b C.a< ab<b< D. ab<a< <b 2 2 答案 B ( )

a+b 解析 ∵0<a<b,∴a< <b,A、C 错误; 2 ab-a= a( b- a)>0,即 ab>a,D 错误,故选 B. 2.(2012· 福建)下列不等式一定成立的是 1 x2+ ?>lg x(x>0) A.lg? 4? ? 1 B.sin x+ ≥2(x≠kπ,k∈Z) sin x C.x2+1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 >1(x∈R) x +1 答案 C 1 1 解析 当 x>0 时,x2+ ≥2· x·=x, 4 2 1 2 ? 所以 lg? ?x +4?≥lg x(x>0),故选项 A 不正确; 而当 x≠kπ,k∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项 B 不正确; 由基本不等式可知,选项 C 正确; 1 当 x=0 时,有 2 =1,故选项 D 不正确. x +1 1 1 3.设 x,y∈R,a>1,b>1,若 ax=by=3,a+b=2 3,则 + 的最大值为 ( x y 3 1 A.2 B. C.1 D. 2 2 答案 C 1 1 解析 由 ax=by=3,得:x=loga3,y=logb3,由 a>1,b>1 知 x>0,y>0, + =log3a x y a+b?2 1 1 +log3b=log3ab≤log3? ? 2 ? =1,当且仅当 a=b= 3时“=”成立,则 x+y 的最大值 为 1. 4.已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为 1 1 3 A. B. C. 3 2 4 答案 B 解析 ∵0<x<1,∴1-x>0. x+1-x?2 3 ∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3? ? 2 ? =4. 1 当 x=1-x,即 x= 时取等号. 2 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) x y + 5.已知 x,y∈R ,且满足 + =1,则 xy 的最大值为_______________. 3 4 答案 3 xy x y ,∴xy≤3.当且仅当 = 时取等号. 12 3 4 1 ?1 2? x2+ 2?· 6.(2011· 湖南)设 x,y∈R,且 xy≠0,则? y ? ? ?x2+4y ?的最小值为________. 答案 9 x y 解析 ∵x>0,y>0 且 1= + ≥2 3 4 ( 2 D. 3 ) ) ( )

1 ?? 1 1 2 2? 2 2 解析 ? ?x +y2??x2+4y ?=5+x2y2+4x y 1 ≥5+2 · 4x2y2=9, x2y2 1 当且仅当 x2y2= 时“=”成立. 2 7.某公司一年需购买某种货物 200 吨,平均分成若干次进行购买,每次购买的运费为 2 万 元,一年的总存储费用数值(单位:万元)恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运 费与总存储费用之和最小,则每次购买该种货物的吨数是________. 答案 20 200 200 400 解析 设每次购买该种货物 x 吨,则需要购买 次,则一年的总运费为 ×2= , x x x 400 400 一年的总存储费用为 x,所以一年的总运费与总存储费用为 +x≥2 · x=40,当 x x 400 且仅当 =x,即 x=20 时等号成立,故要使一年的总运费与总存储费用之和最小,每 x 次应购买该种货物 20 吨. 三、解答题(共 22 分) 8.(10 分)已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: 1 1 1 (1) + + ≥8; a b ab 1 1 1+ ??1+ ?≥9. (2)? ? a?? b? 1 1 1 1 1 a+b 证明 (1) + + = + + a b ab a b ab 1 1 ? =2? ?a+b?, ∵a+b=1,a>0,b>0, 1 1 a+b a+b a b ∴ + = + =2+ + ≥2+2=4, a b a b b a 1 1 1 1 ∴ + + ≥8(当且仅当 a=b= 时等号成立). a b ab 2 (2)方法一 ∵a>0,b>0,a+b=1, a+b 1 b ∴1+ =1+ =2+ , a a a 1 a 同理,1+ =2+ , b b 1?? 1? ? b?? a? ∴? ?1+a??1+b?=?2+a??2+b? b a? =5+2? ?a+b?≥5+4=9. 1?? 1? 1 ∴? ?1+a??1+b?≥9(当且仅当 a=b=2时等号成立). 1?? 1? 1 1 1 方法二 ? ?1+a??1+b?=1+a+b+ab. 1 1 1 由(1)知, + + ≥8, a b ab 1 1 1 1 ?? 1? 故? ?1+a??1+b?=1+a+b+ab≥9.

9.(12 分)为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为 2 m 的无 盖长方体沉淀箱(如图所示),污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔 流出,设箱的底长为 a m,高度为 b m.已知流出的水中该杂质 的质量分别与 a, b 的乘积成反比, 现有制箱材料 60 m2.问: 当 a, b 各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B 孔的面积忽略不计)? 解 方法一 设 y 为流出的水中该杂质的质量分数, k 则 y= ,其中 k>0 为比例系数,依题意,求使 y 值最小的 a,b 的值. ab 根据题设,有 4b+2ab+2a=60 (a>0,b>0), 30-a 解得 b= (0<a<30).① 2+a k k k 于是 y= = = ab 30a-a2 64 -a+32- a +2 2+a k = 64 34-?a+2+a+2? ? ? k k ≥ = , 64 18 34-2 ?a+2?· a+2 64 当且仅当 a+2= 时等号成立,y 取得最小值. a+2 这时 a=6 或 a=-10(舍),将其代入①式,得 b=3. 故当 a 为 6 m,b 为 3 m 时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 方法二 依题意,求使 ab 值最大的 a,b 的值. 由题设,知 4b+2ab+2a=60 (a>0,b>0), 即 a+2b+ab=30 (a>0,b>0). 因为 a+2b≥2 2ab,所以 2 2· ab+ab≤30, 当且仅当 a=2b 时,上式取等号. 由 a>0,b>0,解得 0<ab≤18, 即当 a=2b 时,ab 取得最大值,其最大值为 18. 所以 2b2=18,解得 b=3,进而求得 a=6. 故当 a 为 6 m,b 为 3 m 时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1.不等式 a2+b2≥2|ab|成立时,实数 a,b 一定是 A.正数 答案 C 解析 原不等式可变形为 a2+b2-2|ab|=|a|2+|b|2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0, 对任意实数都成 立. 1a+b 1 1 1 1 1 2.如果 0<a<b<1,P=log ,Q= (log a+log b),M= log (a+b),那么 P,Q,M 的 2 2 2 2 2 2 2 B.非负数 C.实数 D.不存在 ( )

大小顺序是 A.P>Q>M C.Q>M>P 答案 B B.Q>P>M D.M>Q>P

(

)

1a+b 1 1 1 解析 因为 P=log ,Q= (log a+log b), 2 2 2 2 2 a+b a+b a+b 1 1 M= log (a+b),所以只需比较 , ab, a+b的大小,显然 > ab.又因为 2 2 2 2 2 ?a+b?2 a+b a+b < a+b(因为 a+b> ,也就是 <1),所以 a+b> > ab,而对数函数当底 4 4 2 数大于 0 且小于 1 时为减函数,故 Q>P>M. 3.函数 y=loga(x+3)-1 (a>0,且 a≠1)的图像恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 1 2 上,其中 m,n 均大于 0,则 + 的最小值为 ( ) m n A.2 答案 C 解析 点 A(-2,-1),所以 2m+n=1. 1 2? 1 2 n 4m 1 1 所以 + =(2m+n)? ?m+n?=4+m+ n ≥8,当且仅当 n=2m,即 m=4,n=2时等号 m n 成立. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4.若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是________. 答案 18 解析 由 x>0,y>0,2x+y+6=xy,得 xy≥2 2xy+6(当且仅当 2x=y 时,取“=”), 即( xy)2-2 2 xy-6≥0, ∴( xy-3 2)· ( xy+ 2)≥0. 又∵ xy>0,∴ xy≥3 2,即 xy≥18. ∴xy 的最小值为 18. m n 4 + 5.已知 m、n、s、t∈R ,m+n=2, + =9,其中 m、n 是常数,且 s+t 的最小值是 , s t 9 满足条件的点 (m,n)是圆(x-2)2+(y-2)2=4 中一弦的中点,则此弦所在的直线方程为 __________. 答案 x+y-2=0 m n? tm sn 解析 因(s+t)? ? s + t ?=m+n+ s + t ≥m+n+2 mn, 所以 m+n+2 mn=4, 从而 mn=1,得 m=n=1,即点(1,1), 而已知圆的圆心为(2,2),所求弦的斜率为-1, 从而此弦的方程为 x+y-2=0. 6.定义“*”是一种运算,对于任意的 x,y,都满足 x*y=axy+b(x+y),其中 a,b 为正实 数,已知 1*2=4,则 ab 取最大值时 a 的值为 . B.4 C.8 D.16

答案 1 解析 ∵1*2=4,∴2a+3b=4, 2 ∵2a+3b≥2 6ab ,∴ab≤ . 3 当且仅当 2a=3b,即 a=1 时等号成立, 2 所以当 a=1 时,ab 取最大值 . 3 三、解答题 7.(13 分)甲、乙两地相距 s 千米,一船由甲地逆水匀速行驶至乙地,水速为常量 p(单位: 千米/小时),船在静水中的最大速度为 q 千米/小时(q>p).已知船每小时的燃料费用(单 位:元)与船在静水中的速度 v(单位:千米/小时)的平方成正比,比例系数为 k. (1)把全程燃料费用 y(单位:元)表示为船在静水中的速度 v 的函数,并求出这个函数的 定义域; (2)为了使全程燃料费用最小,船的实际前进速度应为多少? s (1)由题意,知船每小时的燃料费用是 kv2,全程航行时间为 , v-p s 于是全程燃料费用 y=kv2· (p<v≤q). v-p s (2)由(1),知 y=kv2· v-p v2-p2+p2 p2 =ks· =ks[v+p+ ] v-p v-p 2 p =ks[v-p+ +2p] v-p p2 p2 ≥ks[2 ?v-p?· +2p]=4ksp(当且仅当 v-p= ,即 v=2p 时等号成立). v-p v-p 解 ①当 2p∈(p,q],即 2p≤q 时,ymin=4ksp,此时船的前进速度为 2p-p=p; s q2 ②当 2p?(p,q],即 2p>q 时,函数 y=kv2· 在(p,q]内单调递减,所以 ymin=ks· , v-p q-p 此时船的前进速度为 q-p. 故为了使全程燃料费用最小, 当 2p≤q 时, 船的实际前进速度应为 p 千米/小时; 当 2p>q 时,船的实际前进速度应为(q-p)千米/小时.


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