nbhkdz.com冰点文库

2006年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)(数学理)word版有答案

时间:2013-01-15


2006 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理工类) (北京卷)

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 9 页,共 150 分。 考试时间 120 分钟。考试结束。将本试卷和答题卡一并交回。

第 I 卷(选择题共 40 分) 注意事项: 1.答第 I 卷前,

考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试卷上 。 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)在复平面内,复数 (A)第一象限 (C)第三象限

1? i 对应的点位于 i
(B)第二象限 (D)第四象限

(2)若 a 与 b-c 都是非零向量,则 “a·b=a·c”是“a⊥(b-c) ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不 充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3)在 1,2,3,4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的共有 (A)36 个 (C)18 个 (B)24 个 (D)6 个

(4)平面 ? 的斜线 AB 交 ? 于点 B,过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直,且交 ? 于点 C,则动点 C 的 轨迹 是 (A)一条直线 (C)一个椭圆 (5)已知 f ( x) ? ? 围是 (A) (0,1) (B) (0, (B)一个圆 (D)双曲线的一支

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是(??,??) 上的增函数,那么 a 的取值范 loga x, x ?1 ?

1 ) 3

(C)[

1 1 · ) 7 3

(D) [ ,1)

1 7

(6)在下列四个函数中,满足性质: “对于区间(1,2)上的任意 x1 , x2 ( x1 ? x2 ).

| f ( x2 ) ? f ( x1 ) |?| x2 ? x1 | 恒成 立”的只有
(A) f ( x) ?

1 x

( B) f ( x) ?| x | (D) f ( x) ? x 2

(C) f ( x) ? 2

(7)设 f (n) ? 2 ? 2 4 ? 27 ? 210 ? ? ? 2 n?1 (n ? N ),则f (n) 等于

2 n (8 ? 1) 7 2 n ?1 (C) (8 ? 1) 7
(A)

2 n ?1 (8 ? 1) 7 2 n ?1 (D) (8 ? 1) 7
(B)

(8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口 A、B、

( C 的机动车辆数如图所示,图中 x1 、 x2 、 x3 分别表示该时段单位时间通过路段 AB, ( ( BC,CA 的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出
的车辆数相等) ,则 (A) x1 ? x2 ? x3 (B ) x1 ? x3 ? x2 (C) x2 ? x3 ? x1 (D) x3 ? x2 ? x1

绝密★启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(文史类) (北京卷)

第 II 卷(共 1 10 分) 注意事项: 1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 三 题 号 二 15 16 17 18 19 20 总 分

得分

评卷人 二、填空题:本大题共 6 小题,每小 题 5 分,共 30 分。把答 案填在题中横线上。

(9) lim
n ?1

x 2 ? 3x ? 2 的值等于 x2 ?1
2 7 ) 的展开式中, x 2 的系数是 x

.

(10)在 ( x ?

.(用数字作答)

(11)若三点 A(2,2) ,B(a,0) ,C(0,b) ab ? 0 )共线,则 ( . (12)在△ABC 中,若 sin A : sin B : sin C =5:7:8. 则∠B 的大小是

1 1 ? 的值等于 a b

.

?x ? y ? 4 ? (13)已知点 P(x,y)的坐标满足条件 ? y ? x, 点 O 为坐标原点,那么| PO |的最小值 ? y ? 1, ?
等于 ,最大值等于 .

(14)已知 A 、B、C 三点在球心为 O,半径为 R 的球面上,AC⊥BC,且 AB=R,那么 A、B 两点间的球 面距离为 球 心到平面 ABC 的距离为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 得分 评卷人 (15) (本小题共 12 分)

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 . 已知函数 f ( x) ? cos x

?

(Ⅰ)求 f (x) 的定义域; (Ⅱ)设 ? 的第四象限的角,且 tan ? ? ?

4 ,求 f (? ) 的值. 3

得分

评卷人 (16) (本小题共 13 分)

3 2 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在点 x0 处取得极大值 5,其导函数 y ? f ?(x) 的图象经

过点(1,0)(2,0) , ,如图所示,求: (Ⅰ)x0 的值; (Ⅱ)a,b,c 的值.

得分

评卷人 (17) (本小题共 14 分)

如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 中,AB⊥AC,PA⊥平面 ABCD,且 PA=PB,点 E 是 PD 的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥PB; (Ⅱ)求证:PB//平面 AEC; (Ⅲ)求二面角 E—AC—B 的大小.

得分

评卷人 (18) (本小题共 1 3 分)

某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案. 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中,随机选取 两门,这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a,b,c,且三门课程考 试是否及格相互之间没有影响. 求: (Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率; (Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)

得分

评卷人 (19) (本小题共 14 分)

已知点 M(-2,0) ,N(2,0) ,动点 P 满足条件| PM |-| PN |=2 2 ,记动点 P 的轨 迹为 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)若 A,B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 OA 、 OB 的最小值.

得分

评卷人 (20) (本小题共 14 分)

在数列 | an | 中,若 a1,a2 是正整数,且 an ?| an?1 ? an?2 |, n ? 3,4,5,?,则称

| an | 为“绝对差数列”.
(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列” (只要求写出前十项) ; (Ⅱ)若“绝对差数列” | an | 中, a20 ? 3, a21 ? 0 ,数列 | bn | 满足 bn ? an ? an?1 ? an?2 , n=1,2,3,?,分虽判断当 n ? ? 时, a n 与bn 的极限是否存在,如果存在,求出其极限值; (Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

绝密★启用前 2006 年普通高等学校招生统一考试 数学(理工类) (北京卷)参考答案

一、选择题(本大题共 8 小题, 每小题 5 分,共 40 分) (1)D (2)C (3)B (4)A

(5)C

(6)A

(7)D

(8)C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9)- (11)

1 2

(10)-14 (12)

1 2

? 3
1 ?R 3 3 R 2

(13) 2

10

(14)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 12 分) 解: (Ⅰ)由 cos x ? 0得x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ,

故 f (x) 在定义域为 {x | x ? k? ? (Ⅱ)因为 tan ? ? ?

?
2

, k ? Z},

4 ,且 ? 是第四象限的角, 3 4 3 所以 sin ? ? ? , cos ? ? , 5 5 ? 1 ? 2 sin(2? ? ) 4 故 f (? ) ? cos?
? 1? 2( 2 2 sin 2? ? cos 2? ) 2 2 cos?

1 ? sin 2? ? cos 2? cos ? 2 2 cos ? ? 2 sin ? cos? ? cos? ? 2(cos? ? sin ? ) 14 ? . 5 ?
(16) (共 13 分) 解法一: (Ⅰ)由图象可知,在(-∞,1)上 f ?( x) ? 0 ,在(1,2)上 f ?( x) ? 0 , 在(2,+∞)上 f ?( x) ? 0 , 故 f (x) 在(-∞,1)(2,+∞)上递增,在(1,2)上递减, , 因此 f (x) 在 x=1 处取得极大值,所以 x0=1. (Ⅱ) f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c ,
2

由 f ?(1) ? 0, f ?(2) ? 0, f (1) ? 5,

?3a ? 2b ? c ? 0, ? 得 ?12a ? 4b ? c ? 0, ?a ? b ? c ? 5, ?
解得 a ? 2, b ? ?9, c ? 12. 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设 f ?( x) ? m( x ? 1)(x ? 2) ? mx2 ? 3mx ? 2m, 又 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c , 所以 a ?

m 3 , b ? ? m, c ? 2m, 3 2 m 3 f ( x) ? x 3 ? mx 2 ? 2mx . 3 2

由 f (1) ? 5 , 即

m 3 ? m ? 2m ? 5, 3 2

得m ? 6, 所以 a ? 2, b ? ?9, c ? 12. (17) (共 17 分) 解法一: (Ⅰ)∵PA⊥平面 ABCD, ∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又∵AB⊥AC,AC ? 平面 ABCD, ∴AC⊥PB. (Ⅱ)连接 BD,与 AC 相 交于 O,连接 EO. ∵A BCD 是平行四边形, ∴O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点 ∴EO∥PB. 又 PB ? 平面 AEC,EO ? 平面 AEC, ∴PB∥平面 AEC.

(Ⅲ)取 BC 中点 G,连接 OG,则点 G 的坐标为( 又 OE ? (0,?

a b b , ,0) OG =(0, ,0). , 2 2 2

b b , ), AC ? (a,0,0). 2 2

?OE ? AC ? 0, OC ? AC ? 0.
∴OE⊥AC,OG⊥AC, ∴∠EOG 是二面角 E—AC—B 的平面角 ∵ cos EOG ? cos ? OE , OG ?? ∴∠EOG=135°. ∴二面角 E—AC—B 的大小为 135°. (18) (共 13 分) 解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A,B,C, 则 P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c. (Ⅰ)应聘者用方案一考试通过的概率

OE ? OG | OE | ? | OG |

??

2 . 2

p1 ? P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C)
= ab(1 ? c) ? bc(1 ? a) ? ac(1 ? b) ? abc = ab ? bc ? ca ? 2abc ; 应聘者用方案二考试通过的概率

p2 ?

1 1 1 P( A ? B) ? P( B ? C ) ? P( A ? C ) 3 3 3 1 = (ab ? bc ? ca ). 3

(Ⅱ)因为 a, b, c ? [0,1] ,所以

p1 ? p 2 ?

2 (ab ? bc ? ca ) ? 2abc 3 2 = [ab (1 ? c) ? bc (1 ? a) ? ca (1 ? b)] ? 0 , 3

故 p1 ? p2 , 即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大. (19) (共 14 分) 解法一: (Ⅰ)由|PM|-|PN|= 2 2 知动点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支,实

半轴长 a ?

2.

又半焦距 c=2,故虚半轴长 b ? c 2 ? a 2 ? 所以 W 的方程为

2.

x2 y2 ? ? 1, x ? 2 . 2 2

(Ⅱ)设 A ,B 的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ).
2 2 当 AB⊥ x 轴时, x1 ? x2 , y1 ? ? y 2 ,从而 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 ? y1 ? 2.

当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,与 W 的方程联立,消 去y得

(1 ? k 2 ) x 2 ? 2kmx? m 2 ? 2 ? 0.
故 x1 ? x 2 ? 所以

2km m2 ? 2 , x1 x 2 ? 2 , 1? k 2 k ?1

OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2
= x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) = (1 ? k 2 ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2

=

(1 ? k 2 )(m 2 ? 2) 2k 2 m 2 ? ? m2 k 2 ?1 1? k 2 2k 2 ? 2 4 ? 2? 2 . 2 k ?1 k ?1

=

又因为 x1 x2 ? 0 ,所以 k ? 1 ? 0 ,从而 OA ? OB ? 2.
2

综上,当 AB⊥ x 轴时, OA? OB 取得最小值 2. 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) ,则

xi2 ? yi2 ? ( xi ? yi )(xi ? yi ) ? 2(i ? 1,2).
令 si ? xi ? yi , t i ? xi ? yi , 则 si t i ? 2, 且 si ? 0, t i ? 0(i ? 1,2)所以

OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2
=

1 1 ( s1 ? t1 )( s 2 ? t 2 ) ? ( s1 ? t1 )( s 2 ? t 2 ) 4 4 1 1 ? s1 s 2 ? t1t 2 ? s1 s 2 t1t 2 ? 2 , 2 2

当且仅当 s1 s 2 ? t1t 2 ,即 ?

? x1 ? x 2 , 时“=”成立. ? y1 ? ? y 2

所以 OA? OB 的最小值是 2. (20) (共 14 分) (Ⅰ)解: a1 ? 3, a2 ? 1, a3 ? 2, a4 ? 1, a5 ? 1, a6 ? 0, a7 ? 1, a8 ? 1, a9 ? 0, a10 ? 1. (答案不惟一) (Ⅱ)解:因为在绝对差数列 {an } , a20 ? 3, a21 ? 0. 所以自第 20 项开始,该数列是 中

a20 , ? 3, a21 ? 0, a22 ? 3, a23 ? 3, a24 ? 0, a25 ? 3, a26 ? 3, a27 ? 0,?.
即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3,0,3. 所以当 n ? ? 时, an 的极限 不存在. 当 n ? 20时, bn ? a n ? a n?1 ? a n ? 2 ? 6, 所以lim bn ? 6
n??

(Ⅲ)证明:根据定义,数列 {an } 必在有限项后出现零项.证明如下: 假设 {an } 中没有零项,由于 an ?| an?1 ? an?2 | ,所以对于任意的 n,都有 an ? 1 ,从而 当 an?1 ? an?2 时, an ? an?1 ? an?2 ? an?1 ? 1(n ? 3) ; 当 an?1 ? an?2 时, an ? an?2 ? an?1 ? an?2 ? 1(n ? 3).; 即 an 的值要么比 a n ?1 至少小 1,要么比 an?2 至少小 1. 令 cn ? ?

?a 2 n ?1 (a 2 n ?1 ? a 2 n ), n=1,2,3,?, (a 2 n ?1 ? a 2 n ), ?a 2 n

则 0 ? c A ? cn?1 ? 1(n ? 2,3,4,?). 由于 c1 是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项 c1 ? 0 ,这与 cn ? 0 (n=1,2,3, ?)矛盾. 从而 {an } 必有零项. 若第一次出现的零项为第 n 项,记 an?1 ? ?(? ? 0 ) ,则自第 n 项开始,每三个相邻

的项周期地取值 0, ? , ? ,即

?a n ?3k ? 0, ? ?a n ?3k ?1 ? ?, k ? 0,1,2,3, ? , ?a ? n ?3k ? 2 ? ?,
所以绝对差数列 {an } 中有无穷多个为零的项.


2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅲ)理科数...

2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅲ)理科数学word版 2006年各地高考数学试题及答案2006年各地高考数学试题及答案隐藏>> 2006 年普通高等学校招生全国统一考试...

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷...

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷,含解析)_高考_高中教育_教育专区。2016年普通高等学校招生全国统一考试试题;WORD版,有答案、解析!...

2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)_理科数学...

2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)_理科数学 精校版Word版答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)_理科...

2006年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)理科数学...

2006年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)理科数学试题及答案(WORD版)_数学_高中教育_教育专区。2006 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数学(理工农医类...

2006年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)理科数学...

2006年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)理科数学试题及解答(WORD版) 隐藏>> 2006 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学试题(理科)第 I 卷(共 50 ...

...word含答案】2013年普通高等学校招生全国统一考试北...

【精校word答案】2013年普通高等学校招生全国统一考试北京卷(数学理)_高考_高中教育_教育专区。绝密★启用并使用完毕 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷...

2006年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学...

2006年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学试题及解答(WORD版) 隐藏>> 2006 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学(必修+选修Ⅱ)第 I 卷(...

2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国1卷)理科数学...

2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国1卷)理科数学试题及解答(WORD版) 11隐藏...Sn 2 i =1 2006 年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)理科数学参考答案...

2016年普通高等学校招生全国统一考试北京卷(押题版)数...

2016年普通高等学校招生全国统一考试北京卷(押题版)数学(理科) Word版答案_数学_高中教育_教育专区。绝密★启用前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 北京卷(...

2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国2卷)理科数学...

2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国2卷)理科数学试题及解答(WORD版) 隐藏>> 2006 年普通高等学校招生全国统一考试(全国 II 卷) 数学(理工农医类)本试卷分...