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抛物线测试题1

时间:2012-11-10


抛物线期末复习单元测试题 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1
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抛物线 y 2 ? 10 x 的焦点到准线的距离是( A
5
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) D
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2

B

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5

C

15
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2

10

2. 以抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦半径 | PF | 为直径的圆与 y 轴位置关系是( A 3
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相交

B

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相切

C.相离

D.以上三种均有可能 )

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设 AB 为过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 ) 的焦点的弦,则 AB 的最小值为( A
p
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p

C

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2p

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无法确定

4

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若抛物线 y 2 ? x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标 )
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为( A
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1 2 ( ,? ) 4 4

B
16 y p
2 2

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1 2 ( ,? ) 8 4

C

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1 2 ( , ) 4 4
2

D

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1 2 ( , ) 8 4

5.若双曲线 ( ) A.2

x

2

3

?

? 1 的左焦点在抛物线 y ? 2 p x 的准线上,则 p 的值为

B.3

C.4

D.4 2

? 6.已知点 P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,那么点 P 到点 Q (2, 1) 的距离与点 P 到抛物线

焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( A. (
1 4

) D. (1,-2)

,-1)

B. (

1 4

,1)

C. (1,2)

7.已知点 P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A.
17 2

) D.
9 2

B. 3

C. 5

y P x y2 8.已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P1 (x1 , 1 ) ,2 ( 2 , ) , P3 ( x3, y 3 )

在抛物线上,且 x1 , x 2 , x3 成等差数列, 则有( A. FP1 ? FP2 ? FP3
2


2 2

B. FP1 ? FP2 ? FP3
1

C. 2 FP2 ? FP1 ? FP3

D. FP2 ? FP1· FP3

2

9 . 过 点 M ( 2 , 4作 与 抛 物 线 y 2 ? 8 x 只 有 一 个 公 共 点 的 直 线 l 有 ) ( ) A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条

10.已知抛物线 C : y 2 ? 8 x 的焦点为 F ,准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在 C 上且
AK ? 2 AF

,则 ? AFK 的面积为( B.8

) C.16 D.32

A.4

11.抛物线 y ? 2 x 2 上两点 A ( x1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) 关于直线 y ? x ? m 对称, 且 x1 ? x 2 ? ? A
3
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1 2

,则 m 等于( B
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) C
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2

2

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2

D

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3

12.过抛物线 y ? ax 2 ( a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q,则 A.2a B.
1 2a
1 p ? 1 q

等于(


4 a

C.4a

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上) 13.若直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,则实数 a ? .

14.过抛物线 x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点 F 作倾角为 30 ? 的直线,与抛物线分别交于
A 、 B 两点( A 在 y 轴左侧) ,则

AF FB

?



15.已知抛物线 y ? ax 2 ? 1 的焦点是坐标原点, 则以抛物线与两坐标轴的三个交点 为顶点的三角形面积为 16
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对于抛物线 y 2 ? 4 x 上任意一点 Q ,点 P ( a,0) 都满足 PQ ? a ,则 a 的取值范围

是 。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) 17. (本小题满分 12 分)已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的 点 M ( ? 3, m ) 到焦点的距离等于 5,求抛物线的方程和 m 的值。

2

18. 本小题满分 12 分) ( 已知顶点在原点, 焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 15 , (1)求抛物线的方程;

0) 19. (本小题满分 12 分)如图,已知点 F (1, ,直线 l : x ? ? 1 , P 为平面上的动

点, 过 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q ,且 QP ?QF ? FP ?FQ . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; .
?1 O

??? ???? ?

??? ??? ? ?

l

y

F 1 x

21. (本小题满分 12 分)如图倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点 F ,
y

且与抛物线交于 A , B 两点. (Ⅰ)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程; l

A

y

?


B

F

P

x
m

题(21)图
3

参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.B
2 p ? 10, p ? 5 ,而焦点到准线的距离是 p

2.B 设 Q 为 PF 中点,分别过 P、Q 作准线 l 的垂线,垂足分别为 M、N, y l 1 1 p 1 P 则 |QN | ? ( p ? |PM |) ? ( p ? | PF |) ? ? | PF | ,
2 2 2 2

∴点 Q 到 y 轴的距离 d ? |QN | ? 3
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p 2

?

1 2

| PF | ,故选 B。 p 2 , y ? ? p , AB

M N O F ? 2p

Q

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C

垂直于对称轴的通径时最短,即当 x ?

x

min

4.B 点 P 到准线的距离即点 P 到焦点的距离,得 PO ? PF ,过点 P 所作的高也是 中线
? Px ? 1 8

,代入到 y 2 ? x 得 Py ? ?

2 4

,? P ( , ?
8
2

1

2 4

)

5.C 解:双曲线的左焦点坐标为: ( ? 3 ? 为x ? ?
p 2
p
2

p

16

, 0) ,抛物线 y 2 ? 2 px 的准线方程


?? p 2

所以 ? 3 ?

16

,解得: p ? 4 ,故选 C。

6.A 解:点 P 到抛物线焦点距离等于点 P 到抛物线准线 距离, 如图 PF ? PQ ? PS ? PQ ,故最小值在 S , P , Q 三点共线 时取得, 此时 P , Q 的纵坐标都是 ? 1 ,故选 A。 (点 P 坐标为 ( , ? 1) )
4 1

7.A 解:本小题主要考查抛物线的定义解题。依题设 P 在抛物线准线的投影 为 P ' ,抛物线的焦点为 F ,则 F ( , 0) ,依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离
2 1

为 | PP ' |?| PF | ,则点 P 到点 A (0, 2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和
4

d ? | PF | ? | PA |? | AF |?

1 2 2 ( ) ?2 ? 2

17 2

. ,故选 A。
x, 从 而 有 3

8 . C
2 x2 ? ( p 2

解 : 由 x1 , x ,2 x
p ) x1 ( ? ? 2

成 等 差 数 列 得 2 x 2 ? x? 3 1

p ? x3 ( ? 据抛物线定义即得:2 FP2 ? FP1 ? FP3 . ) ) , 根 故选 C。 2

9.C 解:∵点 M (2, 4) 在抛物线 y 2 ? 8 x 上,∴过点 M (2, 4) 作与抛物线 y 2 ? 8 x 只 有一个公共点的直线 l 只有 2 条,故选 C。 10.B 解:∵抛物线 C : y 2 ? 8 x 的焦点为 F ? 2,? ,准线为 x ? ? 2 0 设 A ? x 0, y 0 ? ,过 A 点向准线作垂线 AB ,则 B ? ? 2, y 0 ? ∵ AK ? 2 AF ,又 AF ? AB ? x 0 ? ? ? 2 ? ? x 0 ? 2 ∴由 BK 2 ? AK 2 ? AB 2 得 y 0 2 ? ? x 0 ? 2 ? ,
2

0 ∴ K ? ? 2,?

? 即 8 x 0 ? ? x 0 ? 2 ? ,解得 A ? 2, 4 ?
2

∴ ? AFK 的面积为 11. A
k AB ? y 2 ? y1 x 2 ? x1

1 2

KF ? y 0 ?

1 2

? 4? 4 ? 8
2 2

故选 B.
1 2

? ? 1, 而 y 2 ? y1 ? 2( x 2 ? x1 ), 得 x 2 ? x1 ? ?

,且(

x 2 ? x1 y 2 ? y1 , ) 2 2

在直线 y ? x ? m 上,即
2 2

y 2 ? y1 2

?

x 2 ? x1 2
2

? m , y 2 ? y1 ? x 2 ? x1 ? 2 m 3 2

2( x 2 ? x1 ) ? x 2 ? x1 ? 2 m , 2[( x 2 ? x1 ) ? 2 x 2 x1 ] ? x 2 ? x1 ? 2 m , 2 m ? 3, m ?

12.C(特例法)过抛物线 y ? ax 2 ( a ? 0) 的焦点 F 作与 y 轴垂直的直线,则
p?q? 1 2a

,∴

1 p

?

1 q

? 4a ,故选 C。

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上) 13.解:直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F (1, 0), 则 a ? 1 ? 0 ? a ? ? 1. 14.解:如图,分别过点 A , B 向抛物线准线作垂线,垂足为 C , D ; 过 A 点作 AE ? BD 于 E 。则 AF ? AC , BF ? BD ,
AB ? AF ? BF , BE ? BD ? AC ? BF ? AF ,

5

又 ? BAE ? 30 ? 所以

BE AB

BF ? AF 2 BF 3 1 15.解: 抛物线 y ? ax 2 ? 1 ? x 2 ? ( y ? 1) , a 1 1 ?1? a ? 顶点 (0, ? 1) 焦点是坐标原点,所以 4a 4 1 抛物线 y ? x 2 ? 1 与两坐标轴的三个交点为 ( ? 2, 0), (0, ? 1) ,所以三角形面积 4 1 S ? ? 4 ?1 ? 2 2 2

?

1

?

BF ? AF

?

1

?

AF

?

1

16. ? ?? , 2 ?

设Q(
2

t

2

4

, t ) ,由 PQ ? a 得 (

t

2

4

? a ) ? t ? a , t ( t ? 16 ? 8 a ) ? 0,
2 2 2 2 2

t ? 16 ? 8 a ? 0, t ? 8 a ? 16 恒成立,则 8 a ? 16 ? 0, a ? 2
2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) 17.解法一、设抛物线方程为 y 2 ? ? 2 px ( p ? 0) ,则焦点 F ( ?
?m 2 ? 6 p ?m ? 2 6 ?m ? ?2 6 ? ,解之得 ? 或? , ? p 2 2 ?p ? 4 ?p ? 4 ? m ? (3 ? ) ? 5 2 ?

p 2

, 0) ,由题意可得

故所求的抛物线方程为 y 2 ? ? 8 x , m 的值为 ? 2 6 。 解法二、设抛物线方程为 y 2 ? ? 2 px ( p ? 0) ,则焦点 F ( ? 则由抛物线定义知: |M F | ? |M N | ? 3 ?
p 2 ? 5 ,∴ p ? 4 p 2 , 0) ,准线 l : x ?

p 2

y
M

l
N

故所求的抛物线方程为 y 2 ? ? 8 x , m 的值为 ? 2 6 。
? y 2 ? 2 px 2 , 消去 y 得 18.解: (1)设抛物线的方程为 y ? 2 px ,则 ? ? y ? 2x ?1
4 x ? (2 p ? 4) x ? 1 ? 0, x1 ? x 2 ?
2

F

O

x

p?2 2
2

, x1 x 2 ?

1 4

AB ? 1 ? k

2

x1 ? x 2 ?
2

5 ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?

5 (

p?2 2

) ? 4?
2

1 4

? 15 ,


2

p

2

4

? p ?
2

3 , p ? 4 p ? 12 ? 0, p ? ? 2, 或 6

? y ? ? 4 x, 或 y ? 12 x

6

19.解法一: (Ⅰ)设点 P ( x, y ) ,则 Q ( ? 1, y ) ,由 QP ?QF ? FP ?FQ 得:
( x ? 1, ?(2, y ) ? ( x ? 1, y ) ?( ? 2, y ) ,化简得 C : y ? 4 x . 0) ?
2

??? ???? ?

??? ???? ?

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为: x ? my ? 1( m ? 0) .
2 ? ? ? 设 A ( x1, y1 ) , B ( x 2, y 2 ) ,又 M ? ? 1, ? , m? ?

y Q P B O A M F

? y 2 ? 4 x, 联立方程组 ? ,消去 x 得: ? x ? my ? 1,
y ? 4 my ? 4 ? 0 , ? ? ( ? 4 m ) ? 12 ? 0 ,故
2 2

x

? y1 ? y 2 ? 4 m, ? ? y1 y 2 ? ? 4.

由 MA ? ?1 AF , MB ? ? 2 BF 得:
y1 ? 2 m ? ? ?1 y1 , y 2 ? 2 m ? ? ? 2 y 2 ,整理得: ?1 ? ? 1 ?

????

????

????

??? ?

2 my1

, ?2 ? ?1 ?

2 m y2



? ?1 ? ? 2 ? ? 2 ?

2 ? 1 1 ? 2 4m 2 y1 ? y 2 ? ? ?2 ? ? ?0. ? ? ? ?2 ? ? m ? y1 y 2 ? m ?4 m y1 y 2
??? ???? ? ??? ???? ? ???? ???? ??? ?

解法二: (Ⅰ)由 QP ?QF ? FP ?FQ 得: FQ ?( PQ ? PF ) ? 0 ,
??? 2 ??? 2 ? ? ???? ??? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ( PQ ? PF ) ?( PQ ? PF ) ? 0 ,? PQ ? PF ? 0 ,? PQ ? PF .

所以点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的方程为: y 2 ? 4 x . 21. (I)解:设抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px ,则 2 p ? 8 ,从而 p ? 4 . 因此焦点 F ?
? p ? , ? 的坐标为 (2, , 0 0) ?2 ?

y
l C

又准线方程的一般式为 x ? ? .

p



A

2 从而所求准线的方程为 x ? ? 2 .

y

E

?


D B

F

P

x

m

7

题(21)图


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