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2015 安徽 三模 理数试题


高三年级第一次质检数学理科卷

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合 A. B. ). C. f ( x) ? 2 x ? 2? x D. f ( x) ? x3 ?1 ) C. ,则 D. ( )

2.下列函数是奇函数的是( A.

/>
f ( x) ? x x

B. f ( x) ? lg x

x 3. “ m ? 1 ”是“函数 f ( x) ? m ? log2 ( x ? 1) 不存在零点”的(

A.充分不必要条件 C.充要条件 4.若方程 ( ) ? ( )

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

1 x 4 0 ? a ?1 A.

1 2

x ?1

? a ? 0 有正数解,则实数 a 的取值范围是(
C. 0 ? a ? 3

) D. ?1 ? a ? 0

B. ?3 ? a ? 0

5.已知点 A 为抛物线 C : x2 = 4 y 上的动点(不含原点),过点 A 的切线交 x 轴于点 B ,设 抛物线 C 的焦点为 F ,则 ?ABF ( A.一定是直角 B.一定是锐角 ) 6. 下列说法正确的是( ) C.一定是钝角 D.上述三种情况都可能

1 A. 若 a ? R, 则“ ? 1 ”是“ a ? 1 ”的必要不充分条件 a B. “ p ? q 为真命题”是“ p ? q 为真命题”的必要不充分条件
C. 若命题 p : “ ?x ? R, sin x ? cos x ? 2 ”,则 ?p 是真命题
2 ? 2 x0 ? 3 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ” D. 命题“ ?x0 ? R, 使得 x0

7.在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子,豆子落在该正方形内切圆的四 分之一圆(如图阴影部分)中的概率是( A. ) D.

π 4

B.

1 4
2

C.

π 16

1 16

2 8.已知函数 f ( x) ? log 1 ? ? x ? 2(2a ? 1) x ? 8? ? , a ? R ,若 f ( x) 在 ? a, ?? ?

上为减函数,则 a 的取值范围为( ) A.? ??,2? B.(? , 2]

4 3

C.? ??,1?

D.( ?

4 ,1] 3
) D.

9. 已知函数 y ? lg ? a ? 1 x ? 2(a ? 1) x ? 3? 的值域为 R ,则实数 a 的取值范围是(
2 2

??

?

?

A.

[?2,1]

B. [?2, ?1]
第1页 共8页

C. (?2,1)

(??, ?2) ? [1, ??)

x2 y 2 ? 10.过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 左焦点 F 1 ,倾斜角为 30 的直线交双曲线右支于点 a b P ,若线段 PF1 的中点在 y 轴上,则此双曲线的离心率为( )
A.

3 3

B.

5

C.3

D.

3

11. 定 义 方 程 f ( x) ? f '( x) 的 实 数 根 x0 叫 做 函 数 f ( x ) 的 “ 新 驻 点 ” , 若 函 数

g ( x) ? x, h( x) ? ln( x ? 1), 1),? ?( (x x) )? ?x x33 ? ?1 1的“新驻点”分别为 ? , ? , ? ,则 ? , ? , ? 的大小关系
为( ) A. ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? D. ? ? ? ? ?

2 12 . 已 知 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 0 ? x ? 1 时 , f ? x? ? x ,当 x ? 0 时,

f ? x ?1? ? f ? x ? ? f ?1? ,若直线 y ? kx 与函数 y ? f ? x ? 的图象恰有 11 个不同的公共点,
则实数 k 的取值范围为( ) B. ( 3 +2, 3 + 6 ) D. (2 6 ? 4, 4 3 ? 6)

A. (2 2 -2,2 6 -4) C. (2 2 +2,2 6 +4)

二、 填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.) 13.安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动,每天只需一人参加,其中甲参加 三天活动,乙、丙、丁每人参加一天,那么甲连续三天参加活动的概率为
x 14.若方程 2log2 ? log2

? x?1?

? m ?1 有两个解,则实数 m 的取值范围是



2 15.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2x ,则当 x ? 0 时,

f ( x) ?

.
2

16. 已知函数 f ( x) ? ax ? 2(a ? b) x ? b, (a ? 0) 满足 f (0) ? f (1) ? 0 ,设 x1 , x2 是方程

f ( x) ? 0 的两根,则 x1 ? x2 的取值范围是

.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
第2页 共8页

2 2 17.(本小题满分 12 分)设命题 p :函数 f ? x ? ? lg x ? 4 x ? a 的定义域为 R ;命题 q :

?

?

对任意 m ?? ?1,1? ,不等式 a2 ? 5a ? 3 ? m2 ? 8 恒成立;如果命题 “ p ? q ”为真命题,“ p ? q ”为假命题,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? c, (a, c ? N ) 满足① f (1) ? 5 ;②
2 *

6 ? f (2) ? 11 .
(1)求函数 f ( x) 的解析表达式; (2)若对任意 x ? ?1, 2? ,都有 f ( x) ? 2mx ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 已知 f (log2 x) ? ax2 ? 2 x ? 1 ? a , a ? R . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)解关于 x 的方程 f ( x) ? (a ?1) ? 4x

20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 且 AF ? 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) 的右焦点 F (1, 0) ,右顶点 A , a2 b2

(Ⅱ)若动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且只有一个交点 P,且与直线 x ? 4 交于点 Q, 问:是否存在一个定点 M (t ,0) ,使得 MP?MQ ? 0 .若存在,求出点 M 坐标;若不存在,说 明理由.

???? ???? ?

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? mx ? 1 ? ln x .

第3页 共8页

(1)若 f ( x) ? 0 对 ?x ? (0, ??) 恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)求证:对 ?n ? N ,

n ?1 . ? e 均成立(其中 e 为自然对数的底数, e ≈2.71828) n n!

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,已知 AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线,交 BC 的延长线于点 D,延长 DA 交△ABC 的外接圆于点 F,连结 FB,FC. (1)求证:FB=FC; (2)若 FA=2,AD=6,求 FB 的长.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为

极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是ρ =



(1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2)若点 P 是曲线 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离的最小值,并求出 P 点的坐标.

选修 4-5:不等式选讲 24.已知 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 , g ( x) ? x ?1 ? x ? a ? a(a ? R) 。 (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 5 ; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 a 的取值范围.

第4页 共8页

荆州中学高三年级第一轮质检数学(理科)卷 参考答案
BAACA ACDBD CD

2 2 17.解命题 p : f ? x ? ? lg x ? 4 x ? a 的定义域为 R ?Δ =16-4a <0?a>2 或
2

1 5

(1,+∞)

? x2 ? 2 x

[ 3, 2)

?

?
2

a<-2.
命题 q:∵m∈[-1,1], ∴ m +8∈[2 2,3].
2 2

∵对任意 m∈[-1,1],不等式 a -5a-3≥ m +8恒成立, ∴只须满足 a -5a-3≥3,解得 a≥6 或 a≤-1. ∵“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则 p 与 q 一真一假.
? ?a>2或a<-2, ①若 p 真 q 假,则? ?-1<a<6 ? ? ?-2≤a≤2, ②若 p 假 q 真,则? ?a≤-1或a≥6 ?
2

?2<a<6;

?-2≤a≤-1,

综上,a 的取值范围为[-2,-1]∪(2,6) 18. (1) 5 ? a ? c ? 2 即 c ? 3 ? a ,又 6 ? 4a ? c ? 4 ? 11??

1 4 ? a ? ,又 a ? N * , 3 3

? a ? 1, c ? 2 。
所以 f ( x) ? x ? 2 x ? 2.
2

(2)由已知得, 2 ? m ? 1? ? x ? 值在 x ?

2 2 在 x ? ?1, 2? 上恒成立。由于 x ? 在 ?1, 2? 上的最小 x x

1 2 取得,所以 x ? ? ? 2 2,3? ? ,故 2 ? m ? 1? ? 2 2 即 m ? 2 ? 1 . x ?
t

19.解: (1)令 log2 x ? t 即 x ? 2 ,则 f (t ) ? a ? (2 ) ? 2 ? 2 ? 1 ? a
t 2 t

即 f ( x) ? a ? 2

2x

? 2 ? 2x ? 1 ? a, x ? R
x
2x

(2)由 f ( x) ? (a ?1) ? 4 化简得: 2 当 a ? 0 时,方程无解

? 2 ? 2x ? 1 ? a ? 0 即 (2x ? 1)2 ? a
x

当 a ? 0 时,解得 2 ? 1 ? a 若 a ? 1 ,则 x ? log2 (1 ? a)

若 0 ? a ? 1 ,则 x ? log2 (1 ? a )

第5页 共8页

21.(1)解:f(x)≥0 等价于 m≥ 令 g(x)= ,则 g′(x)=﹣ ,

对? x∈(0,+∞)恒成立,

x∈(0,1) ,g′(x)>0,函数单调递增,x∈(1,+∞) ,g′(x)<0,函数单调递减, ∴g(x)max=g(1)=1, ∴m≥1; (2)证明:由(1)知 lnx≤x﹣1 对? x∈(0,+∞)恒成立,当且仅当 x=1 时取等号, ∴ln(1+ )< ,∴kln(1+k)﹣klnk<1, ∴(1+k)ln(1+k)﹣klnk<1+ln(1+k) ,∴2ln2﹣ln1<1+ln2, 3ln3﹣2ln2<1+ln3,? (1+n)ln(1+n)﹣nlnn<1+ln(1+n) , 累加得(1+n)ln(1+n)<n+(ln2+ln3+?+lnn)+ln(1+n) ∴nln(1+n)<n+ln(n!) , ∴ln(1+n)<1+ ln(n!) , ∴ln(1+n)﹣ln <1, ∴ln <1,∴ <e.

22.解答: (1)证明:∵A、C、B、F 四点共圆 ∴∠FBC=∠DAC 又∵AD 平分∠EAC ∴∠EAD=∠DAC
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又∵∠FCB=∠FAB(同弧所对的圆周角相等) ,∠FAB=∠EAD ∴∠FBC=∠FCB ∴FB=FC; (2) 解: ∵∠BAC=∠BFC, ∠FAB=∠FCB=∠FBC ∴∠FCD=∠BFC+∠FBC=∠BAC+∠FAB=∠FAC 2 2 ∵∠AFC=∠CFD, ∴△FAC∽△FCD ∴FA: FC=FC: FD ∴FB =FC =FA?FD=16, ∴FB=4.

23.解答: 解: (1)∵

, ∴x﹣y=1.

∴直线的极坐标方程为:ρ cosθ ﹣ρ sinθ =1. 即 , 即
2 2





,∴
2

,∴ρ cos θ =sinθ ,∴(ρ cosθ ) =ρ sinθ

即曲线 C 的普通方程为 y=x . (2)设 P(x0,y0) , ,∴P 到直线的距离:

. ∴当 时, ,∴此时 , .

∴当 P 点为

时,P 到直线的距离最小,最小值为

24.解答: 解: (Ⅰ)f(x)=|x+l|+|x﹣2|表示数轴上的 x 对应点到﹣1 和 2 对应点的距离 之和, 而﹣2 对应点到﹣1 和 2 对应点的距离之和正好等于 5, 3 对应点到﹣1 和 2 对应点的距离之 和正好等于 5, 故不等式 f(x)≤5 的解集为[﹣2,3]. (Ⅱ)若不等式 f(x)≥g(x)恒成立,即|x﹣2|+|x﹣a|≥a 恒成立. 而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|=|a﹣2|,∴|a﹣2|≥a, 2 2 ∴(2﹣a) ≥a ,解得 a≤1,故 a 的范围(﹣∞,1].

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